江苏省如皋、如东2020届高三上学期期中考试数学试题 WORD版含解析.doc

1、江苏省如皋、如东20192020学年度第一学期期中考试高三数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合A，B1，2，3，则AB 答案：2，3考点：集合的交集运算解析：集合A， 集合A(0，) B1，2，3， AB2，32若，则的实部为 答案：1考点：虚数解析：， ， 故的实部为13已知(3，4)，3，则 答案：4考点：与向量的模有关的计算解析：(3，4)， ， 则，即， 由3，得， 由，解得44已知函数，若，则实数 答案：1考点：分段函数解析：当时， 故时， 当a1时， 故a1时，故a15双曲线(a0，b0)的渐近线方程为，且过点(5，)

2、，则其焦距为 答案：7考点：双曲线的性质解析：双曲线(a0，b0)的渐近线方程为， ， 双曲线(a0，b0)过点(5，)， ， 由、解得：， ，即， 故该双曲线的焦距为76已知(m，n)为直线上一点，且，则的最小值为 答案：考点：基本不等式解析：(m，n)为直线上一点， ， 当且仅当m4，n8时取“”， 故的最小值为7若函数()的图象关于直线对称，则 答案：考点：三角函数的图像与性质解析：函数()的图象关于直线对称， ， ， 8在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，F为棱AD的中点，E为线段CC1上一点，则三棱锥EFDD1的体积为 答案：18考点：棱锥体积解析：9已知A0，2，B，若A

3、B，则实数的最大值为 答案：1考点：不等式恒成立解析：由题意，得0，2，不等式恒成立， 参变分离得对0，2恒成立， 令，则， 当0x1，0，即在(0，1)上单调递减， 当1x2，0，即在(1，2)上单调递增， 故x1时，故a1，则实数的最大值为110已知等差数列的公差为2，且，成等比数列，则该等比数列的公比为 答案：考点：等差数列的通项公式，等比中项的运用解析：等差数列的公差为2， ， ，成等比数列， ，即， 化简得：， 故公比q11如图，已知点O(0，0)，A(2，0)，P是曲线(0x1)上一个动点，则的最小值是 答案：考点：平面向量数量积解析：设P(，)， (，)，(，)， 故， 0x1，

4、时，有最小值为12已知，x(0，)，则 答案：考点：同角三角函数关系式，二倍角公式解析：0x， 0，故， 又当0时，与矛盾， 0，则， 13已知椭圆(ab0)的离心率，A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为、，则的值为 答案：考点：椭圆的性质解析：椭圆的离心率， 即，则，解得， A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点， ， 14已知函数，曲线上总存在两点M(，)，N(，)使曲线在M、N两点处的切线互相平行，则的取值范围为 答案：(8，)考点：导数的几何意义，不等式恒成立，基本不等式解析：， ， 曲线在M、N两点处的切线互相平

5、行， ，即， ，之所以取不到等号是因为， 从而，对2恒成立， ，故的取值范围为(8，)二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（1）求角A；（2）若，ABC的面积，求的值解：（1）由，及余弦定理得，又，得 因为ABC为锐角三角形，所以，故（2）因为，根据余弦定理得， 又，解得 所以，即又，所以 根据得，所以，的值为116（本题满分14分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点（1）求证：AC1平面PBD；

6、（2）求证：BDA1P（1）证明：连结交于点，连结，因为四边形是正方形，对角线交于点 ，所以点是的中点，所以又因为点是侧棱的中点，所以 在中，,所以又因为，所以平面（2）证明：连结.因为为直四棱柱，所以侧棱垂直于底面，又平面，所以因为底面是菱形，所以又，,所以又因为,所以，因为，所以，所以17（本题满分14分）设等差数列的前n项和为，已知1，22（1）求；（2）若从中抽取一个公比为q的等比数列，其中k11，且k1k2kn当q取最小值时，求的通项公式解：（1）设等差数列的公差为，则，解得， 所以.（2）法一：因为ak为公比q的等比数列，所以 又，所以，即，所以.又k11，k1+12，所以是公比q

7、的等比数列，所以. 因为，所以，且公比q为正整数，解得，所以最小的公比所以 法二：因为数列是正项递增等差数列，所以数列的公比，若，则由，得，此时，由，解得，所以，同理； 若，则由，得，此时，另一方面，所以，即，所以对任何正整数，是数列的第项所以最小的公比 所以 18（本小题满分16分） 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆E：(ab0)的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2设直线A1B1倾斜角的余弦值为，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称（1）求椭圆E的离心率；（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；（3）若圆C的面积为，求圆C的方程OA1A2B1B2

8、xy解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c0），因为直线的倾斜角的余弦值为，所以， 于是，即，所以椭圆E的离心率 （2）由可设，则，于是的方程为：， 故的中点到的距离， 又以为直径的圆的半径，即有，所以直线与以为直径的圆相切因为圆与以线段为直径的圆关于直线对称，所以直线与圆相切 （3）由圆的面积为知，圆半径为2，从而， 设的中点关于直线：的对称点为，则解得 所以，圆的方程为19（本小题满分16分）如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池ABCD及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形BEFG的一边BG在BC上，矩形AHIJ的一边AH在AD上，点C，D，F，

9、I在圆周上，E，J在直径上，且EOF，设BOC，(，)若每平方米游泳池的造价与休息区造价之比为：1（1）记游泳池及休息区的总造价为，求的表达式；（2）为进行投资预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值解：（1）设游泳池每平方米的造价为，休息区每平方米造价为，则在矩形中，所以，. 在矩形中，所以，. 所以，.（2）由（1）得， ，因为，所以.令，解得.因为，所以.列表如下：0极大值所以，当时，总造价取得极大值，即最大值为. 20（本小题满分16分）已知函数，（1）若函数在(0，)上单调递增，求实数的取值范围；（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；（3）当时，若直线与函数图象有两个交

10、点，求实数的取值范围解：（1）由，得，则，因为在上单调递增，所以，即，令，在上单调递增，且能取到上一切实数，所以，故实数的取值范围为（2）设切点为，则切线方程为，因为直线是函数图象的切线，所以，所以，令， ，则当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以所以的最小值为（3）当时，令，则当时，在上单调递增，在上至多一个零点， 故令方程的大根为，则当时，在上单调递增；当时，在上单调递减因为在上有两个零点，所以，解得（构造函数，根据单调性求解），所以 取，则，根据零点存在性定理，在上至少有一个零点，又在上单调递增，所以在上只有一个零点 同理，在上只有一个零点综上，实数的取值范围为.数学（附加题）21

11、【选做题】本题包括A、B、C共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21A选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵（1）求；（2）求解：（1）因为，所以.（2）因为，所以. 所以. B选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆的圆心坐标为，半径为2 以极点为原点，极轴为的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数（1）求圆的极坐标方程；（2）设与圆的交点为， 与轴的交点为，求解：（1）设为圆上任意一点，则x圆的圆心坐标为，半径为2，得圆过极点，所以，即，所以

12、圆的极坐标方程为 （2）由（1）得，即，根据，得，即（*）设,将直线的参数方程代入（*），整理得所以， 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）已知，记（1）；（2）求解： 由得.同理， （2）由（1）得，当时，当时，；当时，当时，.所以，所以， 23（本小题满分10分）已知Sn1（1）求S2，S4的值；（2）若Tn，试比较与Tn的大小，并给出证明解：（1）S21，S41 （2）当n1，2时，T1，T2，所以，Tn 当n3时，T3，S81T3 于是，猜想，当n3时，Tn 下面用数学归纳法证明： 当n=3时，结论成立；假设nk(k3)时结论成立，即Tk； 当nk1时，（）（）2k12k1，当nk1时，Tn根据、可知，对任意不小于3的正整数n，都有Tn综上，当n1，2时，=Tn；当n3时，Tn