2024年高中数学 专题4-1 重难点题型培优精讲 指数（学生版）新人教A版必修第一册.doc

1、专题4.1指数1根式(1)n次方根的定义与性质(2)根式的定义与性质2分数指数幂注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.3有理数指数幂的运算(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：(a0,r,sQ)；(a0,r,sQ)；(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).(2)指数幂的几个常用结论：当a0时，0；当a0时，=1，而当a=0时，无意义；若(a0,且

2、a1)，则r=s；乘法公式仍适用于分数指数幂.4无理数指数幂及实数指数幂(1)无理数指数幂一般地，无理数指数幂(a0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数.(2)实数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同.【题型1 根式与分数指数幂的互化】【方法点拨】根据根式与分数指数幂的互化运算法则，进行计算即可.【例1】（2022扬中市校级开学）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（）A（x0）BC（xy0）D（y0）【变式1-1】（2022茂名模拟）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）ABCD【

3、变式1-2】（2021秋电白区期中）下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（）ABCD【变式1-3】（2021秋水磨沟区校级月考）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（）ABCD【题型2指数式的化简】【方法点拨】利用指数幂的运算性质，进行化简计算即可【例2】（2021秋惠阳区校级月考）（1）0（10.52）的值为（）ABCD【变式2-1】（2021秋杭州期中）（）ABCD32【变式2-2】（2021秋龙湖区校级期末）设a0，b0，化简的结果是（）ABCD3a【变式2-3】（2021秋秦淮区校级月考）计算的值为（）ABeCe2D2【题型3根据指数式求参】【方法点拨】根据所给的指数关系式，利用指数

4、幂的运算性质，化简求解参数的值.【例3】（2021秋海陵区校级月考）已知x75，则x的值为（）ABCD【变式3-1】（2021广东学业考试）已知4，则x等于（）AB8CD【变式3-2】（2022秋诸暨市校级月考）若，则实数a的取值范围是（）ABCDR【变式3-3】（2021秋聊城期中）若，则实数a的取值范围是（）A（，3）B（，C，+）D（，+）【题型4 指数式的给条件求值问题】【方法点拨】利用指数幂的运算性质解决带有附加条件的求值问题，一般有三种思路：(1)将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论.(2)当直接代入不易求解时，可以从总体上把握已知,式和所求式的特点，从而快速巧妙求

5、解.一般先利用平方差、立方和(差)以及完全平方公式及其变形进行化简，再用整体代入法来求值.(3)适当应用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁.【例4】（2021秋昌吉州期末）已知a4，则等于（）A2BCD【变式4-1】（2022长沙县校级开学）若0a1，b0，且abab2，则ab+ab的值为（）ABCD【变式4-2】（2021秋泉山区校级月考）已知10m2，10n3，则（）ABCD【变式4-3】（2021秋瓯海区校级月考）已知实数a，b满足，则a+b（）A1B1C1D0【题型5指数幂等式及幂的方程问题】【方法点拨】指数方程常见的类型有：(1) f(x)=g(x)；(2)=0.其中类型(1)

6、利用同底法解，类型(2)利用换元法解.【例5】（2021秋兴庆区校级期末）方程的解是（）A2B1C2D1【变式5-1】（2021阎良区校级自主招生）方程5x1103x8x的解集是（）A1，4BC1，D4，【变式5-2】（2022春汪清县校级月考）方程4x1的解为（）A2B2C1D1【变式5-3】（2021秋青浦区期末）方程4x102x+160的解集是【题型6指数幂等式的证明】【方法点拨】指数幂等式的证明中，设辅助参数是对数学问题的“层次性”的深刻认识的体现，是把复杂问题转化为两个或多个基本问题的重要分析方法.【例6】已知a0且a1，（2a）ma，（3a）m2a，求证：（）mn2n【变式6-1】已知，求证：3k2+22m2【变式6-2】已知：a0，b0，且abba，求证：（）【变式6-3】已知ax3by3cz3，且1，求证：（ax2+by2+cz2）