河南省郑州市2015届高三数学第一次质量预测试题 理（含解析）.doc

1、河南省郑州市2015年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡. 第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，若，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 考点：集合的包含关系判断及应用.专题：集合分析：由集合M=x|1x2，N=x|xa，MN，由集合包含关系的定义比较两个集合的端点可直接得出结论解答：解：集合M=x|1x2，N=x

2、|xa，MN，a2，实数a的取值范围是2，+）故选B点评：本题考查集合关系中的参数取值问题解题的关键是根据题设中的条件作出判断，得到参数所满足的不等式，从而得到其取值范围，此类题的求解，可以借助数轴，避免出错2. 在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为，则对应的复数为（ ）A. B. C. D. 考点：复数代数形式的乘除运算.专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、几何意义、对称性，即可得出解答：解：复数=2+i所对应的点（2，1）关于虚轴对称的点为A（2，1），A对应的复数为2+i故选：C点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义、对称性，属于基础题3.等差数列的前项和为，且，则

3、公差等于（ ）A. B. 1 C. 2 D. 考点：等差数列的前n项和.专题：等差数列与等比数列分析：由题设条件，根据等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，由此能求出公差解答：解：等差数列an的前n项和为Sn，且S3=6，a3=0，解得a1=4，d=2故选D点评：本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式4. 命题“”是命题“直线与直线垂直”成立的（ ）A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：直线与圆；简易逻辑分析：根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和

4、必要条件的定义进行判断即可解答：解：若“直线ax+3y1=0与直线6x+4y3=0垂直”，则6a+34=0，解得a=2，故p是q成立的充要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键5. 已知点是抛物线上一点，焦点为，则（ ）A. 100 B.200 C.360 D.400考点：抛物线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离，从而求出b，进而求ab的值解答：解：根据抛物线是定义，准线方程为：y=5，|PF|=b+5=25，b=20，又点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，a2=2

5、020，a=20，|ab|=400，故选D点评：本题主要考查抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等6. 已知点的坐标满足条件，那么点到直线的最小值为（ ）A. B. 2 C. D. 1考点：简单线性规划.专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P到直线3x4y13=0的最小值解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当P与A（1，0）重合时，P到直线3x4y13=0的距离最小为d=故选：B点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7. 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为

6、直角三角形，则的最大值为（ ）A. 32 B. C.64 D. 考点：简单空间图形的三视图.专题：不等式的解法及应用；空间位置关系与距离分析：由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，进而根据基本不等式可得xy的最大值解答：解：由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，则x2+y2=1282xy，xy64，即xy的最大值为64，故选：C点评：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，基本不等式的应用，难度中档8. 如图，函数（其中）与坐标轴的三个交点满足，为线段的中

7、点，则的值为（ ）A. B. C. D. 考点：正弦函数的图象.专题：三角函数的图像与性质分析：由题意可得Q，R的坐标，利用距离公式求出周期，的值，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A解答：解：函数f（x）=Asin（x+）（其中）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0），为线段QR的中点，可得Q（4，0），R（0，4），|PQ|=3，T=6=，解得=，函数经过Q，R，有|=解得A=故选：C点评：本题考查三角函数的解析式的求法，考查计算能力，属于基本知识的考查9. .如图所示的程序框图中，若，且恒成立，则的最大值是（ ）A. 4 B.3 C. 1 D. 0考点：程序框图.专题：图表型；函

8、数的性质及应用；算法和程序框图分析：由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：h（x）=的值，数形结合求出h（x）的最小值，可得答案解答：解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：h（x）=的值，在同一坐标系，画出f（x）=x2x+1，g（x）=x+4的图象如下图所示：由图可知：当x=1时，h（x）取最小值3，又h（x）m恒成立，m的最大值是3，故选：B点评：本题主要考查了程序框图，分段函数的应用，函数恒成立，属于基本知识的考查10. 设函数，若实数分别是的零点，则（ ）A. B. C. D. 考点：函数零点的判定定理.专题：函数的性质及应用分析：根据函数的解

9、析式判断单调性，运用f（1）=e20，g（1）=0+250，得出a1，b1，再运用单调性得出g（a）g（1）0，f（b）f（1）0，即可选择答案解答：解：函数f（x）=ex+2x4，g（x）=lnx+2x25，f（x）与g（x）在各自的定义域上为增函数，f（1）=e20，g（1）=0+250，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，a1，b1，g（a）g（1）0，f（b）f（1）0，故选：A点评：本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可11. 在中，是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 考点：平面向量数量积的运算.专题：平面向

10、量及应用分析：通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b1）2，0b1，求出范围解答：解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（30），B（0，3，AB所在直线的方程为：y=3x，设M（a，3a），N（b，3b），且0a3，0b3不妨设ab，MN=，（ab）2+（ba）2=2，ab=1，a=b+1，0b2，=（a，3a）（b，3b）=2ab3（a+b）+9=2（b22b+3），0b2，b=1时有最小值4；当b=0，或b=2时有最大值6，的取值范围为4，6故选：D点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键12. 设函数，记，则（ ）A.

11、B. C. D. 无法确定考点：对数的运算性质.专题：函数的性质及应用分析：由于f1（ai+1）f1（ai）=可得I1=2014由于fi+1（ai+1）fi（ai）=即可得出I2=log20152015解答：解：f1（ai+1）f1（ai）=I1=|f1（a2）f1（a1）|+|f1（a3）f1（a2）|+|f1（a2015）f1（a2014）|=2014=f2（ai+1）f2（ai）=I2=|f2（a2）f2（a1）|+|f2（a3）f2（a2）|+|f2（a2015）f2（a2014）|=log20152015=1，I1I2故选：A点评：本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于

12、基础题第II卷本试卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13. 已知等比数列，前项和为，则 考点：等比数列的前n项和.专题：计算题；等差数列与等比数列分析：设等比数列an的公比为q，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值解答：解：设等比数列an的公比为q，由于，即a1+a1q=，a1q3+a1q4=6，两式相除，可得，q=2，a1=则S6=故答案为：点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题14. 已知，在二项式的展开

13、式中，的一次项系数的值为 考点：二项式系数的性质；定积分.专题：概率与统计分析：利用微积分基本定理可得a=1，于是二项式=，再利用展开式的通项公式即可得出解答：解：=1，二项式=，其通项公式Tr+1=（1）r，令103r=1，解得r=3T4=10x，一次项系数的值为10故答案为：10点评：本题考查了微积分基本定理、二项式的通项公式，属于基础题15. 设函数的定义域为，若对于任意的，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 考点：函数的值.专题：函数的性质及应用分析：函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1

14、+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，再利用倒序相加，即可得到结论解答：解：f（x）=x3+sinx+2，f（x）=3x2cosx，f（x）=6x+sinx，f（0）=0，而f（x）+f（x）=x3+sinx+2+x3sinx+2=4，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，=204+f（0）=82故答案为：82点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，是解题的关键16.给定方程：，下列命题中：该方程没有小于0的实数解；该方程有无数个实数解；

15、该方程在内有且只有一个实数根；若是方程的实数根，则. 正确命题是 考点：命题的真假判断与应用.专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故正确；根据y=（）x1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x1时方程没有实数解，当1x0时方程有唯一实数解，由此可得都正确解答：解：对于，若是方程（）x+sinx1=0的一个解，则满足（）=1sin，当为第三、四象限角时（）1，此时0，因此该方程存在小于0的实数解，得不正确；对于，原方程等价于（）x1=s

16、inx，当x0时，1（）x10，而函数y=sinx的最小值为1且用无穷多个x满足sinx=1，因此函数y=（）x1与y=sinx的图象在0，+）上有无穷多个交点因此方程（）x+sinx1=0有无数个实数解，故正确；对于，当x0时，由于x1时（）x11，函数y=（）x1与y=sinx的图象不可能有交点当1x0时，存在唯一的x满足（）x=1sinx，因此该方程在（，0）内有且只有一个实数解，得正确；对于，由上面的分析知，当x1时（）x11，而sinx1且x=1不是方程的解函数y=（）x1与y=sinx的图象在（，1上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x01故答案为：点评：本题给出含有指数

17、式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在中，分别为角、的对边，为边的中点，（I）若，求的值；（II）若，求的面积.考点：正弦定理；余弦定理.专题：计算题；三角函数的求值；解三角形分析：（）运用余弦定理和正弦定理及同角的平方关系，即可计算得到；（） 以BA，BC为邻边作平行四边形ABCE，再由诱导公式和余弦定理和面积公式，计算即可得到解答：解：（） ，c=3，由余弦定理：b2=c2+a22cacosABC=， 又ABC（0，），所以

18、，由正弦定理：，得（） 以BA，BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图，则，BE=2BD=6，在BCE中，由余弦定理：BE2=CB2+CE22CBCEcosBCE 即，解得：CE=3，即AB=3，所以点评：本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，同时考查诱导公式和同角的平方关系的运用，属于基础题18.(本小题满分12分)某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为，背诵错误的的概率为，现记“该班级完成首背诵后总得分为”.（I） 求且的概率；（II）记，求的

19、分布列及数学期望.考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列.专题：计算题；概率与统计分析：（）当S6=20时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，分类求概率求和；（）=|S5|的取值为10，30，50，又，从而分别求概率以列出分布列，再求数学期望解答：解：（）当S6=20时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首，此时的概率为：；（）=|S5|的取值为10，30，50，又，的分布列为：103050点评：本题考查了概率的求

20、法及分布列的列法及数学期望的求法，属于基础题19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面，为的中点，为棱上一点.（I）试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论；（II）若，求二面角的余弦值.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定.专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）当M为PC中点时，PA平面BMQ，连结AC交BQ于N，连结MN，则MNPA，由此能证明PA平面BMQ（）以点D为原点DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角PBQM的余弦值解答：解：（）当M为PC中点时，PA平面BMQ，（2分）理由如下：连结AC交BQ

21、于N，连结MN，因为ADC=90，Q为AD的中点，所以N为AC的中点当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为PAC的中位线，（4分）故MNPA，又MN平面BMQ，PA平面BMQ，所以PA平面BMQ（5分）（）由题意，以点D为原点DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，（6分）则P（0，0，2），Q（1，0，0），B（1，2，0），（7分）由PM=2MC可得点，所以，设平面PQB的法向量为，则令z=1，（9分）同理平面MBQ的法向量为，（10分）设二面角大小为，二面角PBQM的余弦值为（12分）点评：本题考查使得直线与平面平行的点的位置确定，考查二面角的余弦值的求法，解题

22、时要认真审题，注意向量法的合理运用20.（本小题满分12分）已知动点到定点和直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线，过点作垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线与曲线交于两点，与线段相交于一点（与不重合）（I）求曲线的方程；（II）当直线与圆相切时，四边形的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线的方程；若没有，请说明理由.考点：直线与圆锥曲线的综合问题.专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）设点P（x，y），由题意可得，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意当m0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭

23、圆方程联立可得利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可得，整理可得：曲线E的方程是（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意当m0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得，所以，=当且仅当，即时等号成立，此时经检验可知，直线和直线符合题意点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题21. （本小题满分12分）已知函数.（I）当时，求在点处的切线方程；

24、（II）当时，设函数，且函数有且仅有一个零点，若，求的取值范围.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理.专题：导数的综合应用分析：（）当a=1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f（1）处的切线方程；（）由g（x）=f（x）x2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e2xe，g（x）m，求出g（x）max，即可求得m的取值范围解答：解：（）当a=1时，f（x）=（x22x）lnxx2+2，定义域（0，+），f（x）

25、=（2x2）lnx+（x2）2xf（1）=3，又f（1）=1，f（x）在（1，f（1）处的切线方程3x+y4=0；（）g（x）=f（x）x2=0，则（x22x）lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h（x）=，则h（x）=，令t（x）=1x2lnx，则t（x）=，x0，t（x）0，t（x）在（0，+）上是减函数，又t（1）=h（1）=0，当0x1时，h（x）0，当x1时，h（x）0，h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，h（x）max=h（1）=1，当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x22x）lnx+x2x，若e2xe，g（x）m，只需证明g（x

26、）maxm，g（x）=（x1）（3+2lnx），令g（x）=0，得x=1或x=e，又e2xe，函数g（x）在（e2，e）上单调递增，在（e，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（e）=e3+2e，g（e）=2e23e，g（e）=e3+2e2e2e2e（e）=g（e），g（e）g（e），m2e23e点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图所示，交

27、圆于两点，切圆于，为上一点且，连接并延长交圆于点，作弦垂直，垂足为.（I）求证：为圆的直径；（II）若，求弦的长.考点：与圆有关的比例线段；直线和圆的方程的应用.专题：直线与圆分析：（）由已知PG=PD，得到PDG=PGD，由切割弦定理得到PDA=DBA，进一步得到EGA=DBA，从而PFA=BDA最后可得BDA=90，说明AB为圆的直径；（）连接BC，DC由AB是直径得到BDA=ACB=90，然后由RtBDARtACB，得到DAB=CBA再由DCB=DAB可推得DCAB进一步得到ED为直径，则ED长可求解答：（）证明：PG=PD，PDG=PGD，由于PD为切线，故PDA=DBA，又EGA=P

28、GD，EGA=DBA，DBA+BAD=EGA+BAD，从而PFA=BDA又AFEP，PFA=90，则BDA=90，故AB为圆的直径（）解：连接BC，DC由于AB是直径，故BDA=ACB=90在RtBDA与RtACB中，AB=BA，AC=BD，从而得RtBDARtACB，于是DAB=CBA又DCB=DAB，DCB=CBA，故DCABABEP，DCEP，DCE为直角，ED为直径，又由（1）知AB为圆的直径，DE=AB=5点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的切割线定理的应用，是中档题23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立直角坐标系

29、，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线和圆交于两点，是圆上不同于的任意一点.（I）求圆心的极坐标；（II）求面积的最大值.考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程.专题：坐标系和参数方程分析：（）由圆C的极坐标方程为，化为2=，把代入即可得出（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出解答：解：（）由圆C的极坐标方程为，化为2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y22x+2y=0，即（x1）2+（y+1）2=2圆心坐标为（1，1），圆心极坐标为；（）由直线l的参数方程

30、（t为参数），把t=x代入y=1+2t可得直线l的普通方程：，圆心到直线l的距离，|AB|=2=，点P直线AB距离的最大值为，点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数.（I）当时，求不等式的解集；（II）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.考点：绝对值不等式的解法；二次函数的性质.专题：不等式的解法及应用分析：（）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，

31、即得所求（）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2在x=1取得最小值2，f（x）在x=1处取得最大值m2，故有m22，由此求得m的范围解答：解：（）当m=5时，由f（x）2可得 ，或 ，或 解求得x1，解求得1x0，解求得x，易得不等式即43x2 解集为（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=1取得最小值2，因为在x=1处取得最大值m2，所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m22，求得m4点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解；还考查了函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题