（新课标）2023版高考数学一轮总复习 第6章 立体几何 第6节 立体几何中的向量方法——证明平行与垂直课件.ppt

1、第六章 立体几何 第六节 立体几何中的向量方法证明平行与垂直考试要求：1理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系 2能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的判定定理 必备知识回顾教材重“四基”01一、教材概念结论性质重现 1直线的方向向量与平面的法向量 直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线的非零向量，一条直线的方向向量有个 平面的法向量直线 l平面，取直线 l 的，我们称向量 a 为平面 的法向量显然一个平面的法向量有个，它们是共线向量 无数平行(或重合)无数方向向量a 方向向量和法向量均不为零向量且不唯一 2空间位置关系的向量表示 位

2、置关系向量表示 l1l2n1n2n1n2 直线 l1，l2 的方向向量分别为 n1，n2l1l2n1n2_ lnmmn0 直线 l 的方向向量为 n，平面 的法向量为 mlnmnm _nmnm 平面，的法向量分别为 n，mnmn1n20nm0二、基本技能思想活动经验 1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)平面的单位法向量是唯一确定的()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行()(5)若 ab，则 a 所在直线与 b 所在直线平行()(6)若空间向量 a 平行于平面，则 a 所在直线与平面 平行(

3、)2若直线 l 的方向向量 a(1，3,5)，平面 的法向量 n(1,3，5)，则有()Al Bl Cl 与 斜交Dl 或 l B 解析：由 an 知，na，则有 l故选 B 3已知平面，的法向量分别为 n1(2,3,5)，n2(3,1，4)，则()AB C，相交但不垂直D以上均不对 C 解析：因为 n1n2，且 n1n22(3)315(4)230，所以，既不平行，也不垂直 4如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 是底面正方形 ABCD的中心，M 是 D1D 的中点，N 是 A1B1 的中点，则直线 ON，AM 的位置关系是_ 垂直 解析：以 A 为原点，分别以 AB，AD，AA1

4、 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)设正方体的棱长为 1，则 A(0,0,0)，M0，1，12，O12，12，0，N12，0，1，AM O N0，1，12 0，12，1 0，所以 ON 与 AM 垂直 5在空间直角坐标系中，已知 A(1,2,3)，B(2，1，6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线 AB 与 CD 的位置关系是_ 平行 解析：由题意得，AB(3，3,3)，CD(1,1，1)，所以AB3CD，所以AB与CD 共线又 AB 与 CD 没有公共点，所以 ABCD 考点1 考点2 考点3 02关键能力研析考点强“四翼”考点1 利用空间向量证明平行问题

5、基础性如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面PAD平面 ABCD，ABCD 为正方形，PAD 是直角三角形，且 PAAD2，E，F，G 分别是线段 PA，PD，CD 的中点求证：PB平面 EFG 证明：因为平面 PAD平面 ABCD，ABCD 为正方形，PAD 是直角三角形，且 PAAD，所以 AB，AP，AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)，则EF(0,1,0)，EG(1,2，1)设平面 EFG 的法向量为

6、n(x，y，z)，则nEF0，nEG 0，即y0，x2yz0.令 z1，则 n(1,0,1)为平面 EFG 的一个法向量 因为PB(2,0，2)，所以PBn0，所以 nPB 因为 PB平面 EFG，所以 PB平面 EFG 本例中条件不变，证明：平面 EFG平面 PBC 证明：因为EF(0,1,0)，BC(0,2,0)，所以BC 2EF，所以BCEF 又因为 EF平面 PBC，BC平面 PBC，所以 EF平面 PBC，同理可证 GFPC，从而得出 GF平面 PBC 又EFGFF，EF平面EFG，GF平面EFG，所以平面EFG平面 PBC 利用空间向量证明平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量

7、共线线面平行(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直(2)证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行(1)证明两平面的法向量为共线向量(2)转化为线面平行、线线平行问题如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，PC2，在四边形 ABCD 中，BC90，AB4，CD1，点 M 在 PB 上，PB4PM，PB 与平面 ABCD 成 30角求证：CM平面 PAD 证明：由题意知，CB，CD，CP 两两垂直，以 C 为坐标原点，CB 所在直线为 x 轴，CD 所在直线为 y 轴，CP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz 因为 PC平面 ABCD，所以

8、PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，所以PBC30 因为 PC2，所以 BC2 3，PB4，所以 D(0,1,0)，B(2 3，0,0)，A(2 3，4,0)，P(0,0,2)，M32，0，32，所以DP(0，1,2)，DA(2 3，3,0)，CM 32，0，32 设 n(x，y，z)为平面 PAD 的一个法向量，由DP n0，DA n0，得y2z0，2 3x3y0.取 y2，得 x 3，z1，所以 n(3，2,1)是平面 PAD的一个法向量 因为 nCM 3 32 201320，所以 nCM 又 CM平面 PAD，所以 CM平面 PAD 考点2 利用空间向量证明垂直问题应用性如图，

9、已知 AB平面 ACD，DE平面 ACD，ACD 为等边三角形，ADDE2AB求证：平面 BCE平面 CDE 证明：设 ADDE2AB2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则 A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，3a,0)，E(a，3a,2a)，所以BE(a，3a，a)，BC(2a,0，a)，CD(a，3a,0)，ED(0,0，2a)设平面 BCE 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，由 n1BE0，n1BC0 可得 ax1 3ay1az10，2ax1az10，即x1 3y1z10，2x1z10.令 z12，可得 n1(1，3，2)设平面 CDE 的法向量为

10、 n2(x2，y2，z2)，由 n2CD 0，n2ED 0 可得 ax2 3ay20，2az20，即x2 3y20，z20.令 y21，可得 n2(3，1,0)因为 n1n21 31(3)0，所以 n1n2，所以平面 BCE平面 CDE 若本例中条件不变，点 F 是 CE 的中点，证明：DF平面 BCE 证明：由例 2 知 C(2a,0,0)，E(a，3a,2a)，平面 BCE 的法向量n1(1，3，2)因为点 F 是 CE 的中点，所以 f3a2，3a2，a，所以DF a2，3a2，a，所以DF a2n1，所以DF n1，故 DF平面 BCE 1利用空间向量证明垂直的方法 线线垂直证明两直线

11、所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示2向量法证明空间垂直、平行关系时，是以计算为手段，寻求直线上的线段对应的向量和平面的基向量、法向量的关系，关键是建立空间直角坐标系(或找空间一组基底)及平面的法向量 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点 证明：(1)AECD；(2)PD平面 ABE 证明：以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建

12、立如图所示的空间直角坐标系 Axyz 设 PAABBC1，则 P(0,0,1)(1)因为ABC60，所以ABC 为正三角形，所以 C12，32，0，E14，34，12 设 D(0，y,0)，由 ACCD，得ACCD 0，即 y2 33，则 D0，2 33，0，所以CD 12，36，0 又AE14，34，12，所以AECD 1214 36 34 0，所以AECD，即 AECD(2)(方法一)由(1)知，D0，2 33，0，P(0，0,1)，所以PD 0，2 33，1 又AEPD 34 2 33 12(1)0，所以PD AE，即 PDAE 因为AB(1,0,0)，所以PD AB0，所以 PDAB

13、又 ABAEA，AB，AE平面 AEB，所以 PD平面 AEB(方法二)由(1)知，AB(1,0,0)，AE14，34，12 设平面 ABE 的法向量为 n(x，y，z)，则x0，14x 34 y12z0.令 y2，则 z 3，所以 n(0,2，3)为平面 ABE 的一个法向量 因为PD 0，2 33，1，显然PD 33 n 因为PD n，所以PD 平面 ABE，即 PD平面 ABE 考点3 利用空间向量解决探索性问题应用性如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点在棱 C1D1 上是否存在一点 F，使 B1F平面 A1BE？证明你的结论 解：在棱 C1D1 上存在

14、一点 F(C1D1 的中点)，使 B1F平面 A1BE证明如下：依 题 意，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，设 正 方 体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，则 A1(0,0,1)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，E0，1，12，所以BA1(1,0,1)，BE1，1，12 设 n(x，y，z)是平面 A1BE 的一个法向量，则由nBA1 0，nBE0，得xz0，xy12z0，所以 xz，y12z取 z2，得 n(2,1,2)设棱 C1D1 上存在点 F(t,1,1)(0t1)满足条件，又因为 B1(1,0,1)，所以B1F(t1,1,0)而 B1F平面 A1

15、BE，于是 B1F平面 A1BEB1F n0(t1,1,0)(2,1,2)02(t1)10t12F 为 C1D1 的中点即说明在棱 C1D1 上存在点 F(C1D1 的中点)，使 B1F平面 A1BE 向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在 在四棱锥 P-ABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，PDDC，E，F 分别是 A

16、B，PB 的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面 PAD 内是否存在一点 G，使 GF平面 PCB？若存在，求出点 G 坐标；若不存在，试说明理由(1)证明：由题意知，DA，DC，DP 两两垂直如图所示，以 DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 设 ADa，则 D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，Ea，a2，0，P(0,0，a)，Fa2，a2，a2，所以EFa2，0，a2，DC(0，a,0)因为EFDC 0，所以EFDC，从而得 EFCD(2)解：假设存在满足条件的点 G，设 G(x,0，z)，则FG xa2，a2，za2 若使 GF平面 PCB，则由FG CBxa2，a2，za2(a,0,0)axa2 0，得 xa2 由FG CPxa2，a2，za2(0，a，a)a22 aza2 0，得z0，所以点 G 坐标为a2，0，0，故存在满足条件的点 G，且点 G 为AD 的中点