2023届高考数学一轮复习作业 利用导数证明不等式 新人教B版.doc

1、利用导数证明不等式1已知函数f(x)eln xax(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当ae时，证明：xf(x)ex2ex0解(1)f(x)a(x0)若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；若a0，则当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明：法一：因为x0，所以只需证f(x)2e，当ae时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以f(x)maxf(1)e记g(x)2e(x0)，则g(x)，所以当0x1时，g(x)0，g(x)单调递减，当x1时，g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)ming(1)

2、e综上，当x0时，f(x)g(x)，即f(x)2e，即xf(x)ex2ex0法二：由题意知，即证exln xex2ex2ex0，从而等价于ln xx2设函数g(x)ln xx2，则g(x)1所以当x(0,1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0，故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而g(x)在(0，)上的最大值为g(1)1设函数h(x)，则h(x)所以当x(0,1)时，h(x)0，当x(1，)时，h(x)0，故h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，从而h(x)在(0，)上的最小值为h(1)1综上，当x0时，g(x)h(x)，即xf(x)ex2ex02

3、(2021黑龙江铁人中学高三一模)已知f(x)asin xx2exaxxexsin x(1)当f(x)有两个零点时，求a的取值范围；(2)当a1，x0时，设g(x)，求证：g(x)xln x解(1)由题知，f(x)(xexa)(xsin x)有两个零点，xsin x0时，x0，故xexa0有一个非零实根，设h(x)xex，得h(x)(x1)ex，h(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增又h(1)，h(0)0，x0时，h(x)0；x0时，h(x)0(2)由题，g(x)xex1，法一：要证xex1xln xln(xex)，令txex0，令H(t)tln t1(t0)，H(t)1，H(x)

4、在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增H(x)H(1)0xex1xln x法二：要证xex1xln x成立，故设M(x)xexxln x1，M(x)(x1)(x0)，令N(x)ex，则N(x)ex0，N(x)在(0，)上单调递增又N20，x0使N(x0)0，e，x0ln x0，M(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增M(x)minM(x0)x0ex0ln x010，xex1xln x3已知函数f(x)x1aln x(1)若f(x)0，求a的值；(2)证明：对于任意正整数n，e解(1)f(x)的定义域为(0，)，若a0，因为faln 20，所以不满足题意若a0，由f(x)1知，当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0；所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a，)单调递增，故xa是f(x)在(0，)的唯一最小值点因为f(1)0，所以当且仅当a1时，f(x)0，故a1(2)证明：由(1)知当x(1，)时，x1ln x0令x1，得ln从而lnlnln11故e