《解析》北京市临川学校2016届高三上学期期中数学试卷（文科） WORD版含解析.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年北京市临川学校高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集为R，集合A=x|x1，那么集合RA等于( )Ax|x1Bx|x1Cx|x1Dx|x12已知命题p：xR，x2+x10，则p为( )AxR，x2+x10BxR，x2+x10CxR，x2+x10DxR，x2+x103下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是( )Ay=x3By=Cy=cosxDy=2|x|4设a=log23，b=log43，c=sin90，则( )AacbBb

2、caCcabDcba5如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90）90，100），则图中x的值等于( )A0.754B0.048C0.018D0.0126如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数z2=( )A34iB5+4iC54iD34i7已知向量+=（2，8），=（8，16），则与夹角的余弦值为( )ABCD8设Sn为等比数列an的前n项和，8a2+a5=0，则等于( )A11B5C8D119若（，）且3cos2=4sin（），则sin2的值为( )ABCD10如图是一算法的程序框图，

3、若此程序运行结果为s=55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是( )Ak11Bk10Ck9Dk811根据表格中的数据，可以断定函数f（x）=lnx的零点所在的区间是( )x12e35lnx00.6911.101.6131.51.1010.6A（1，2）B（2，e）C（e，3）D（3，5）12已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是( )A（0，+）B（，1）C（1，+）D（0，1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置13复数2+i的模等于_14定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f的值为_15已知a，b，

4、c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，那么a等于_16将全体正整数排成一个三角形数阵；根据以上排列规律，数阵中第n（n3）行从左至右的第3个数是_三、解答题：（70分）17等差数列an足：a2+a4=6，a6=S3，其中Sn为数列an前n项和（）求数列an通项公式；（）若kN*，且ak，a3k，S2k成等比数列，求k值18已知函数f（x）=2sinxcosx2sin2x+a，aR（）求函数f（x）的最小正周期；（）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围19甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72 78乙 78 82

5、 88 82 95（）用茎叶图表示这两组数据；（）现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（）若从甲、乙两人的5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率20设aR，已知函数f（x）=ax33x2（）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（）若对任意的x1，3，有f（x）+f（x）0恒成立，求实数a的取值范围21已知数列是公差为2的等差数列，且a1=1（）求数列an的通项公式；（）设数列anan+1的前n项和为Tn证明：Tn22已知函数f（x）=（x+a）ex，其中e是自然对数的底数，aR（）求函数f（x）的单调区间；（）当x0，4时，求函数f（x）的最

6、小值2015-2016学年北京市临川学校高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集为R，集合A=x|x1，那么集合RA等于( )Ax|x1Bx|x1Cx|x1Dx|x1【考点】补集及其运算 【专题】集合【分析】根据全集R及A，求出A的补集即可【解答】解：全集为R，集合A=x|x1，RA=x|x1故选：C【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2已知命题p：xR，x2+x10，则p为( )AxR，x2+x10BxR，x2+x10CxR，x2+x10DxR，x2+x10【考点

7、】命题的否定 【专题】简易逻辑【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题所以，命题p：xR，x2+x10，则p为：xR，x2+x10故选：D【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查3下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是( )Ay=x3By=Cy=cosxDy=2|x|【考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】函数的性质及应用【分析】运用奇偶性的定义和常见函数的奇偶性，结合函数的单调性，即可判断D正确，A，B，C均错【解答】解：选项A，y=x3为奇函数，故错误；选项B，y=为幂函数，定义域为0，+）不关

8、于原点对称，不具奇偶性，故错误；选项C，y=cosx为偶函数，但在区间（0，+）上没有单调性，故错误；选项D，y=2|x|为偶函数，当x0时，解析式可化为y=2x，显然满足在区间（0，+）上单调递增，故正确故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性，属基础题4设a=log23，b=log43，c=sin90，则( )AacbBbcaCcabDcba【考点】对数值大小的比较 【专题】函数的性质及应用【分析】利用对数函数的单调性、sin90=1即可得出【解答】解：b=log43log44=1，c=sin90=1，a=log23log22=1bca故选：B【点评】本题考查了对数函数的单调性、sin

9、90=1，属于基础题5如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90）90，100），则图中x的值等于( )A0.754B0.048C0.018D0.012【考点】频率分布直方图 【专题】图表型【分析】根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；【解答】解：由图得300.006+100.01+100.054+10x=1，解得x=0.018故选C【点评】本题主要考查了频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图中各组累积频率和为1是解答的关键6如图所示，在复平面内，点A对应的复数为

10、z，则复数z2=( )A34iB5+4iC54iD34i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【专题】数系的扩充和复数【分析】在复平面内，点A对应的复数为z=2+i，再利用复数的运算法则即可得出【解答】解：在复平面内，点A对应的复数为z=2+i，则复数z2=（2+i）2=34i故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题7已知向量+=（2，8），=（8，16），则与夹角的余弦值为( )ABCD【考点】数量积表示两个向量的夹角 【专题】计算题；平面向量及应用【分析】利用向量坐标关系，求出=（3，4），=（5，12），再利用cos=求解即可【解答】解：由向量，得=（3，

11、4），=（5，12），所以|=5，|=13，=63，即与夹角的余弦值cos=故选：B【点评】本题考查向量运算的坐标表示，夹角的计算，属于基础题8设Sn为等比数列an的前n项和，8a2+a5=0，则等于( )A11B5C8D11【考点】等比数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意可得数列的公比q，代入求和公式化简可得【解答】解：设等比数列an的公比为q，（q0）由题意可得8a2+a5=8a1q+a1q4=0，解得q=2，故=11故选D【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题9若（，）且3cos2=4sin（），则sin2的值为( )ABCD【考点】二倍角的余弦

12、；两角和与差的正弦函数 【专题】三角函数的求值【分析】由条件化简可得 3（cos+sin）=2，平方可得1+sin2=，从而解得sin2的值【解答】解：（，），且3cos2=4sin（），3（cos2sin2）=4（cossin），化简可得：3（cos+sin）=2，平方可得1+sin2=，解得：sin2=，故答案为：C【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题10如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为s=55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是( )Ak11Bk10Ck9Dk8【考点】程序框图 【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每

13、次循环得到的s，k的值，当s=55时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出程序运行结果为s=55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是k10【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=2，s=1满足条件，s=3，k=3满足条件，s=6，k=4满足条件，s=10，k=5满足条件，s=15，k=6满足条件，s=21，k=7满足条件，s=28，k=8满足条件，s=36，k=9满足条件，s=45，k=10满足条件，s=55，k=11此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出程序运行结果为s=55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是k10故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，当s=55时退出

14、循环，输出程序运行结果为s=55，得到退出循环的条件是解题的关键，属于基本知识的考查11根据表格中的数据，可以断定函数f（x）=lnx的零点所在的区间是( )x12e35lnx00.6911.101.6131.51.1010.6A（1，2）B（2，e）C（e，3）D（3，5）【考点】函数零点的判定定理 【专题】函数的性质及应用【分析】由所给的表格可得 f（e）=0.10，f（3）=0.10，故有f（e）f（3）0，由此求得函数的零点所在的区间【解答】解：由所给的表格可得 f（e）=11.1=0.10，f（3）=1.11=0.10，f（e）f（3）0，故函数的零点所在的区间为（e，3），故选C【

15、点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题12已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是( )A（0，+）B（，1）C（1，+）D（0，1【考点】分段函数的应用 【专题】数形结合；函数的性质及应用【分析】画出函数f（x）=的图象，和直线y=k，将关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点通过平移直线，观察即可得到【解答】解：画出函数f（x）=的图象，和直线y=k，关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点观察得出：（1）k1，或k0有且只有1个交点；（2）0k

16、1有且只有2个交点故实数k的取值范围是（0，1故选D【点评】本题考查方程的根的个数，考查数形结合的思想方法，注意转化思想，转化为函数的图象的交点个数问题，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置13复数2+i的模等于【考点】复数求模 【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数模的计算公式即可得出【解答】解：z=2+i，|z|=故答案为：【点评】本题考查了复数模的计算公式，属于基础题14定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f的值为1【考点】分段函数的应用；函数的值 【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】通过x0，求出函数的周期，化简所

17、求表达式，利用分段函数求解即可【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，x0时，f（x）=f（x1）f（x2），f（x+1）=f（x）f（x1），可得f（x+2）=f（x2），f（x+4）=f（x+2）=f（x2）可得f（x+6）=f（x）此时函数的周期为：6f=f（6335+5）=f（5）=f（1）=log2（1+1）=1故答案为：1【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力15已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，那么a等于4【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由已知利用余弦定理即可求值得解【解答】解：，由余

18、弦定理可得：b2=a2+c22accosB，即：7=a2+32a，整理解得：a=4或1（舍去）故答案为：4【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题16将全体正整数排成一个三角形数阵；根据以上排列规律，数阵中第n（n3）行从左至右的第3个数是【考点】归纳推理 【专题】规律型；整体思想；分析法；推理和证明【分析】先找到数的分布规律，求出第n行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n+1行从左向右的第3个数即可【解答】解：由排列的规律可得，第n1行结束的时候排了1+2+3+（n1）=个数所以n行从左向右的第3个数+3=故答案为【点评】本题借助于一个三角形数阵考查了数

19、列的应用，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）三、解答题：（70分）17等差数列an足：a2+a4=6，a6=S3，其中Sn为数列an前n项和（）求数列an通项公式；（）若kN*，且ak，a3k，S2k成等比数列，求k值【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式 【专题】等差数列与等比数列【分析】（）设出等差数列的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，则数列an通项公式可求；（）求出S2k，结合ak，a3k，S2k成等比数列列式求k值【解答】解：（）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a2+a4=

20、6，a6=S3，得，解得an=1+1（n1）=n；（），由ak，a3k，S2k成等比数列，得9k2=k（2k2+k），解得k=4【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题18已知函数f（x）=2sinxcosx2sin2x+a，aR（）求函数f（x）的最小正周期；（）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 【专题】三角函数的图像与性质【分析】（）首先，利用二倍角公式，化简函数解析式，然后，利用周期公式确定该函数的最小正周期；（）令f（x）=0，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解【解答】

21、解：（）f（x）=sin2x+cos2x+a1=2sin（2x+）+a1，T=，函数f（x）的最小正周期为（）令f（x）=0，即2sin（2x+）+a1=0，则a=12sin（2x+），1sin（2x+）1，112sin（2x+）3，若f（x）有零点，则实数a的取值范围是1，3【点评】本题重点考查了二倍角公式、三角恒等变换公式，三角函数的图象与性质等知识，考查比较综合，属于中档题19甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72 78乙 78 82 88 82 95（）用茎叶图表示这两组数据；（）现要从中选派一名运动员参加比

22、赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（）若从甲、乙两人的5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率【考点】茎叶图；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式 【专题】概率与统计【分析】（）根据茎叶图的定义，即可用茎叶图表示这两组数据；（）根据茎叶图中数值的分布，进行比较即可得到结论；（）根据古典概型的概率公式，利用列举法即可得到结论【解答】解：（）茎叶图如图：（）由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，乙的数据主要集中在82附近，则乙的方差小于甲的方差，且乙的最高分高于甲的最高分，因此应选派乙参赛更好（）记事件A：甲的成绩比乙高从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩，所

23、有的基本事件如下：（86，78），（86，82），（86，88），（86，82），（86，95），（77，78），（77，82），（77，88），（77，82），（77，95），（92，78），（92，82），（92，88），（92，82），（92，95），（72，78），（72，82），（72，88），（72，82），（72，95），：（78，78），（78，82），（78，88），（78，82），（78，95），共25个事件A包含的基本事件有：（86，78），（86，82），（86，82），（92，78），（92，82），（92，88），（92，82），共7个，甲的成绩比乙高的概率P（A）

24、=【点评】本题主要考查茎叶图的应用，以及古典概型的概率计算，利用列举法是解决本题的关键20设aR，已知函数f（x）=ax33x2（）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（）若对任意的x1，3，有f（x）+f（x）0恒成立，求实数a的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用【分析】（I）当a=1时，f（x）=x33x2，求出函数的导数，求解函数的单调区间（II）题目转化为对x1，3恒成立构造函数利用导数求解函数的最小值，即可得到实数a的取值范围【解答】（共13分）解：（I）当a=1时，f（x）=x33x2，则f（x）=3x26x，由f（

25、x）0，得x0，或x2，由f（x）0，得0x2，所以f（x）的单调递增区间为（，0），（2，+），单调递减区间为（0，2）（II）依题意，对x1，3，ax33x2+3ax26x0，这等价于，不等式对x1，3恒成立令，则，所以h（x）在区间1，3上是减函数，所以h（x）的最小值为所以，即实数a的取值范围为（13分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力21已知数列是公差为2的等差数列，且a1=1（）求数列an的通项公式；（）设数列anan+1的前n项和为Tn证明：Tn【考点】数列的求和 【专题】等差数列与等比数列【分析】（）利用等差数列的通项公式，求出数列a

26、n的通项公式；（）利用裂项求出和，求出Tn，由nN+和Tn单调性可求出Tn的取值范围【解答】解：（）由已知列为公差为2的等差数列，又a1=1，；（）由（）知=，Tn=a1a2+a2a3+anan+1=，又，Tn随n的增大而增大，【点评】本题考查等差数列的通项公式和裂项求和，还考查了函数的单调性，裂项求和是最重要的数列求和方法这一属于中档题22已知函数f（x）=（x+a）ex，其中e是自然对数的底数，aR（）求函数f（x）的单调区间；（）当x0，4时，求函数f（x）的最小值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】导数的综合应用【分析】（）先对函数求导，令导函数大于

27、0得到递增区间，令导函数小于0得到递减区间；（）根据（）确定的函数单调性，讨论a1与0，4的关系，得到函数f（x）在0，4上的单调性，进而可得函数f（x）的最小值【解答】解：（）因为f（x）=（x+a）ex，所以f（x）=（x+a+1）ex，令f（x）=0，得x=a1 当x变化时，f（x）和f（x）的变化情况如下：x（，a1）a1（a1，+） f（x）0+f（x）故f（x）的单调减区间为（，a1）；单调增区间为（a1，+）（）由（），得f（x）的单调减区间为（，a1）；单调增区间为（a1，+）所以当a10，即a1时，f（x）在0，4上单调递增，故f（x）在0，4上的最小值为f（x）min=f（0）=a； 当0a14，即5a1时，f（x）在（0，a1）上单调递减，在（a1，4）上单调递增，故f（x）在0，4上的最小值为f（x）min=f（a1）=ea1；当a14，即a5时，f（x）在（0，4）上单调递减，故f（x）在0，4上的最小值为f（x）min=f（4）=（a+4）e4所以函数f（x）在0，4上的最小值为为f（x）min=【点评】本题考查导数知识的运用，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，要注意求极值时，导数等于0根的左右单调性的判断考查了分析解决问题的能力高考资源网版权所有，侵权必究！