江苏省扬州市宝应县2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）.docx

1、2021-2022学年度第二学期期中检测试卷高二数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 点关于Oxy平面的对称点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据点关于坐标轴，坐标平面对称时，关于谁对称谁不变可得.【详解】关于Oxy平面对称的点的x，y坐标不变，只有z坐标相反，所以点关于Oxy平面的对称点的坐标为2. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简函数的解析式，利用基本初等函数的导数公式可求得结果.【详解】因为，因此，.故选：D

2、.3. 设点，.若，则点的坐标为（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量的相等求解即可.【详解】设，则，而，则有，所以.故选：B4 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将展开得，化简计算即可.【详解】，化简可得，则.故选：B5. 如图所示，空间四边形中，点M在上，且，N为中点，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】,故选：B.6. 青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为，且两题是否

3、答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】依题意，至少答对一个问题的概率是.故选：A7. 把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（ ）A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种【答案】D【解析】分析】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，利用排列组合数进行计算.【详解】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，不同的分发数为种.故选：D【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于基础题.8. 的展开式中的系数为（ ）A.

4、 B. C. 120D. 200【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数.【详解】展开式的通项公式为，当时，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；当时，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；据此可得：的系数为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 某人进行射击，共有

5、发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则 “”表示的试验结果包括（ ）A. 第次击中目标B. 第次未击中目标C. 前次未击中目标D. 第次击中目标【答案】ABC【解析】【分析】分析可知，“”表示前次没有击中目标，由此可得出结论.【详解】由题意可知，“”表示前次没有击中目标，第次击中目标或未击中目标均可.故选：ABC.10. 3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（ ）A. 共有60种不同的坐法B. 空位不相邻的坐法有72种C. 空位相邻的坐法有24种D. 两端不是空位的坐法有27种【答案】AC【解析】【分析】对于A，采用组合先选出座位，再根据排列方法安排座位；对于B，利用插空

6、法；对于C，利用捆绑法；对于D，利用特殊元素优先法.【详解】对于A，故正确；对于B，故错误；对于C，故正确；对于D，故错误，故选：AC.11. 已知函数，下列说法中正确的有（ ）A. 函数的极大值为，极小值为B. 若函数在上单调递减，则C. 当时，函数的最大值为，最小值为D. 若方程有3个不同的解，则【答案】ABD【解析】【分析】可以通过求导，来分析函数的单调性，及极值，最值，进而得出结论.【详解】的定义域为令，得或2，所以在单调递增，在上单调递减，故B正确，极大值，极小值，故A正确，方程有3个不同的解，则，D正确，当时，函数的最大值为，最小值为，故C不正确，故选：ABD12. 下图为类长方体

7、的几何体，则在下面的说法中，正确的是（ ）A. 若上图是棱长为1正方体，则直线与平面所成的角是B. 若上图是长方体，则在棱AB上存在唯一一点Q满足时，a的值等于2C. 若上图是棱长为1的正方体，点P在线段上运动，则的最小值为D. 若上图是棱长为1的正方体，M是棱的中点，P是的延长线与DC的延长线的交点，则在线段AP上不存在点Q，使得MQ平面【答案】BCD【解析】【分析】依题意可得为直线与平面所成的角，求出，即可判断A，建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断B、C、D；【详解】解：对于A：因为平面，所以直线与平面所成的角是，因为，所以，故A错误；对于B：以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设

8、，则：由，得，即当，即当时，符合题意的点Q有且只有一个故B正确对于C：如图2，将与四边形沿展开到同一个平面上，如图所示，线段的长度即为的最小值在中，利用余弦定理得，故C正确：对于D：可分析正方体的一部分：如图建立空间直角坐标系，则由已知得，设平面的一个法向量为，则取，则，所以平面的一个法向量为假设则若MQ平面则与共线所以成立，即但此关于的方程组无解故不存在点Q，使得MQ平面，故D正确故选：BCD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 曲线在点(0，1)处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】对函数求导，将代入可得切线斜率，进而得到切线方程【详解】解：，切线的斜率为则切线方程为，

9、即故答案为：14. 若，且，则实数_.【答案】【解析】【分析】利用已知条件求出，然后，求出即可.【详解】，,即，解得：.故答案为：【点睛】本题考查空间向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.15. 冬天是鼻炎和感冒的高发期，某人在冬季里鼻炎发作的概率为0.96，鼻炎发作且感冒的概率为0.84，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为_【答案】【解析】【分析】设某人在冬季里鼻炎发作为事件A，感冒为事件B，则，利用条件概率计算公式能求出此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率【详解】解：设某人在冬季里鼻炎发作为事件A，感冒为事件B，则，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为故答案为：

10、【点睛】条件概率是在一定条件下某事件发生的概率，这意味着事件的发生的前提的作用是不可忽视的，同时也强调了某事件的发生对另一事件发生的影响这类问题的求解除了运用公式求解之外，也可以使用定义进行求解16. 在即将来临的五一长假期间，某单位本来安排、共5个人在5天中值班，每天1人，每人值班1天，但4月28日时接到通知、员工必需出差，故调整为每天1人，每人至少值班1天，现在只有、共3个人在五一长假期间共有_种不同的值班方案（用数字作答）【答案】150【解析】【分析】由题知，3人值班5天可以分两种情况：1人值三天，其余2人各值1天；1人值1天，其余2人各值2天.分别计算出结果相加即可.【详解】由题知，3

11、人值班5天可以分两种情况：1人值三天，其余2人各值1天，共有种方案；1人值1天，其余2人各值2天，共有.因此共有种值班方案.故答案为：150四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动（1）有多少种不同的选法？（用数字作答）（2）甲当选且乙不当选，有多少种不同的选法？（用数字作答）（3）至多有2名男生当选，有多少种不同的选法？（用数字作答）【答案】（1）252 （2）70 （3）66【解析】【分析】（1）直接利用组合问题即可得解；（2）甲当选，乙不当选，则从剩余8人选4人即可；（3）分1男4女，2男3女两种情况，

12、即可得解.【小问1详解】解：；【小问2详解】解：若甲当选，乙不当选，则从剩余8人选4人即可，即种选法；【小问3详解】解：至多有2名男生当选，则有1男4女，2男3女，两种情况，共有种选法18. 设函数，若函数的图象在点处与直线相切（1）求实数、的值；（2）求函数极值【答案】（1）1、； （2）极大值为，无极小值【解析】【分析】(1)由题可知，解方程组即可得a、b的值；(2)根据导数求f(x)单调性，根据单调性即可求极值.【小问1详解】，由题可知，解得，；【小问2详解】由(1)可知，x0，时，单调递增，时，单调递减，f(x)有极大值，无极小值.19. 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点（

13、1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先建立空间直角坐标系设出点的坐标，求出两直线的方向向量，最后利用向量的夹角公式计算即得异面直线BE与AC所成的角的余弦值；（2）先分别求得平面ABE的法向量和平面BEC的一个法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值，根据三角函数同角关系即可求得正弦值【小问1详解】以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，则有，.，. . 由于异面直线与所成的角是锐角，故其余弦值是.【小问2详解】.设平面的法向量为，则由，得，取.由题意可得，平面为平面，则其一个法向量为， ，则，即二面角的正弦值为20. 在下面三

14、个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.条件：第3项与第7项的二项式系数相等；条件：只有第5项的二项式系数最大；条件：所有项的二项式系数的和为256.问题：在的展开式中，_.（1）求的值；（2）若其展开式中的常数项为112，求其展开式中所有的有理项.【答案】（1）条件选择见解析， （2）有理项为：，.【解析】【分析】（1）选，根据二项式系数的性质求得正确答案；选，根据二项式系数的最值求得正确答案；选，根据二项式系数和求得正确答案.（2）利用二项式展开式的通项公式求得所有的有理项.【小问1详解】选，所以；选，第5项的二项式系数最大，所以；选，二项式系数的和为.【小问2详解】二项式展开式

15、的通项公式为：，当时，（负根舍去）.所以有理项为，；即，.21. 从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量是这两点间的距离（1）求概率；（2）求的分布列，并求其数学期望【答案】（1） （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）利用组合知识和古典概型概率计算公式计算可得答案；（2）求出随机变量的取值和对应的概率可得分布列，再由期望公式计算可得答案.【小问1详解】从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有种，因为正方体的棱长为1，所以其面对角线长为，正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2612条，因此【小问2详解】随机变量的取值共有1，三种情况，正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，

16、于是，从而，所以随机变量的分布列是1P因此22. 如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，.（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.【答案】(1) (2)【解析】【详解】试题分析：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为（1） 因为平面，所以是平面的一个法向量，因为设平面的法向量为，则，即，令，解得所以是平面的一个法向量，从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为（2） 因为，设，又，则，又，从而，设，则，当且仅当，即时，的最大值为因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值又因为，所以考点：二面角的计算，异面直线所成的角，最值问题.【方法点晴】求二面角常采用求法向量直接公式计算的方法去解决，原则是半平面有现成的垂线就直接做法向量，没有现成的垂线就设法向量，求出法向量后再算二面角；第二步的最值问题很好，是高考很常见的形式，多发生在圆锥曲线题目中，一要会换元，如本题中的设，二要会处理分式如本题中的，当然这一步有时使用均值不等式（或对勾函数），个别题还可使用导数求最值.