5.7 三角函数的应用(析训练）-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第一册）.doc

1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)第五章三角函数5.7三角函数的应用一、单选题1（2021全国高一课时练习）如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的弧长与时间的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为ABCD2（2021全国高一课时练习）已知某人的血压满足函数解析式，其中为血压，为时间，则此人每分钟心跳的次数为（ ）A60B70C80D903（2021全国高一课时练习）电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度为A5AB2.5AC2AD5A4（2021全国高一课时练习）如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水

2、轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系yAsin(x)2，则有（ ）A，A3B，A3C，A5D，A55（2021江苏高一专题练习）如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点（点与摩天轮天轮中心的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（ ）A8分钟B10分钟C12分钟D14分钟6（2021宁夏银川三沙源上游学校高一期末（理）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所

3、示.则观赛场地的面积最大值为（ ）ABCD7（2021全国高一专题练习）中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱经过最低点开始计时，则10分钟后离地面的高度为（ ）A43米B78米C118米D121米8（2020江苏高一）一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）A点第一次到达最高点需要B在水轮转动的一圈内，点距离水面的高度不低于共有的时间C点距离水面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数解析式为D当水轮转动时，点在水面下方，距离水面

4、9（2021全国高一专题练习）如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y).若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为（ ）AysinBysinCysinDysin10（2020江西省会昌中学高一月考）如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（ ）ABCD二、多选题11（2021全国高一专题练习）(多选题)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）A该质点的运动周期为0.7

5、sB该质点的振幅为5C该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零D该质点的运动周期为0.8 s12（2021河北衡水市第十四中学高一期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）AB当时，函数单调递增C当时，点到轴的距离的最大值为D当时，13（2021全国高一单元测试）一半径为4.8米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2.4米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水

6、中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）A点第一次到达最高点需要10秒B在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点距离水面的高度不低于4.8米C点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为D当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面1.2米14（2020江苏高一单元测试）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为的日晷及其投影长度的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是（ ）A函数的最小正周期为B函数关于对称C函数在区间上单调递减D函数的图象与函数的图象关于直线对称三、填空题15（2021全国高一单元测试）如图，是弹簧振子做简

7、谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是_. 16（2021上海市第二中学高一月考）已知点，点是以原点为圆心，1为半径的圆上的任意一点，将点绕点逆时针旋转90得点，线段的中点为，则的最大值是_17（2021全国高一专题练习）如图某地夏天从814时用电量变化曲线近似满足函数yAsin(x)b.（1）这一天的最大用电量为_万度，最小用电量为_万度；（2）这段曲线的函数解析式为_.18（2021全国高一课时练习）如图，学校有一块矩形绿地，且，现准备在矩形空地中规划一个三角形区域开挖池塘，其中分别在边上，若则面积的最小值为_.19（2021上海高一期中）在平面

8、直角坐标系中，对任意角，设的终边上异于原点的任意一点的坐标为，它与原点的距离是.我们规定：比值分别叫做角的正割余割余切，分别记作，把分别叫做正割函数余割函数余切函数，则下列叙述正确的有_(填上所有正确的序号)；的定义域为；.四、解答题20（2021全国高一单元测试）已知某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数.（1）求该地区这一段时间内温度的最大温差.（2）若有一种细菌在到之间可以生存，则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？21（2021全国高一单元测试）如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点（1）试

9、确定在时刻t min时P点距离地面的高度；（2）在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m.22（2021全国高一专题练习）如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面距离是h.(1)求h与间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？23（2021全国高一课时练习）一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始

10、计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度（单位：米）表示为时间（单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？24（2021江苏南京市第一中学高一月考）从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌

11、一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字设，五个正方形的面积和为（1）求面积关于的函数表达式，并求的范围；（2）求面积最小值25（2020四川省遂宁市第二中学校高一期中）如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段和以为直径的半圆弧组成，其中为2百米，为若在半圆弧，线段，线段上各建一个观赏亭，再修两条栈道，使. 记（1）试用表示的长；（2）试确定点的位置，使两条栈道长度之和最大.参考答案1D【分析】由题意可知，单摆来回摆动一次所需的时间为一个周期，然后利用三角函数的周期公式可得出所求结果.【详解】单

12、摆来回摆动一次，即完成一个周期，因为的最小正周期，所以单摆来回摆动一次所需的时间为，故选D.【点睛】本题考查简谐振动周期的理解，解题的关键就是利用三角函数周期公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.2C【分析】先由解析式求出函数的周期，从而可求出频率【详解】解：由题意得函数的周期为，所以频率，所以此人每分钟心跳的次数为80故选：C【点睛】此题考查三角函数模型的应用，属于基础题.3B【分析】由已知直接把代入，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出.【详解】解：当时，.故选：.【点睛】本题考查三角函数的简单应用，属于基础题.4A【分析】根据最大值及半径求出A，根据周期求出.【详解】由题目可知最大

13、值为5， 5A12A3，则故选:A5B【分析】由题可得此人相对于地面的高度与时间的关系是，再令求出的范围即可得出.【详解】设时间为时，此人相对于地面的高度为，则由题可得当时，在时间时，此人转过的角为，此时此人相对于地面的高度，令，则，所以，解得，故在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是得出高度与时间的关系，再解三角函数不等式即可.6D【分析】如图，连接，设，可用的三角函数值表示，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解【详解】如图所示： 连接，设，作，垂足分别为根据平面几何知识可知，故四边形

14、的面积也为四边形的面积，即有，其中所以当即时，故选：D【点睛】本题主要考查利用三角函数解决几何中的最值问题，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力，属于基础题7D【分析】作于，如图所示，求出10分钟旋转的角度，得，从而求得后可得点高度【详解】设10分钟后到达点，作于，如图所示，摩天轮进行10分钟后离地面的高度为：（米故选：D8C【分析】设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为f（t）Asin（t+）+B（A0，0，|）依题意可知f（t）的最大值为7.2，最小为2.4，可得A+B7.2，A+B2.4，解得A，B60，解得当t0时，f（t）0，得sin求出，可得所求的函数关系式为f（

15、t）进而对各个选项依次判断即可【详解】设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为f（t）Asin（t+）+B（A0，0，|）依题意可知f（t）的最大值为7.2，最小为2.4，A+B7.2，A+B2，解得A4.8，B2.460，解得f（t）4.8sin（t+）+2.4，当t0时，f（t）0，得sin，|，故所求的函数关系式为f（t）4.8sin（t ）+2.4，C对，令4.8sin（t ）+2.47.2，可得：sin（t）1，t，解得t20点P第一次到达最高点要20s时间A错，4.8sin（t ）+2.44.8sin（t ）t10t30；在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点P距离水面

16、的高度不低于4.8米；B错t50时，f（t）4.8sin（t ）+2.44.8sin（50 ）+2.44.8sin2.42.4，D错故选： C【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9C【分析】根据题意，求得初相，再根据周期，即可判断选择.【详解】由题意可得，初始位置为P0，不妨设初相为，故可得，则.排除B、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T60，所以|，即.故满足题意的函数解析式为：.故选：.【点睛】本题考查三角函数在生活中的应用，属基础题.10B【分析】过作于，由题意得到，由求出，即可得出函数解析式，从而可判断结果.【详解】

17、如图：过作于，则由题意可得：，在中，所以，.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的应用，以及判断三角函数的图像，属于常考题型.11BCD【分析】由题图求得质点的振动周期可判定A错，D正确；由该质点的振幅，可判定B正确；由简谐运动的特点，可判定C正确【详解】由题图可知，质点的振动周期为2(0.70.3)0.8 s，所以A错，D正确；该质点的振幅为5，所以B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确综上，BCD正确故选：BCD.12AD【分析】求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论.【详解】

18、由题意，R6，T120，当t0时，yf(t)，代入可得6sin ，.故A正确；所以，当时，所以函数在不是单调递增的，故B不正确；因为，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C不正确；当时，此时，点，故D正确，故选：AD【点睛】本题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有数学建模，将实际问题转化为函数问题来解决，结合三角函数的相应的性质求得结果，属于中档题.13BC【分析】先由题意求出点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为，再结合函数解析式逐一判断即可.【详解】解：对于选项C，由题意可得：点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为，即选项C正确；对于选项A，令，解得：，即点第一次到达最

19、高点需要20秒，即选项A错误；对于选项B，令，解得，即在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点距离水面的高度不低于4.8米，即B正确；对于选项D,因为 ，即点在水面下方，距离水面2.4米,所以D错误，综上可得选项B,C正确，故选：BC.【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，重点考查了解三角不等式，属中档题.14BC【分析】画出函数图像，根据函数图像得到函数周期，单调性，对称，得到答案.【详解】，画出函数图像，如图所示：故函数的最小正周期为，关于对称，区间上单调递减.且函数的图象与函数的图象不关于直线对称.故选：.【点睛】本题考查了函数的周期，单调性，对称，意在考查学生的对于函数知识的综合应用.1

20、5y2sin【详解】A2，T2(0.50.1)0.8，y2sin，将(0.1,2)代入得：0.1，y2sin.16【分析】设，则，则，从而得，利用降幂公式、辅助角公式及平方关系化简，再根据正弦型函数得值域即可得解.【详解】解：由题可知，设，则，因为，所以线段的中点得坐标为，所以，其中，因为，所以当时，取最大值为.故答案为：.1750 30 【分析】根据图象可得最值以及振幅、周期，利用最低点可求初相位，从而可得解析式.【详解】由图知，最大用电量为50，最小用电量为30，故，所以，又由图象可得半周期为，故，又时， ，.故.故答案：50，30，.18【分析】设，分别求得，再根据，转化为，利用三角函数

21、的性质求解.【详解】设，由题意得：，则，当即时取得最小值，最小值为故答案为：19【分析】由题设新定义知：，由、以及正切二倍角公式，即可判断各项的正误.【详解】，故错误；，故正确；，即，有，故错误；，故正确；，所以，故正确.故答案为：【点睛】关键点点睛：新定义有，结合三角恒等变换判断各项的正误.20（1）20；（2）（小时）.【分析】（1）利用三角函数的性质求函数在的最大值与最小值可得最大温差.（2）令，解不等式，确定解在的区间长度.【详解】（1）由函数易知，当函数取得最大值时 ，解得，又，所以当时，函数取得最大值，此时最高温度为，当函数取得最小值时 ，解得，当时，函数取得最小值，此时最低温度为

22、，所以最大温差为.（2）解法1：令，得，因为，所以.令，得.因为，所以.故该细菌能存活的最长时间为（小时）.解法2：令，即，,又，取得，故该细菌能存活的最长时间为.【点睛】本题考查三角函数的性质及应用，利用三角函数图像及周期性解简单三角不等式，考查运算求解能力,属于中档题.21（1）；（2）有点距离地面超过70 m.【分析】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求在时刻时P点距离地面的高度；（2）根据（1）的结果解不等式可得多长时间P点距离地面超过70 m.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，（1）设是以为始边，为终边的角，在内转过的角为，即，以为始边，为终边的角为，即点纵

23、坐标为，点距地面的高度为，由题可知，.（2）当时，解之得，持续时间为即在摩天轮转动一圈内，有点距离地面超过70 m.22(1) ；(2) ，缆车到达最高点时，用的时间最少为30 s【分析】(1)建立平面直角坐标系，结合条件求出点的坐标后可得h与间的函数关系式(2)由t s转过的弧度数为可得与t的关系，代入（1）中的关系式可得h与t之间的函数解析式，然后通过最值可得所求的最小时间【详解】(1)以圆心原点，建立如图所示的坐标系，如下图所示，则以为始边，为终边的角为，故点B坐标为（2）点A在圆上转动的角速度是，故t s转过的弧度数为，令，得，令，得t=30 s缆车到达最高点时，用的时间最少为30 s

24、【点睛】用三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，体现了新课标中“数学建模”的本质23（1）；（2）有时间点距水面的高度超过米.【分析】（1）设，根据题意求得、的值，以及函数的最小正周期，可求得的值，根据的大小可得出的值，由此可得出关于的函数解析式；（2）由得出，令，求得的取值范围，进而可解不等式，可得出的取值范围，进而得解.【详解】（1）设水轮上圆心正右侧点为，轴与水面交点为，如图所示：设，由，可得，所以.，由题意可知，函数的最小正周期为，所以点距离水面的高度关于时间

25、的函数为；（2）由，得，令，则，由，解得，又，所以在水轮转动的任意一圈内，有时间点距水面的高度超过米.【点睛】本题考查三角函数模型的简单应用，根据题意建立函数解析式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.24（1），的取值范围为，（2）【分析】(1)由题意可知小正方形的边长为，大正方形的边长为，所以五个正方形的面积和为，又，所以，所以的取值范围为， ，；(2)法一：其中，所以，此时，所以，则，因为，解得，即可求出面积最小值为；法二：由（1）可知，令，则，设，利用导数得到当时，面积最小值为【详解】解：（1）过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆

26、心重合，所以点，分别为小正方形和大正方形边的中点，所以小正方形的边长为，大正方形的边长为，所以五个正方形的面积和为，因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以，所以的取值范围为，答：面积关于的函数表达式为，的取值范围为，.（2）法一：， ，其中，所以，此时，因为，所以，所以，所以，则，化简得：，由此解得：，因为，所以，答：面积最小值为，法二：，令，则，设，令，得：，0极小值所以时，面积最小值为，答：面积最小值为.【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用，以及三角恒等变换的应用，涉及降幂公式、二倍角正弦公式和正切公式，是中档题25（1）；（2）与重合.【解析】分析：（1）解直角三角形BDC用表示的长.(2)先利用正弦定理求出DF4cossin()， 再求出DEAF=44，再利用三角函数求DEDF的最大值.详解：（1）连结DC在ABC中，AC为2百米，ACBC，A为，所以CBA，AB4，BC 因为BC为直径，所以BDC，所以BDBC coscos （2）在BDF中，DBF，BFD，BDcos，所以， 所以DF4cossin()， 且BF4，所以DEAF=44， 所以DEDF444 sin()= sin2cos232 sin(2)3 因为，所以2，所以当2，即时，DEDF有最大值5，此时E与C重合答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大29原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！