《解析》江苏省盐城市射阳二中2016届高三下学期期初数学试卷 WORD版含解析.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年江苏省盐城市射阳二中高三（下）期初数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1集合1，0，1共有个真子集2若复数（1i）（2i+m）是纯虚数，则实数m的值为3执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为31，则图中判断框内处应填的整数为4函数f（x）=Asin（x+），（A，是常数，A0，0）的部分图象如图所示，则f（0）=5已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15cm2，则此圆锥的体积为cm36从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为7设椭圆+=1（m0，n0）的右焦点与抛物线y2=8x的

2、焦点相同，离心率为，则此椭圆的短轴长为8如图，在ABC中，ADAB，则=9曲线y=和y=x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是10设f（x）=，若f（t）=f（）则t的范围11直线y=kx+3与圆（x3）2+（y2）2=4相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取值范围是12如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为13若a，bR，且4a2+b29，则a2ab+b2的最小值是14已知函数f（x）=kx，g（x）=，如果关于x的方程f（x）=g（x）在区间，e内有两个实数解，那么实

3、数k的取值范围是二、解答题：（共6小题，满分90分）15已知函数f（x）=sin（+x）sin（x）+sinxcosx（xR）（1）求f（）的值；（2）在ABC中，若f（A）=1，求sinB+sinC的最大值16已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，BAD=45，DEAB（如图1）现将ADE沿DE折起，使得AEEB（如图2），连接AC，AB，设M是AB的中点（1）求证：BC平面AEC；（2）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由17已知A（2，0）、B（2，0），点C、点D依次满足（1）求点D的轨迹方程；（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到

4、y轴的距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程18某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE，DF是两根支杆，其中AB=2米，EOA=FOB=2x（0x）现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k（k0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和（1）试将y表示为x的函数；（2）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦

5、效果”最佳19已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn=（1）求a1；（2）证明数列an为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgbn=，试问是否存在正整数p，q（其中1pq），使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由20已知函数f（x）=x2+x，g（x）=x+lnx，h（x）=f（x）+g（x），其中R，且0（1）当=1时，求函数g（x）的最大值；（2）求函数h（x）的单调区间；（3）设函数若对任意给定的非零实数x，存在非零实数t（tx），使得（x）=（t）成立，求实数的取值范围三、附加题（共4小题，满分0分）21设是矩阵的一个特征

6、向量，求实数a的值22在极坐标系中，设直线=与曲线210cos+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标23如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，BAC=90，AB=2，AC=6，点D在线段BB1上，且BD=，A1CAC1=E（）求证：直线DE与平面ABC不平行；（）设平面ADC1与平面ABC所成的锐二面角为，若cos=，求AA1的长；（）在（）的条件下，设平面ADC1平面ABC=l，求直线l与DE所成的角的余弦值24如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（8，4），P（2，t）（t0）在抛物线y2=2px（p0）上（1）求p，t的值；（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，

7、直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=2k3，求点C的坐标2015-2016学年江苏省盐城市射阳二中高三（下）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1集合1，0，1共有7个真子集【考点】子集与真子集【分析】根据集合元素个数与集合真子集之间的关系即可得到结论【解答】解：集合1，0，1含有3个元素，集合的真子集个数为231=81=7，故答案为：72若复数（1i）（2i+m）是纯虚数，则实数m的值为2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：复

8、数（1i）（2i+m）=m+2+（m2）i是纯虚数，解得m=2故答案为：23执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为31，则图中判断框内处应填的整数为4【考点】程序框图【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出的b的值为31，确定跳出循环的a值，从而确定判断框的条件【解答】解：由程序框图知：第一次循环b=2+1=3，a=2；第二次循环b=23+1=7，a=3；第三次循环b=27+1=15，a=4；第四次循环b=215+1=31，a=5输出的b的值为31，跳出循环的a值为5，判断框内的条件是a4，故答案为：44函数f（x）=Asin（x+），（A，是常数，A0，0）的部分图象如图所示

9、，则f（0）=【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求得f（0）的值【解答】解：由函数的图象可得A=， T=，求得=2再根据五点法作图可得2+=，=，故f（x）=sin（2x+），f（0）=sin=，故答案为：5已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15cm2，则此圆锥的体积为12cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】先求圆锥的底面半径，再求圆锥的高，然后求其体积【解答】解：已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15cm2，所以圆锥的底面周长：6底面半径是：3圆锥的高是：4此圆锥的体积为：

10、故答案为：126从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案【解答】解：从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4）（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有2种，即（1，2），（2，4），故其中一个数是另一

11、个的两倍的概率为=，故答案为：7设椭圆+=1（m0，n0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的短轴长为4【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意可得：抛物线y2=8x的焦点（2，0），可得c=2，利用离心率为，可得a=4，即可求出椭圆的短轴长【解答】解：由题意可得：抛物线y2=8x的焦点（2，0），c=2，离心率为，a=4，b=2，即n=2，椭圆的短轴长为4，故答案为：48如图，在ABC中，ADAB，则=【考点】向量在几何中的应用【分析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题【解答】解：，cosDAC=sinBAC，在ABC中，由正弦定理得变形得|AC|

12、sinBAC=|BC|sinB，=|BC|sinB=，故答案为9曲线y=和y=x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是a=【考点】曲线与方程；两条直线垂直的判定【分析】先求出它们交点的横坐标，再求出它们的斜率表达式，由两条切线互相垂直、斜率之积等于1，解出a的值【解答】解：曲线y=和y=x2的交点的横坐标是，它们的斜率分别是=和 2x=2，切线互相垂直，2=1，a=，故答案为 a=10设f（x）=，若f（t）=f（）则t的范围2，3【考点】函数的值；分段函数的应用【分析】利用分段函数的性质求解【解答】解：f（x）=，f（t）=f（），当t1时，t+2=，解得t=，或t=（舍）；当1t0

13、时，2t+1=，无解；0t2时，2t+1=8，t=2，不成立；2t3时，f（t）=f（）=8，成立；t3时，8=2，解得t=3，不成立综上所述，t的范围为：2，3故答案为：2，311直线y=kx+3与圆（x3）2+（y2）2=4相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取值范围是，0【考点】直线与圆的位置关系【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理表示出弦长|MN|，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围【解答】解：由圆的方程得：圆心（3，2），半径r=2，圆心到直线y=kx+3的距离d=，|MN|2，2=22，变

14、形得：43，即8k2+6k0，解得：k0，则k的取值范围是，0故答案为：，012如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质；直线和圆的方程的应用；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】连接AF1，根据F2AB是等边三角形可知AF2B=30，F1F2是圆的直径可表示出|AF1|、|AF2|，再由双曲线的定义可得cc=2a，即可得到离心率的值【解答】解：连接AF1，则F1AF2=90，AF2B=30|AF1|=，|AF2|=|F1F2|=c，cc=2a，e=1+故答案为1+

15、13若a，bR，且4a2+b29，则a2ab+b2的最小值是2【考点】基本不等式【分析】由题意令a=rcos，b=rsin （2r3），由三角函数的知识可得【解答】解：a，bR，且4a2+b29可令a=rcos，b=rsin （2r3），a2ab+b2=r2cos2r2sincos+r2sin2=r2（1sincos）=r2（1sin2），由三角函数可知当sin2取最大值1且r取最小值2时，上式取到最小值2故答案为：214已知函数f（x）=kx，g（x）=，如果关于x的方程f（x）=g（x）在区间，e内有两个实数解，那么实数k的取值范围是）【考点】函数的零点【分析】将方程的解的个数问题转化为函

16、数的图象的交点个数问题；通过导数研究函数的单调性及极值；通过对k与函数h（x）的极值的大小关系的讨论得到结论【解答】解：由f（x）=g（x），kx=，k=，令h（x）=，方程f（x）=g（x）在区间，e内有两个实数解，h（x）=在，e内的图象与直线y=k有两个交点h（x）=，令h（x）=0，则x=，当x，内h（x）0，当x，e内h（x）0，当x=，h（x）=，当x=e时，h（e）=，当x=，h（x）=e2，故当k）时，该方程有两个解故答案为：）二、解答题：（共6小题，满分90分）15已知函数f（x）=sin（+x）sin（x）+sinxcosx（xR）（1）求f（）的值；（2）在ABC中，若f

17、（A）=1，求sinB+sinC的最大值【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理【分析】（1）利用倍角公式与辅助角公式将f（x）=sin（+x）sin（x）+sinxcosx化为：f（x）=sin（2x+），即可求得f（）的值；（2）由A为三角形的内角，f（A）=sin（2A+）=1可求得A=，从而sinB+sinC=sinB+sin（B），展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得sinB+sinC的最大值【解答】（1）f（x）=sin（+x）sin（x）+sinxcosx=cos2x+sin2x，sin（2x+），f（）=1；（2）f（A）=sin（2A+）=1，而0A可得：2A+=，即A=si

18、nB+sinC=sinB+sin（B）=sinB+cosB=sin（B+）0B，B+，0sin（B+）1，sinB+sinC的最大值为16已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，BAD=45，DEAB（如图1）现将ADE沿DE折起，使得AEEB（如图2），连接AC，AB，设M是AB的中点（1）求证：BC平面AEC；（2）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）在图1中，过C作CFEB，连接CE，证明BCCE，在图2中，利用AEEB，AEED，可证AE平面BCDE，从而可得AEBC，即可证明BC平面AEC（2）用反证法

19、假设EM平面ACD，从而可证面AEB面AC，而A平面AEB，A平面ACD，与平面AEB平面ACD矛盾，故可得结论【解答】（1）证明：在图1中，过C作CFEBDEEB，四边形CDEF是矩形，CD=1，EF=1四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，AE=BF=1BAD=45，DE=CF=1连接CE，则CE=CB=，EB=2，BCE=90，BCCE 在图2中，AEEB，AEED，EBED=E，AE平面BCDEBC平面BCDE，AEBC AECE=E，BC平面AEC （2）解：用反证法假设EM平面ACD EBCD，CD平面ACD，EB平面ACD，EB平面ACDEBEM=E，面AEB面ACD 而A平面AE

20、B，A平面ACD，与平面AEB平面ACD矛盾假设不成立，EM与平面ACD不平行17已知A（2，0）、B（2，0），点C、点D依次满足（1）求点D的轨迹方程；（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程【分析】（1）设C、D点的坐标分别为C（x0，y0），D（x，y），欲求点D的轨迹方程，即寻找x，y之间 的关系式，利用向量间的关系求出P点的坐标后代入距离公式即可得；（2）设椭圆方程为，根据圆的切线性质及中点条件，利用待定系数法求出待定系数a，b即可【解答】解：（1）设C、D点的坐标

21、分别为C（x0，y0），D（x，y），则），则，故又代入中，整理得x2+y2=1，即为所求点D的轨迹方程（2）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x+2），又设椭圆方程为，a2b2=4，因为直线l：kxy+2k=0与圆x2+y2=1相切故，解得将代入整理得，（a2k2+a24）x2+4a2k2x+4a2k2a4+4a2=0，将代入上式，整理得，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由线段MN的中点到y轴的距离为，|=，解得a2=8，或a2=，经检验，a2=8，此时的判别式大于0故所求的椭圆方程为18某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示其上部分

22、是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE，DF是两根支杆，其中AB=2米，EOA=FOB=2x（0x）现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k（k0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和（1）试将y表示为x的函数；（2）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值【分析】（1）由题意知，建立三角函数模型，根据所给的条件看出要用的三角形的边

23、长和角度，用余弦定理写出要求的边长，表述出函数式，整理变化成最简的形式，得到结果（2）要求函数的单调性，对上一问整理的函数式求导，利用导数求出函数的单增区间和单减区间，看出变量x取到的结果【解答】解：（1）EOA=FOB=2x，弧EF、AE、BF的长分别为4x，2x，2x连接OD，则由OD=OE=OF=1，=；（2）由，解得，即，又当时，y0，此时y在上单调递增；当时，y0，此时y在上单调递减故当时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳19已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn=（1）求a1；（2）证明数列an为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgbn=，试问是否存在正整数p，q（其中

24、1pq），使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由【考点】数列的求和【分析】（1）令n=1，即可求a1；（2）根据等差数列的定义即可证明数列an为等差数列，并写出其通项公式；（3）根据等比数列的定义和通项公式，建立方程组进行求解即可得到结论【解答】解：（1）令n=1，则a1=S1=0（2）由，即，得 ，得 （n1）an+1=nan于是，nan+2=（n+1）an+1+，得nan+2+nan=2nan+1，即an+2+an=2an+1又a1=0，a2=1，a2a1=1，所以，数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以，an=n1（3）假设存在正

25、整数数组（p，q），使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，所以，（）易知（p，q）=（2，3）为方程（）的一组解当p3，且pN*时，0，故数列（p3）为递减数列，于是0，所以此时方程（）无正整数解综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，bp，bq成等比数列20已知函数f（x）=x2+x，g（x）=x+lnx，h（x）=f（x）+g（x），其中R，且0（1）当=1时，求函数g（x）的最大值；（2）求函数h（x）的单调区间；（3）设函数若对任意给定的非零实数x，存在非零实数t（tx），使得（x）=（t）成立，求实数的取值范围【考点】函数的单调

26、性与导数的关系【分析】令g（x）=0求出根，判断两边的符号，求出最值导数大于零求出单增区间，导数小于零求出单调递减区间，注意单调区间一定在定义域内不等式恒成立就是求函数的最值，注意对参数的讨论【解答】解：（1）当=1时，g（x）=lnxx，（x0）令g（x）=0，则x=1，g（x）=lnxx在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减g（x）max=g（1）=1（2）h（x）=x2+2x+lnx，（x0）当0时，h（x）0，函数h（x）的增区间为（0，+），当0时，当时，h（x）0，函数h（x）是减函数；当时，h（x）0，函数h（x）是增函数综上得，当0时，h（x）的增区间为（0，+）；当0

27、时，h（x）的增区间为，减区间为（3）当x0，在（0，+）上是减函数，此时（x）的取值集合A=（，+）；当x0时，（x）=2x+，若0时，（x）在（，0）上是增函数，此时（x）的取值集合B=（，）；若0时，（x）在（，0）上是减函数，此时（x）的取值集合B=（，+）对任意给定的非零实数x，当x0时，（x）在（0，+）上是减函数，则在（0，+）上不存在实数t（tx），使得（x）=（t），则t（，0），要在（，0）上存在非零实数t（tx），使得（x）=（t）成立，必定有AB，0；当x0时，（x）=2x+在（，0）时是单调函数，则t（0，+），要在（0，+）上存在非零实数t（tx），使得（x）=（t

28、）成立，必定有BA，0综上得，实数的取值范围为（，0）三、附加题（共4小题，满分0分）21设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值【考点】特征值与特征向量的计算【分析】利用特征向量的定义，建立方程，即可求实数a的值【解答】解：设是矩阵M属于特征值的一个特征向量，则，5分故解得10分22在极坐标系中，设直线=与曲线210cos+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】方法一：将直线直线=化为普通方程得， x，将曲线210cos+4=0化为普通方程得，x2+y210x+4=0，联立消去y得，2x25x+2=0，利用中点坐标可得线段AB的坐标，再化为极坐标即可方

29、法2：联立直线l与曲线C的方程组可得25+4=0，解得1=1，2=4，利用中点坐标公式即可得出【解答】解：方法一：将直线=化为普通方程得， x，将曲线210cos+4=0化为普通方程得，x2+y210x+4=0，联立并消去y得，2x25x+2=0，x1+x2=，AB中点的横坐标为=，纵坐标为，=化为极坐标为方法2：联立直线l与曲线C的方程组，消去，得25+4=0，解得1=1，2=4，线段AB中点的极坐标为，即23如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，BAC=90，AB=2，AC=6，点D在线段BB1上，且BD=，A1CAC1=E（）求证：直线DE与平面ABC不平行；（）设平面AD

30、C1与平面ABC所成的锐二面角为，若cos=，求AA1的长；（）在（）的条件下，设平面ADC1平面ABC=l，求直线l与DE所成的角的余弦值【考点】与二面角有关的立体几何综合题【分析】（）建立坐标系，求出=（2，3，），平面ABC的法向量为，可得，即可证明直线DE与平面ABC不平行；（）求出平面ADC1的法向量，利用平面ADC1与平面ABC所成的锐二面角为，cos=，建立方程，即可求得结论（）在（）的条件下，求出直线l与DE的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案【解答】解：依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AA1=h，则（）证明：由AA1平面ABC可知为平面ABC的一个法向量=

31、（2，3，），直线DE与平面ABC不平行（）设平面ADC1的法向量为，则，取z=6，则x=y=h，故，解得（）在平面BCC1B1内，分别延长CB、C1D，交于点F，连结AF，则直线AF为平面ADC1与平面ABC的交线BDCC1，由（）知，故，直线l与DE所成的角的余弦值为24如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（8，4），P（2，t）（t0）在抛物线y2=2px（p0）上（1）求p，t的值；（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=2k3，求点C的坐标【考点】抛物线的简单性质【分析】（1

32、）运用代入法，即可求得p，t；（2）求得M（2，0），求出直线AM的方程，代入抛物线方程，可得B的坐标，运用正弦的斜率公式，可得k1=，k2=2，代入k1+k2=2k3得k3，进而得到直线PC方程，再联立直线AM的方程，即可得到C的坐标【解答】解：（1）将点A（8，4）代入y2=2px，得p=1，将点P（2，t）代入y2=2x，得t=2，因为t0，所以t=2 （2）依题意，M的坐标为（2，0），直线AM的方程为y=x+，联立抛物线方程y2=2x，并解得B（，1），所以k1=，k2=2，代入k1+k2=2k3得，k3=，从而直线PC的方程为y=x+，联立直线AM：y=x+，并解得C（2，）2016年10月23日高考资源网版权所有，侵权必究！