河南省驻马店市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）.doc

1、河南省驻马店市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知 为虚数单位，复数 在复平面内对应的点为 ，则复数 （ ） A. B. C. D.2.命题“ ，使 ”的否定是（ ） A. ，使 B. ， C. ，使 D. ， 3.若 ，则“ ”是“ ”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知变量 ， 满足 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D.5.函数 在 处的切线方程是（ ） A.B.C.D.6.若曲线 与直线 ， ， 所围成的平面图形的面积为 ，则二项式 展开

2、后常数项是（ ） A.84 B.-84 C.28 D.-287.在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的列联表：休闲性别看电视或玩手机运动或旅游男1022女1612为了判断休闲方式是否与性别有关，根据表中数据，得到 .因为，所以判定休闲方式与性别有关系，那么这种判断（）参考数据：， A.出错的可能性至多为5%B.出错的可能性至多为1%C.出错的可能性至少为5%D.出错的可能性至少为1%8.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积为 ，则“三斜求积”公式为 ，若 ， ，则用“三斜求积”公式求得 的面积为(

3、 ) A.B.1C.D.9.已知 ，则 的最小值是（ ） A.6B.4C.D.10.某批零件的尺寸 服从正态分布 且满足 ，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取 件，若保证抽取的合格零件至少有1件的概率不低于0.9，则 的最小值为（ ） A.6B.5C.4D.311.2021年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审.初评环节遴选出弘毅麒麟哪吒赤兔祝融求索风火轮追梦天行星火共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取3个依次进行分析，若该同学同时选中麒麟哪吒，则麒麒和哪吒连续被分析

4、，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（ ） A.704种B.536种C.520种D.352种12.已知抛物线 的焦点为 ，经过点 且斜率为 的直线与抛物线交于 ， 两点(点 在第一象限)，与抛物线的准线交于点 ，若 ，则下列说法正确的是（ ） 为 中点 为 中点 A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列 中， ，且 ， ，则 _. 14.设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， ，则 _. 15.已知 ， 是双曲线 的左右焦点，过 且倾斜角为60的直线 与 的左右两支分别交于 两点.若 ，则双曲线 的离心率为_. 16.已知函数 ，若

5、存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围是_ 三、解答题（本大题共70分）17.已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ，且 ， . （1）求数列 和 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 18.如图所示，菱形 的对角线 与 交于点 ， ，将 沿 翻折到 的位置，使得 . （1）求证：平面 平面 ； （2）当 时，求二面角 的正弦值. 19.在平面直角坐标系 中， ， 分别是椭圆 的左右焦点， 是椭圆 上任意一点，且 面积的最大值为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）过 作直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 ，请问 的值 分别表示直线 与直线 的斜率)是否为定值？若是定值，求出这个定

6、值；若不是定值，请说明理由. 20.某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装. 其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立).客户在安装净水系统的同时购买滤芯和在使用过程中单独购买滤芯的情况如下表：一级滤芯二级滤芯安装净水系统的同时购买160元/个80元/个使用过程中单独购买200元/个100元/个现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该净水系统在十年使用期内更换的滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据10

7、0个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.表1：一级滤芯更换频数分布表一级滤芯更换的个数89频数6040图2：二级滤芯更换频数条形图以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.（1）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求的分布列及数学期望；（2）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为21的概率；（3）记，分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若且，以该客户的净水系统在使用期

8、内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定，的值. 21.已知函数 ， . （1）讨论 的单调性； （2）若对任意 ， 恒成立，求实数 的值. 22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数).以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ( 为极径， 为极角). （1）请分别求出直线 和曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 与 轴的交点为 ，且与曲线 的交点分别为 ， .求 的值. 23.已知函数 . （1）解不等式： ； （2）若 的最小值为 ，且实数 ， ， 满足 ，求证： . 答案解析部分河南省驻马店市2020-2021学年高二下学期理数期末考试

9、试卷一、单选题1.已知 为虚数单位，复数 在复平面内对应的点为 ，则复数 （ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】依题意得 ，则 . 故答案为：B. 【分析】 根据已知条件，结合复数的乘法原则，即可求解.2.命题“ ，使 ”的否定是（ ） A. ，使 B. ， C. ，使 D. ， 【答案】 D 【考点】命题的否定 【解析】【解答】“ ，使 ”的否定是“ ， ”. 故答案为：D. 【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案。3.若 ，则“ ”是“ ”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B 【

10、考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】因为 ，但是 ， 所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.故答案为：B. 【分析】因为 ，但是 ，再根据充分条件、必要条件的定义可得答案。4.已知变量 ， 满足 ，则 的取值范围是（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】作出不等式组 表示的平面区域 ，如图所示阴影部分. 设点 ，动点 为平面区域 内任意一点，则 .设点 ，则 与直线 垂直，所以 的最小值为 ；由 得点 ，由图可知 的最大值为 .故 的取值范围是 .故答案为：C. 【分析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可.5.函数 在

11、 处的切线方程是（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【解答】由题意， ，故 ，又 ， 在 处的切线方程为 ，即 .故答案为：C 【分析】 求出原函数的导函数,得到f(0),再求得f(0)，利用直线方程的斜截式得答案.6.若曲线 与直线 ， ， 所围成的平面图形的面积为 ，则二项式 展开后常数项是（ ） A.84B.-84C.28D.-28【答案】 B 【考点】二项式定理 【解析】【解答】依题意得 ， 则 的通项为 （ ），令 得 ，所以二项展开式中的常数项为 .故答案为：B. 【分析】 由题意根据定积分的运算，考查定积分的几何意义，求得m的值，

12、再利用二项展开式的通项公式，即可求得二项式 展开后常数项 。7.在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的列联表：休闲性别看电视或玩手机运动或旅游男1022女1612为了判断休闲方式是否与性别有关，根据表中数据，得到 .因为，所以判定休闲方式与性别有关系，那么这种判断（）参考数据：， A.出错的可能性至多为5%B.出错的可能性至多为1%C.出错的可能性至少为5%D.出错的可能性至少为1%【答案】 A 【考点】独立性检验的基本思想 【解析】【解答】因为 ， ， ， 所以判定休闲方式与性别有关系，这种判断出错的可能性至多为5%.故答案为：A. 【分析】 利用K2与临界值比较，即可得出答案。8

13、.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积为 ，则“三斜求积”公式为 ，若 ， ，则用“三斜求积”公式求得 的面积为( ) A.B.1C.D.【答案】 C 【考点】正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【解答】 ， ， ， 因为 ，所以 ， ，从而 的面积为 .故答案为：C【分析】根据正弦定理：由 得 的值，再由 得 的值，利用公式可得结论9.已知 ，则 的最小值是（ ） A.6B.4C.D.【答案】 C 【考点】基本不等式 【解析】【解答】因为 ，则 ， 所以， ，当且仅当 即 时， 的最小值为 .

14、故答案为：C. 【分析】 利用基本不等式的换“1”法,得到 ， 进而利用基本不等式不解即可。10.某批零件的尺寸 服从正态分布 且满足 ，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取 件，若保证抽取的合格零件至少有1件的概率不低于0.9，则 的最小值为（ ） A.6B.5C.4D.3【答案】 C 【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型 【解析】【解答】因为 ，且 ，所以 ，即每个零件合格的概率为 . 依题意得 ，即 ，解得 .故答案为：C. 【分析】 先算出 ， 然后根据取出的n件产品中合格品件数X服从二项分布，再根据P(X2)0.9列出n的不等式求解即可.11.2021年1月18

15、日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审.初评环节遴选出弘毅麒麟哪吒赤兔祝融求索风火轮追梦天行星火共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取3个依次进行分析，若该同学同时选中麒麟哪吒，则麒麒和哪吒连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（ ） A.704种B.536种C.520种D.352种【答案】 A 【考点】分类加法计数原理 【解析】【解答】同时选中麒麒和哪吒,则只需从剩下的8个初选名字中选出一个即可，有 种. 麒麒和哪吒选中一个时，则只需从剩下的8个初选名字中选出2个即可，有 种.麒麒和

16、哪吒都不选时，则只需从剩下的8个初选名字中选出3个即可，有 种.所以不同的分析情况有： 故答案为：A 【分析】 根据题意,按麒麟、哪吒是否被同时选中,分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案.12.已知抛物线 的焦点为 ，经过点 且斜率为 的直线与抛物线交于 ， 两点(点 在第一象限)，与抛物线的准线交于点 ，若 ，则下列说法正确的是（ ） 为 中点 为 中点 A.B.C.D.【答案】 A 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【解答】依题意设过抛物线焦点 ，斜率为 的直线方程为 ， 由 得 ，解得 或 ，依题意可知， ， ， .则 ，解得 . 故正确；由 得 ， ， ，显然点 不是 的中点

17、. 故错误；由 ， ， 可知点 是 的中点. 故正确； . 故错误.故答案为：A. 【分析】 根据题意可得直线AB的方程 ， 由 得 ， 求出 ， ， ， 则 ，解得 . 故是否正确；由线段DF中点坐标可得是否正确；求出线段AD的中点坐标，即可判断是否正确;由抛物线的定义可计算出 ， 即可判断是否正确.二、填空题13.已知数列 中， ，且 ， ，则 _. 【答案】【考点】数列递推式 【解析】【解答】由 得 ， ， ， ， 数列 是周期数列，且周期为4. 所以 .故答案为： . 【分析】利用递推公式，求出数列各项，即可求出数列 是周期数列，且周期为4，即可求出 的值。14.设 的内角 ， ， 的

18、对边分别为 ， ， ， ， ， ，则 _. 【答案】 8 【考点】正弦定理，余弦定理 【解析】【解答】由正弦定理， ，则 ，又 ， ， ，由余弦定理 ，且 ， ，即 .故答案为：8 【分析】 由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b,进而利用余弦定理结合已知即可得解a的值.15.已知 ， 是双曲线 的左右焦点，过 且倾斜角为60的直线 与 的左右两支分别交于 两点.若 ，则双曲线 的离心率为_. 【答案】【考点】双曲线的定义 【解析】【解答】在直角 中， ， ， ，则 ， . 由双曲线定义得 ，即 ，解得 .故答案为： . 【分析】 由题意可得F1(c,0)，在直角 中， ， ，由双曲

19、线的定义化简即可得出答案.16.已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围是_ 【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，函数的零点 【解析】【解答】(i)当a=0时,f(x)=3x2+1,令f(x)=0,解得x= ,函数f(x)有两个零点，舍去 (ii)当a0时,f(x)=3ax26x=3ax(x ),令f(x)=0,解得x=0或2a.当a0时, 0,当x0时,f(x)0,此时函数f(x)单调递减;当 x0,此时函数f(x)单调递增 是函数f(x)的极小值点,0是函数f(x)的极大值点函数f(x)=ax33x2+1存在唯一的零点x0,且x00时, 0,当x

20、 或x0,此时函数f(x)单调递增;当0x 时,f(x)0,此时函数f(x)单调递减 是函数f(x)的极小值点,0是函数f(x)的极大值点函数f(x)=ax33x2+1存在唯一的零点x0,且x00,即 +10，a0，解得a2.综上可得：实数a的取值范围是(2,+).故答案为(2,+). 【分析】 对a进行分类讨论，求导，再由题意可知f()0，从而求出a.三、解答题17.已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ，且 ， . （1）求数列 和 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】 （1）由题意， 时 ， 又 时 ，也符合 ， 的通项公式为 ， ； ，且 ， 是首项为 ，公比为

21、的等比数列，故 ， .（2）由（1）知： ， ，则 ， ， ， .【考点】数列的求和，数列递推式 【解析】【分析】（1）结合已知条件可得 ， 利用递推公式 ，得出 的通项公式 ，再由 ， 等比数列的定义可得 是首项为 ， 公比为的等比数列， 从而可得 的通项公式； （2） 由（1）知： 利用错位相减法即可求出 数列的前项和. 18.如图所示，菱形 的对角线 与 交于点 ， ，将 沿 翻折到 的位置，使得 . （1）求证：平面 平面 ； （2）当 时，求二面角 的正弦值. 【答案】 （1）证明：连接 ，又菱形 的对角线 与 交于点 ， ， ，又 ，在 中， ，即 ，在等腰 中， ，又 ， 面 ，

22、又 面 ，平面 平面 ；（2）过 作 于 ，连接 ， 由（1）知： 面 ，则 是二面角 的平面角，又面 与面 是同一平面， 为二面角 的平面角，又 且 中 ，易得 . ，则 .【考点】平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1） 连接 ， 又菱形的对角线与交于点 ， 根据勾股定理即可得出 ， 再根据面面垂直的判定定理，即可证得平面平面； （2）过作于 ， 连接 ， 由（1）知：面 ， 则是二面角的平面角，又面与面是同一平面，为二面角的平面角，中 ，利用三角函数定义即可求出 二面角的正弦值。19.在平面直角坐标系 中， ， 分别是椭圆 的左右焦点， 是椭圆 上任意一点，且

23、面积的最大值为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）过 作直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 ，请问 的值 分别表示直线 与直线 的斜率)是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】 （1）由题意得 ， 因为 是椭圆 上任意一点，且 面积的最大值为 ，所以 ，得 ，所以 ，所以椭圆 的标准方程为 ，（2）当直线 不与 轴垂直时，设直线 为 ，设 ， 将直线 代入椭圆方程 化简得则 ，所以 ，因为 ，所以 ，当直线 与 轴垂直时，此时根据对称性可得 ，综上， 为定值0【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1） 由题意得 ， 面积的最大值为

24、， 可得 求得b的值，再根据a，b，c的关系即可求出a2 ， 进而求出椭圆的标准方程； （2）当直线不与轴垂直时，设直线为 ， 设 ， 将直线代入椭圆方程化简得利用韦达定理可得 ， 进而求出 ，当直线与轴垂直时，此时根据对称性可得 ， 即可得出结论。20.某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装. 其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立).客户在安装净水系统的同时购买滤芯和在使用过程中单独购买滤芯的情况如下表：一级滤芯二级滤芯安装

25、净水系统的同时购买160元/个80元/个使用过程中单独购买200元/个100元/个现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该净水系统在十年使用期内更换的滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.表1：一级滤芯更换频数分布表一级滤芯更换的个数89频数6040图2：二级滤芯更换频数条形图以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.（1）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更

26、换的一级滤芯总数，求的分布列及数学期望；（2）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为21的概率；（3）记，分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定，的值. 【答案】（1）的可能取值为8,9，由表1知：，所以的分布列为890.60.4数学期望（个）.（2）依题意知：该套净水系统中在使用期内一个一级过滤器需要更换9个滤芯的概率为0.4，两个二级过滤器均需要更换6个滤芯的概率为 . 记“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为21”为事件，则（或者）.（3）由图可知

27、，一个二级滤芯十年内需要更换的个数为4,5,6的概率分别为0.2，0.4，0.4. 令表示一套净水系统在使用期间需要更换的二级滤芯的总个数，则的可能取值为8,9,10,11,12.， .令、分别表示一套净水系统在使用期间需要购买的一级滤芯、二级滤芯的总个数，表示该客户在使用期内购买各级滤芯所需总费用（单位：元）.当，时，010.60.40120.520.320.16所以 .当，时，一级滤芯无需购买，01230.20.320.320.16所以 .因为，所以选， .【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】（1） 的可能取值为8,9，求出对应的概率，进而列出分布

28、列，求出期望； （2） 记“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为21”为事件 ， ； （3） 令表示一套净水系统在使用期间需要更换的二级滤芯的总个数，则的可能取值为8,9,10,11,12，求出对应的概率， 依题意,可分m=8，n=10及m=9，n=9两种,分别求出期望，比较即可.21.已知函数 ， . （1）讨论 的单调性； （2）若对任意 ， 恒成立，求实数 的值. 【答案】 （1）因为 （ ， ），所以 . 当 时， ， 在 上单调递增；当 时， ， 在 上单调递减.（2） 即 （ ），（*） 令 ，则 ，且 ，所以，（*）化为 （ ）对任意 恒成立.当 时，取 ，上述不

29、等式显然不成立，又 ，所以 .令 ，则 ，由 得 .当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.所以 . 令 （ ），则 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.所以，当且仅当 时， 有最大值 ，即 （当且仅当 时取等号）. 由可得 ，故 .【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】 (1)利用导数的运算法则可得f(x),对a分类讨论即可得出其单调性； (2) 即（），令 ， 则 ， 且化为（）对任意恒成立，构造函数 ，利用导数求出函数的最值即可.22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数).以坐标原点为极点， 轴正半

30、轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ( 为极径， 为极角). （1）请分别求出直线 和曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 与 轴的交点为 ，且与曲线 的交点分别为 ， .求 的值. 【答案】 （1）由 消去参数 得直线 的普通方程为： . 由 得 ，将 代入得 ，所以曲线 的直角坐标方程为： .（2）由（1）知 ，直线 的倾斜角为 ，因此设直线 的参数方程为 （ 为参数）.代入 得 . 设点 ， 对应的参数分别为 ， ，则 ，所以， .【考点】参数方程化成普通方程，直线的参数方程 【解析】【分析】 (1)由直线 的参数方程消去参数t,得直线 的普通方程；将曲线C的极坐标方程化为 ， 结合p2=x2+y2,可得曲线C的直角坐标方程； (2) 设直线的参数方程为（为参数）.代入得设点 ， 对应的参数分别为 ， ， 则 ，即可求出 的值.23.已知函数 . （1）解不等式： ； （2）若 的最小值为 ，且实数 ， ， 满足 ，求证： . 【答案】 （1）因为 ， 所以 ，或 ，或 ，解得 ，或 ，或 ，故不等式解集为 .（2） （当且仅当 时取等号），所以 ，即 ，则 . 由柯西不等式得 ，所以 .【考点】绝对值不等式，柯西不等式的几何意义 【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围化简绝对值，进而求出不等式的解集； （2）利用柯西不等式即可证得 。