河南省顶级名校2020届高三数学上学期开学摸底考试试题 文（含解析）.doc

1、河南省顶级名校2020届高三数学上学期开学摸底考试试题 文（含解析）第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可以求出集合，然后进行交集的运算即可【详解】解：，.故选：.【点睛】考查描述法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算，属于基础题2.已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算将复数化成标准形式即可得解；【详解】解：，的虚部为1.故选：D.【点睛】本题考查复数的基本概念，关键是

2、将其分母实数化，化为的形式，进行判断，属于基础题3.在等差数列中，则其公差为（ ）A. 2B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】等差数列中，根据下标和性质解得：、，即可得出公差【详解】解：在等差数列中，又，公差为.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意利用诱导公式、二倍角公式，化简要求的式子，可得结果【详解】解：，.故选：A.【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题5.如图所示的中，点D、E分别在边BC、AD上，且.，则向量（ ）A. B. C

3、. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题目条件，结合平面向量运算的三角形法则，进行推导即可【详解】解：，又，又，.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量运算的三角形法则，难度不大，属于基础题6.在九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑.若某个鳖臑的三视图均为直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示）.则该鳌臑的中最大面积为（ ） A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用三视图画出几何体的直观图，判断各个面的面积的最大者，求解即可得到结果【详解】解：根据三视图画出该几何体的直观图为如图所示的四面体，其中PA垂直于等腰直角三角形ABC所在的平面.将其放置于正方体中（如图所

4、示），可知该正方体的棱长为1，所以，所以表面中最大面的面积为.故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题7.已知函数是定义在上的偶函数，若当时，则满足的x的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，分两种情况讨论，然后结合函数单调性的性质进行转化求解即可【详解】解：由题易知在上单调递增，且，则由，得，又因为为偶函数，所以当时，单调递减，且有，则由，得，所以满足的x的取值范围为.故选：A.【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合函数单调性和奇偶性的关系，将不等式进行

5、转化是解决本题的关键，属于基础题8.已知函数，且的图象关于直线对称，则的取值可以为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由，求出，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求出的值【详解】解：，又，从而.的图象关于直线对称，即，令，得.故选：B.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题，9.已知三个村庄所处的位置恰好位于三角形的三个顶点处，且.现在内任取一点建一大型的超市，则点到三个村庄的距离都不小于的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】采用数形结合，计算，以及“点到三个村庄的距离都不小于”这部分区域的面积，然后结合几何概

6、型，可得结果.【详解】由题可知：所以该三角形为直角三角形分别以作为圆心，作半径为2的圆如图所以则 “点到三个村庄距离都不小于”该部分即上图阴影部分，记该部分面积为又三角形内角和为，所以设点到三个村庄的距离都不小于的概率为所以故选：D【点睛】本题考查面积型几何概型问题，重点在于计算面积，难点在于计算阴影部分面积，考验理解能力，属基础题.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取A1D1的中点N，连结MN，B1D1，易得MNBD，故异面直线AM与BD所成角的余弦值为直线AM与MN

7、所成角的余弦值.【详解】如图所示，取A1D1的中点N，连结MN，B1D1，M为棱A1B1的中点，MNB1D1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BDB1D1，异面直线AM与BD所成角的余弦值为直线AM与MN所成角的余弦值，连结AN，则AMN（或其补角）为异面直线AM与BD所成的角，设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2a，则AM=AN=，MN=，在AMN中，由余弦定理得：cosAMN=故答案为D【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与计算能力，属于常考题型.11.已知O为坐标原点，点在抛物线，过定点P作两直线分别交抛物线

8、C于点A、B，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，求得，再求出、的斜率，由斜率和为0求得的值，进一步求出的斜率，则答案可求【详解】解：设，则，同理.因为，所以，所以，又，所以.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了整体运算思想方法，属于中档题12.若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用导数研究函数在单调性，并计算，可得结果.【详解】令，则，令若时，若时，所以可知函数在递减，在递增所以由对任意的实数恒成立所以故选：A【点睛】本题考查利用导数解决恒

9、成立问题，关键在于构建函数，通过导数研究函数性质，属基础题.第II卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.在中，则_.【答案】【解析】【分析】由已知利用三角形的面积公式即可计算得解详解】解：，故答案：【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题14.已知直线与圆，若圆心到直线的距离为，则_.【答案】【解析】【分析】由点到直线的距离公式可知，圆心到直线的距离为，结合已知可求【详解】解：由点到直线的距离公式可知，圆心到直线的距离为，解可得，故答案为：【点睛】本题主要考查了利用点到直线的距离公式解决直线与圆的位置关系，属于基础题15.若x、y满足约束条件，则的最大值为_

10、.【答案】【解析】【分析】作出可行域后,根据斜率关系找到最优解,代入最优解的坐标即可求得最大值.【详解】作出可行域如图所示:由可得,由图可知最优解为,联立 ,解得,所以最优解为,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了线性规划求最大值,利用斜率关系找到最优解是答题关键,属于基础题.16.如下分组的正整数对：第1组为，第2组为，第3组为，第4组为，则第40组第21个数对为_【答案】【解析】【分析】由题意可得第n组各个数和为，且各个数对无重复数字，按照顺序排列，即可得到所求数对【详解】由题意可得第一组的各个数和为3，第二组各个数和为4，第三组各个数和为5，第四组各个数和为6，第n组各个数和为，且各个数

11、对无重复数字，可得第40组各个数和为42，则第40组第21个数对为故答案为【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，注意总结各组数对的特点，考查简单的归纳推等基础知识，考查判断能力、推理能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，是基础题，三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和（1）求数列通项公式； （2）令，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2） .【解析】【分析】（1）根据和关系得到答案.（2）首先计算数列通项，再根据裂项求和得到答案.【详解】解：（1）当时，当时，（2） 【点睛】本题考查了和关系，裂项求和，是数列的常考题型.18.为提高产品质量，某企业质量管

12、理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.【答案】(1) ；中位数为82.5. (2) 【解析】【分析】（1）根据频率之和为1，结合频率分布直方图对应矩形区域面积求解即可；先结合数值预判中位数所在组距应

13、在80到90之间，设综合评分的中位数为，结合频率计算公式求解即可；（2）先结合分层抽样计算出一等品所占比例，再采用列举法表示出所有基本事件，结合古典概率公式求解即可【详解】（1）由频率和为1，得，；设综合评分的中位数为，则，解得，所以综合评分的中位数为82.5.（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为，即概率为0.6；所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为、，非一等品2个，记为、；从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：、共10种；抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：、共6种，所以所求的概率为.【点睛

14、】本题考查频率分布直方图中具体数值的求解，中位数的计算，求解具体事件对应的概率，属于中档题19.如图所示，在四棱锥中，底面BCDE为正方形.且， .（1）证明：平面BCDE；（2）若点P在线段AD上，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出，由此能证明平面（2）由，得平面，过点作，交于点，推导出为点到平面的距离，由此能求出三棱锥的体积【详解】解：（1）因为底面BCDE为正方形，且，所以，所以，又，平面BCDE，平面，所以平面BCDE.（2）由（1）知，又底面BCDE为正方形，所以，又，平面，平面，所以平面.过点P作交AC于点F.因为，所以，所以平面， 所

15、以PF为点P到平面的距离.由，知， 所以.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题20.已知椭圆的中心为原点O，过O作两条相互垂直的射线分别交椭圆于P、Q两点.（1）证明：为定值；（2）若椭圆，过原点O作直线PQ的垂线，垂足为D，求.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）分类讨论，当，斜率存在且不为0时，设直线的方程，代入椭圆方程，求得，同理求得，即可求证为定值；（2）根据（1）及三角形面积相等，即可求得的值【详解】解：（1）当射线或在轴上时，显然有； 当射线，不在轴上时，设，联立方程

16、，则，所以. 用是代替上式中的，可得， 所以.综上为定值. （2）由（1）的证明，可知， 即， 所以所以.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中定值问题，考查三角形的面积相等，考查计算能力，属于中档题21.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程.（2）当时，若对任意的，都有，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得时的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程；（2）求得的导数，讨论，的单调区间，考虑在，的单调性，求得最小值，可令其不小于，解不等式可得所求范围【详解】解：（1）当时，所以，所以曲线在点处的切线斜率，又，所以曲线在点处的

17、切线方程为，即. （2）由，得当时，在上单调递增，则，显然成立；当时，由，得；由，得，所以在上单调递减，在和上单调递增. 时，在上单调递减，所以，所以对任意的，都有等价于，即，解得，又，所以； 当时，所以在上的最小值为.又当时，显然成立. 综上，实数a的取值范围为.【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的普通方程和曲线C的

18、直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点.求【答案】（1）.；（2）5.【解析】【分析】（1）将（t为参数）中的参数t消去，即可求得直线l的普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线C的直角坐标方程；（2）令，得到直线的参数方程（为参数），代入，结合直线参数方程中参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）由题意，将（t为参数）中的参数t消去，可得即直线l的普通方程为，由，可得，又由，代入可得，所以曲线C的直角坐标方程为.（2）令，则有（为参数）.将其代入方程中，得，其中.设点A，B对应的参数分别为，则，所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直

19、角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，熟练应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若，恒成立，求实数a的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，可得，即可求得不等式的解集；（2）由，恒成立，转化为，恒成立，分类讨论，即可求解.【详解】（1）根据题意，函数，由，可得，即，解得，所以原不等式的解集为.（2）由，恒成立，即为，恒成立，当时，；当时，因为，当且仅当，即时等号成立，所以.综上可得，即实数a的最大值为.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题的解答，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.