江苏省常州市高三（上）期末数学试卷.docx

1、2022-2022学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷一、填空题1设复数z满足（z+i）（2+i）=5（i为虚数单位），则z=_2设全集U=1，2，3，4，集合A=1，3，B=2，3，则BUA=_3某地区有高中学校10所、初中学校30所，小学学校60所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校_所4已知双曲线C：（a0，b0）的一条渐近线经过点P（1，2），则该双曲线的离心率为_5函数f（x）=log2（x2+2）的值域为_6某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为_7如图所示的流程图中，输出S的值是_8

2、已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2，锐角为60的菱形，侧棱PA底面ABCD，PA=3，若点M是BC的中点，则三棱锥MPAD的体积为_9已知实数x，y满足，则2x+y的最大值为_10已知平面向量，xR，若，则|=_11已知等比数列an的各项均为正数，且a1+a2=，a3+a4+a5+a6=40则的值为_12如图，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB=90，AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正实数），则的最小值为_13在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x4）2+y2=4，动点P在直线x+yb=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别

3、为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是_14已知函数f（x）=若不等式f（x）kx，对xR恒成立，则实数k的取值范围是_二、简答题15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos（BC）=1cosA，且b，a，c成等比数列，求：（1）sinBsinC的值；（2）A；（3）tanB+tanC的值16如图，正三棱柱A1B1C1ABC，点D，E分别是A1C，AB的中点（1）求证：ED平面BB1C1C（2）若AB=BB1，求证：A1B平面B1CE17已知等差数列an的公差d为整数，且ak=k2+2，a2k=（k+2）2，其中k为常数且kN*（1）求k及an（

4、2）设a11，an的前n项和为Sn，等比数列bn的首项为l，公比为q（q0），前n项和为Tn，若存在正整数m，使得，求q18如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，CDP=60且圆弧栈桥BP在CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），BOP=（1）求S关于的函数关系式；（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cos的值

5、，若不存在，说明理由19在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（ab0）的离心率是e，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=，长轴长为4（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：x2+y2=3的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论20已知a，b为实数，函数f（x）=ax3bx（1）当a=1且b1，3时，求函数F（x）=|+2b+1（x的最大值为M（b）；（2）当a=0，b=1时，记h（x）=函数h（x）的图象上一点P（x0，y0）处的切线方程为y=y（x），记g（x）=h（x）y（x）问：

6、是否存在x0，使得对于任意x1（0，x0），任意x2（x0，+），都有g（x1）g（x2）0恒成立？若存在，求也所有可能的x0组成的集合；若不存在，说明理由令函数H（x）=，若对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，求实数s的取值集合选修4-1：几何证明选讲21如图所示，ABC是O的内接三角形，且AB=AC，APBC，弦CE的延长线交AP于点D，求证：AD2=DEDC选修4-2：矩形与变换22已知矩阵M=的属于特征值8的一个特征向量是e=，点P（1，2）在M对应的变换作用下得到点Q，求Q的坐标2022-2022学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1设

7、复数z满足（z+i）（2+i）=5（i为虚数单位），则z=22i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由（z+i）（2+i）=5，得z+i=，z=22i故答案为：22i2设全集U=1，2，3，4，集合A=1，3，B=2，3，则BUA=2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先求出（UA），再根据交集的运算法则计算即可【解答】解：全集U=1，2，3，4，集合A=1，3，（UA）=2，4B=2，3，（UA）B=2故答为：23某地区有高中学校10所、初中学校30所，小学学校60所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生

8、进行体质健康检查，则应抽取初中学校6所【考点】分层抽样方法【分析】从100所学校抽取20所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为1：5，得到每个个体被抽到的概率，即可得到结果【解答】解：某城地区有学校10+30+60=100所，现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取20所，每个个体被抽到的概率是=，用分层抽样进行抽样，应该选取初中学校30=6人故答案为：64已知双曲线C：（a0，b0）的一条渐近线经过点P（1，2），则该双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的渐近线过点P，建立a，b，c的关系，结合离心率的公式进行求解即可【解答】解：焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=x，

9、一条渐近线经过点P（1，2），点P（1，2）在直线y=x，即=2，则b=2a，则c2=a2+b2=5a2，即c=a，则双曲线的离心率e=，故答案为：5函数f（x）=log2（x2+2）的值域为（，【考点】对数函数的图象与性质【分析】根据对数函数以及二次函数的性质解答即可【解答】解：0x2+22，x=0时，f（x）最大，f（x）最大值=f（0）=，故答案为：（，6某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数，由选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的3名学生都是女生，由此利用对立事件概率计算公式能求出

10、选出的学生中男女生都有的概率【解答】解：某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，基本事件总数n=10，选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的3名学生都是女生，选出的学生中男女生都有的概率为p=1=1=故答案为：7如图所示的流程图中，输出S的值是【考点】程序框图【分析】运行流程图，写出每次i1026成立时S，k的值，当k=2022，k1026不成立，退出循环，输出S的值为【解答】解：运行如图所示的流程图，有S=3，k=1，k1026成立，S=，k=2k1026成立，S=，k=3k1026成立，S=3，k=4观察规律可得S的取值周期为3，由于2022=6723，所以：k1026成立，S

11、=，k=2022k1026不成立，退出循环，输出S的值为故答案为：8已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2，锐角为60的菱形，侧棱PA底面ABCD，PA=3，若点M是BC的中点，则三棱锥MPAD的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由ADBC可知SADM=SABD，则VMPAD=VPADM=【解答】解：底面ABCD是边长为2，锐角为60的菱形，SADM=SADB=，PA底面ABCD，VMPAD=VPADM=故答案为9已知实数x，y满足，则2x+y的最大值为【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标

12、，代入目标函数得答案【解答】解由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），令z=2x+y，得y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为故答案为：10已知平面向量，xR，若，则|=2【考点】向量的模【分析】根据向量的垂直关系求出，从而求出|即可【解答】解：平面向量，xR，若，则4x+2x2=0，解得：2x=1，=（1，1），=（1，1）=（0，2），|=2，故答案为：211已知等比数列an的各项均为正数，且a1+a2=，a3+a4+a5+a6=40则的值为117【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列an的

13、公比为q，a1+a2=，a3+a4+a5+a6=40，解得a1=，q=3则=117故答案为：11712如图，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB=90，AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正实数），则的最小值为【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】假设=，用表示出，使用平面向量的基本定理得出m，n与的关系，得到关于的函数，求出函数的最值【解答】解： =， =+，设=+（01），则=（1）+，m=1，n=当且仅当3（+4）=即（+4）2=时取等号故答案为：13在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x4）2+y2=4，动点P在直线x+yb=0上，

14、过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是b4【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出P的轨迹方程，动点P在直线x+yb=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，转化为直线与圆x2+y2+x=0相交，即可求出实数b的取值范围【解答】解：由题意O（0，0），O1（4，0）设P（x，y），则PB=2PA，（x4）2+y2=4（x2+y2），x2+y2+x=0，圆心坐标为（，0），半径为，动点P在直线x+yb=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，直线与圆x2+y2+x=0相交，圆心到直线的距离d=，b+故答案为：b414已知函数f（

15、x）=若不等式f（x）kx，对xR恒成立，则实数k的取值范围是3ke2【考点】函数恒成立问题【分析】根据分段函数的表达式，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论【解答】解：当x=0时，不等式f（x）kx等价为00成立，当x0时，由f（x）kx得2x23xkx，即2x3k，当x0，2x33，则k3；当x0时，由f（x）kx得ex+e2kx，k，设h（x）=，当x0时，h（x）=，设g（x）=xexexe2，则g（x）=xex，当x0时，g（x）0，即函数g（x）为增函数，g（2）=2e2e2e2=0，当x2时，g（x）0，h（x）0，函数h（x）为增函数，当0

16、x2时，g（x）0，h（x）0，函数h（x）为减函数，即当x=2时，函数h（x）取得极小值，同时也是最小值h（2）=e2，此时ke2，综上3ke2，故答案为：3ke2二、简答题15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos（BC）=1cosA，且b，a，c成等比数列，求：（1）sinBsinC的值；（2）A；（3）tanB+tanC的值【考点】正弦定理；三角函数的化简求值【分析】（1）利用三角形内角和定理及两角和的余弦函数公式化简cos（BC）=1cosA即可求得sinBsinC的值（2）由等比数列的性质可得a2=bc，由正弦定理得sin2A=sinBsinC，由（1）解得si

17、n2A=，结合范围A（0，），a边不是最大边，即可解得A的值（3）由B+C=A=，可得cos（B+C）=cosBcosCsinBsinC=，解得cosBcosC的值，利用同角三角函数基本关系式及两角和的正弦函数公式化简所求后计算即可得解【解答】（本题满分为14分）解：（1）cos（BC）=1cosA=1+cos（B+C），cosBcosC+sinBsinC=1+cosBcosCsinBsinC，sinBsinC=2分（2）b，a，c成等比数列，a2=bc，由正弦定理，可得sin2A=sinBsinC，从而sin2A=，因为A（0，），所以sinA=，又因为a边不是最大边，所以A=8分（3）因为

18、B+C=A=，所以cos（B+C）=cosBcosCsinBsinC=，从而cosBcosC=，10分所以tanB+tanC=214分16如图，正三棱柱A1B1C1ABC，点D，E分别是A1C，AB的中点（1）求证：ED平面BB1C1C（2）若AB=BB1，求证：A1B平面B1CE【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）连结AC1，BC1，则DEBC1，由此能证明ED平面BB1C1C（2）推导出CEAB，从而CE平面ABB1A1，进而CEA1B，再推导出RtA1B1BRtB1BE，从而A1BB1E，由此能证明A1B平面B1CE【解答】证明：（1）连结AC1，BC1，AA

19、1C1C是矩形，D是A1C的中点，D是AC1的中点，在AA1C1C中，D、E分别是AC1、AB的中点，DEBC1，DE平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，ED平面BB1C1C（2）ABC是正三角形，E是AB的中点，CEAB，又正三棱柱A1B1C1ABC中，平面ABC平面ABB1A1，交线为AB，CE平面ABB1A1，CEA1B，在矩形ABB1A1中，RtA1B1BRtB1BE，B1A1B=BB1E，B1A1B+A1B1E=BB1E+A1B1E=90，A1BB1E，CE，B1E平面B1CE，CEB1E=E，A1B平面B1CE17已知等差数列an的公差d为整数，且ak=k2+2，a2k=（k

20、+2）2，其中k为常数且kN*（1）求k及an（2）设a11，an的前n项和为Sn，等比数列bn的首项为l，公比为q（q0），前n项和为Tn，若存在正整数m，使得，求q【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）根据等差数列an的公差d为整数，且ak=k2+2，a2k=（k+2）2，其中k为常数且kN*，可得a1+（k1）d=k2+2，a1+（2k1）d=（k+2）2，解得d=4+，即可得出（2）由于a11，可得an=6n3，Sn=3n2而，可得T3=1+q+q2整理为：q2+q+1=0，利用0，解得m，即可得出【解答】解：（1）等差数列an的公差d为整数，且ak=k2+2，a2k=（

21、k+2）2，其中k为常数且kN*，a1+（k1）d=k2+2，a1+（2k1）d=（k+2）2，解得d=4+，k=1或2，当k=1时，d=6，a1=3，an=3+6（n1）=6n3；当k=2时，d=5，a1=1，an=1+5（n1）=5n4（2）a11，an=6n3，Sn=3n2，T3=1+q+q2整理为：q2+q+1=0，=140，解得m2，mN*，m=1或2当m=1时，q2+q3=0，q0，解得q=当m=2时，q2+q=0，q0，舍去综上可得：q=18如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在

22、半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，CDP=60且圆弧栈桥BP在CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），BOP=（1）求S关于的函数关系式；（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cos的值，若不存在，说明理由【考点】在实际问题中建立三角函数模型【分析】（1）根据余弦定理和和三角形的面积公式，即可表示函数关系式，（2）存在，存在，S=（3cos+3sin1），根据两角和差的余弦公式即可求出【解答】解：（1）在COP中，CP2=CO2+OP22OCOP

23、cos=106cos，从而CDP得面积SCDP=CP2=（53cos），又因为COP得面积SCOP=OCOP=sin，所以S=SCDP+SCOPS扇形OBP=（3sin3cos）+，00，cos0=，当DP所在的直线与半圆相切时，设取的最大值为0，此时在COP中，OP=1，OC=3，CPO=30，CP=6sin0，cos0=，（2）存在，S=（3cos+3sin1），令S=0，得sin（+）=，当00，S0，所以当=0时，S取得最大值，此时cos（0+）=，cos0=cos（0+）=cos（0+）cos+sin（0+）sin=19在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（ab0）的离心率是e，定义直线

24、y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=，长轴长为4（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：x2+y2=3的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程，联立方程组求得a2=4，b2=3，c2=1，则椭圆方程可求；（2）设P（x0，2）（x00），当x0=时和x0=时，求出A的坐标，代入椭圆方程验证知，A在椭圆上，当x0时，求出过点O且垂直于0P的直线与椭圆的交点，写出该交点与P点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直

25、线是圆的切线，从而说明点A在椭圆C上【解答】解：（1）由题意得： =2，2a=4，又a2=b2+c2，联立以上可得：a2=4，b2=3，c2=1椭圆C的方程为+y2=1；（2）如图，由（1）可知，椭圆的类准线方程为y=2，不妨取y=2，设P（x0，2）（x00），则kOP=，过原点且与OP垂直的直线方程为y=x，当x0=时，过P点的圆的切线方程为x=，过原点且与OP垂直的直线方程为y=x，联立，解得：A（，），代入椭圆方程成立；同理可得，当x0=时，点A在椭圆上；当x0时，联立，解得A1（，），A2（，），PA1所在直线方程为（2+x0）x（x06）yx0212=0此时原点O到该直线的距离d=

26、，说明A点在椭圆C上；同理说明另一种情况的A也在椭圆C上综上可得，点A在椭圆C上20已知a，b为实数，函数f（x）=ax3bx（1）当a=1且b1，3时，求函数F（x）=|+2b+1（x的最大值为M（b）；（2）当a=0，b=1时，记h（x）=函数h（x）的图象上一点P（x0，y0）处的切线方程为y=y（x），记g（x）=h（x）y（x）问：是否存在x0，使得对于任意x1（0，x0），任意x2（x0，+），都有g（x1）g（x2）0恒成立？若存在，求也所有可能的x0组成的集合；若不存在，说明理由令函数H（x）=，若对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，求实数s的取值集合【考点】

27、利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）记t（x）=x2lnx，x，2，求出t（x）的范围是，4ln2，b1，3时，记v（t）=|tb|+2b+1，求出函数的单调性，求出M（b）即可；（2）求出h（x）的导数，求出g（x）的表达式，结合函数的单调性求出x0的值即可；求出H（x）的值域，根据y=x在s，+）递增，值域是，+），若se，则函数y=在（0，e）递增，e，s）是减函数，其值域是（，得到，即s22elns0，记u（s）=s22elns，根据函数的单调性判断即可【解答】解：（1）F（x）=|x2lnxb|+2b+1，记t（x）=x2lnx，x，2，则t（x

28、）=2x，令t（x）=0，得：x=，x2时，t（x）0，t（x）在（，）上递减，x2时，t（x）0，t（x）在（，2）上递增，又t（）=+ln2，t（2）=4ln2，t（）=且t（2）t（）=2ln20，t（x）的范围是，4ln2，b1，3时，记v（t）=|tb|+2b+1，则v（t）=，v（t）在，b上递减，在（b，4ln2递增，且v（）=3b+，v（4ln2）=b+5ln2，v（）v（4ln2）=2b+，b时，最大值M（b）=v（4ln2）=b+5ln2，b时，最大值M（b）=v（）=3b+，M（b）=；（2）h（x）=，h（x）=，h（x0）=，y（x）=（xx0）+y0，g（x）=y0

29、（xx0），g（x0）=0，g（x）=，g（x0）=0，令G（x）=g（x）=，G（x）=，g（x）在（0，）递减，在（，+）递增，若x0，则x（0，x0）时，g（x）0，g（x）递增，g（x）g（x0）=0，x（x0，）时，g（x）0，g（x）递减，g（x）g（x0）=0，不符合题意，若x0，则x（，x0）时，g（x）0，g（x）递减，g（x）g（x0）=0，x（x0，+）时，g（x）0，g（x）递增，g（x）g（x0）=0，不符合题意，若x0=，则x（0，）时，g（x）0，x（，+）时，g（x）0，符合题意，综上，存在x0满足要求，且x0的取值集合是，对任意实数k，总存在实数x0，使得H（

30、x0）=k成立，y=H（x）的值域是R，y=x在s，+）递增，值域是，+），对于y=，y=，x=e时，y=0，xe时，y0，在（e，+）递增，0xe时，y0，在（0，e）递减，若se，则函数y=在（0，e）递增，e，s）是减函数，其值域是（，又，不符合题意，舍去，若0se，则函数y=在（0，s）递增，其值域是（，），由题意得：，即s22elns0，记u（s）=s22elns，u（s）=2s=，0s时，u（s）0，u（s）在（0，）递减，s时，u（s）0，u（s）在（，e）递增，s=时，u（s）有最小值u（）=0，从而u（s）0恒成立（当且仅当s=时，u（s）=0），由得：u（s）=0，得：s=

31、，综上，实数s的取值集合是选修4-1：几何证明选讲21如图所示，ABC是O的内接三角形，且AB=AC，APBC，弦CE的延长线交AP于点D，求证：AD2=DEDC【考点】与圆有关的比例线段【分析】连接AE，通过证明AED=CAD，ACD=EAD，得到ACDEAD，即可证明结论【解答】证明：连接AE，则AED=B，AB=AC，ACB=B，AED=ACB，APBC，ACB=CAD，AED=CADACD=EAD，ACDEAD，AD2=DEDC选修4-2：矩形与变换22已知矩阵M=的属于特征值8的一个特征向量是e=，点P（1，2）在M对应的变换作用下得到点Q，求Q的坐标【考点】矩阵特征值的定义；特征向量的定义；特征向量的意义【分析】利用矩阵的特征值和特征向量的定义，求出矩阵，即可求Q的坐标【解答】解：由题意， =8，a=6，b=4，Q的坐标是（2，4）19 / 20