（人教版）九年级上学期数学备课资料：第二十二章 22.3.1实际问题与二次函数（一）.doc

1、第二十二章 22.3.1 实际问题与二次函数（一）知识点 1:利润最大问题 1.在现实生活中常常遇到一类求最大(小)值的问题.如在产品的营销过程中何时获得最大利润;在生产中如何获得最大的产值以及怎样获得最好的效果等.这些问题都可以转化为二次函数问题,利用二次函数的性质加以解决.2.解销售中最大利润问题的步骤:(1)利用应用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出等量关系;(2)把等量关系转化为二次函数的解析式;(3)求二次函数的最大值或最小值.来源:学,科,网 知识点 2:面积最大问题 1.几何图形中的二次函数问题常见的有:几何图形中面积的最值、用料的最佳方案等.2.利用平面几何图形的有关条件和

2、性质建立关于几何图形面积的二次函数解析式,并利用二次函数的图象和性质确定最大或最小面积.3.求几何图形面积的常见方法有:利用几何图形的面积公式求出几何图形的面积;利用几何图形面积的和或差求几何图形的面积;利用相似比求几何图形的面积等.4.解决面积问题的一般步骤:(1)利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出等量关系;(2)把等量关系转化为二次函数的解析式;(3)求二次函数的最大值或最小值.拓展提高：在处理复杂图形面积时常用的方法是:把复杂的几何图形进行分割求和.考点 1：利用二次函数求最大利润问题【例 1】李经理按市场价格 10 元/千克在某地收购了 2 000 千克香菇存放入冷库中.据预

3、测,香菇的市场价格每天每千克将上涨 0.5 元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计 340 元,而且香菇在冷库中最多保存 110 天,同时,平均每天有 6 千克的香菇损坏不能出售.来源:学科网 ZXXK(1)若存放 x 天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为 y 元,试写出 y 与 x之间的函数解析式;(2)李经理想获得利润 22 500 元,需将这批香菇存放多少天后出售?(利润=销售总金额-收购成本-各种费用)(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少?解:(1)由题意得 y 与 x 之间的函数解析式为:y=(10+0.5x)(2 000-6

4、x)=-3x2+940 x+20 000(1x110,且为整数).(2)由题意得:-3x2+940 x+20 000-102 000-340 x=22 500,解方程得:x1=50,x2=150(不合题意,舍去).来源:Zxxk.Com 答:李经理想获得利润 22 500 元,需将这批香菇存放 50 天后出售.(3)设最大利润为 W 元,由题意得 W=-3x2+940 x+20 000-102 000-340 x=-3(x-100)2+30 000.0100110,当 x=100 时,W 取得最大值,其最大值为 30 000.答:存放 100 天后,出售这批香菇可获得最大利润,最大利润是 30

5、 000 元.点拨：(1)存放 x 天后,香菇的市场价格为(10+0.5x)元/千克,此时香菇损坏 6x 千克,还可出售的香菇有(2 000-6x)千克,因此 y=(10+0.5x)(2 000-6x).(2)销售总金额为(10+0.5x)(2 000-6x)元,收购成本为(102 000)元,各种费用为 340 x 元,由利润=销售总金额-收购成本-各种费用,可得方程-3x2+940 x+20 000-102 000-340 x=22 500.(3)由二次函数的最大值可得结果.考点 2：利用二次函数求面积的最大值【例 2】星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙,另外三边

6、用长为 30 m 的篱笆围成.已知墙长为 18 m,如图所示,设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x m.(1)若平行于墙的一边的长为 y m,直接写出 y 与 x 之间的函数解析式及其自变量 x 的取值范围;来源:1(2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大?并求出这个最大值;(3)当这个苗圃园的面积不小于 88 m2时,试结合函数图象,直接写出 x 的取值范围.解:(1)y=30-2x(6x15).来源:学科网 ZXXK(2)设矩形苗圃园的面积为 S m2,则 S=xy=x(30-2x)=-2x2+30 x.S=-2(x-7.5)2+112.5.由(1)知,6x15,当 x=7.5 时,S 取得最大值,S 最大值=112.5.即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5 m 时,这个苗圃园的面积最大,最大值为 112.5.(3)函数 S=-2(x-7.5)2+112.5(6x15)的图象如图所示,结合图象,当这个苗圃园的面积不小于 88 m2时,x 的取值范围是 6x11.点拨：因为 0y18,所以 030-2x18,所以 6x15,画出函数 S=-2(x-7.5)2+112.5(6x15)的图象,当 S=88 时,-2(x-7.5)2+112.5=88,解得 x1=11,x2=4(舍).所以当这个苗圃园的面积不小于 88 m2时,x 的取值范围是 6x11.