江苏省淮安市淮阴中学2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）.docx

1、江苏省淮阴中学2021-2022学年度第二学期期中考试高二数学命题人：韩晓东 审定人： 卢连伟一、单项选题：本大题共8小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把答案填涂在答题卡相应的位置上1. 若随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ）1230.2A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4【答案】B【解析】【分析】由概率和为1可得值【详解】由题意，解得故选：B2. 某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】C【解析】【分析】利用排列，排列数的概念即得.【详解】由题可知不同的报名方法

2、数为从5个不同元素中取出4个元素的排列数，所以不同的报名方法有种.故选：C.3. 已知，若，则（ ）A. B. C. 11D. 4【答案】B【解析】【分析】根据空间向量共线的性质进行求解即可.【详解】，因为，所以，解得，故.故选：B4. 已知直线与圆相交于、两点，若，则实数的值为（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】分析可知为等腰直角三角形，利用几何关系求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为且，故为等腰直角三角形，且，则圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可为，解得或.故选：A.5

3、. 甲乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据全概率公式进行求解即可.【详解】设事件表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件表示：从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，则有：，所以，故选：B6. 在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者

4、参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者则这6位志愿者不同的分配方式共有（ ）A. 19种B. 20种C. 30种D. 60种【答案】A【解析】【分析】利用对立事件，用总的分配方式减去“社区值守”岗位全是女性的情况可得.【详解】6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有种，“社区值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有种.故选：A7. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 3是的极小值点B. 是的极小值点C. 在区间上单调递减D.

5、曲线在处的切线斜率小于零【答案】AD【解析】【分析】根据导函数的图象，结合极小值点的定义、导数的性质逐一判断即可.【详解】A：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，所以3是的极小值点，因此本选项说法正确；B：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，单调递减，所以不是的极小值点，因此本选项说法不正确；C：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，所以本选项说法不正确；D：由导函数的图象可知：，所以本选项说法正确，故选：AD8. 某人射击一次命中目标的概率为0.8，现在他连续射击6次，则命中3次且恰有两次连中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】

6、根据次独立重复实验中恰好发生次的概率，可得这名射手射击3次的概率，再根据独立事件的乘法公式求解即可【详解】由题意可得，由于3次未命中形成4个空来插入命中的情况，则有种情况，因为射击一次命中目标的概率为0.8，所以他连续射击6次，则命中3次且恰有两次连中的概率为，故选：C二、多项选题：本题共4小题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求请把答案填涂在答题卡相应的位置上9. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ）A. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则B. 直线的方向向量为，直线的方向向量，则C. 若对空间内任意一点，都有，则P，A，B，C四点共面D. 平面，的法向量分别为，则【答案】BCD【解析

7、】【分析】A.由是否为零判断；B. 由是否为零判断；C. 由空间向量共面向量定理判断； D. 由是否为零判断；【详解】A. 因为直线的方向向量为，平面的法向量为，且，所以不平行，故错误；B. 因为直线的方向向量为，直线的方向向量，且，所以，故正确；C. 因为，即，即，所以，所以P，A，B，C四点共面，故正确；D. 因为平面，的法向量分别为，且，所以，故正确；故选：BCD10. 已知椭圆，若P在椭圆上，、是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ）A. 若，则B. 面积的最大值为C. 的最大值为D. 满足是直角三角形的点有个【答案】ABC【解析】【分析】利用余弦定理可判断A选项；利用三角形的面积

8、公式可判断B选项；利用椭圆的定义可判断C选项；利用平面向量的数量积可判断D选项.【详解】在椭圆中，且，对于A选项，当时，则，由余弦定理可得，因为，所以，A对；对于B选项，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，所以，面积的最大值为，B对；对于C选项，因为，即，所以，C对；对于D选项，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个，当为直角顶点时，设点，则，所以，此时，满足条件的点有个，综上所述，满足是直角三角形的点有个，D错.故选：ABC.11. 若，则下列说法正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】令，可得，利用赋值法可判断AB，利用展开式的通项可判断C，通过取导数

9、及赋值法可判断D.【详解】令，则，令，可得，即，故A正确；令，可得，故B正确；由题可知，故C正确；由，可得，令，可得，故D错误.故选：ABC.12. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）A. 时，B. 在定义域内单调递增时，C. 时，有极值D. 时，的图象存在两条相互垂直的切线【答案】ABD【解析】【分析】对函数求导得，A代入自变量求参数值即可；B由在上恒成立，求范围即可；C判断时的符号即可；D利用导数研究的单调性及值域，判断定义域内是否存在即可.【详解】由题设，函数定义域为，且，A：，则，正确；B：在定义域上递增，即在上恒成立，只需，而在上的最大值为，故，正确；C：由B分析知：当时恒成立，此时

10、无极值，错误；D：令，则，当时，递减；当时，递增；又，故，趋向于0或正无穷时都趋向于正无穷，所以上各有一个零点，故上，上，故必存在，即存在两条相互垂直的切线，正确.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题请把答案填写在答题卡相应位置上13. 已知点，平面a经过原点O，且垂直于向量，则点A到平面a的距离为_.【答案】【解析】【分析】利用点到平面的距离为，即可求得结论.【详解】由题意，所以点到平面的距离为.故答案为：.14. 被除的余数是_【答案】【解析】【分析】由题知，再结合二项式定理求解即可.【详解】解：，所以被除的余数是故答案为：15. 已知，抛物线：的焦点为，与抛物线在第一象限的交点为，且，

11、则_【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，求出点M的坐标，再结合抛物线定义列式计算作答.【详解】由解得或，于是得，抛物线：的焦点为，准线方程为：，因此，解得，所以.故答案：216. 对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”有同学发现“任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心”请你将这一发现视为条件，若函数，则它的对称中心为_ ；并计算_【答案】 . 【解析】【分析】求出，由可求得函数的“拐点”坐标，可得出，再利用倒序相加法可求得的值.【详解】因为，则，由可得，且所以，函数的对称中心为，所以，对任意的，.因此，因此，.故

12、答案为：；.四、解答题：本大题共6小题请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 在一个袋子里有大小一样的5个小球，其中有3个红球和2个白球（1）现无放回地依次从中摸出1个球，求第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率；（2）现有放回地每次从中摸出1个球，连摸3次，设摸到红球的次数为X，求随机变量X的概率分布及方差【答案】（1） （2）分布列见解析；【解析】【分析】（1）记“第一次摸出红球”为事件A，“第二次摸出白球”为事件B，直接求出，由概率乘法公式得；（2）先分析出，直接求出概率，写出分布列，套公式求出方差.【小问1详解】解：记“第一次摸出红球”为事件A，“第二次

13、摸出白球”为事件B，则，由概率乘法公式得即第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率为【小问2详解】由题意分析.所以，.分布列为：X.18. 已知展开式的系数和为，求的展开式中，（1）常数项；（2）系数最大的项【答案】（1） （2）或【解析】【分析】(1) 由条件可求，再由通项公式求常数项；(2)设第项系数最大，列不等式求，再由通项公式求解即可.【小问1详解】因为展开式的系数和为，所以故，设的展开式的第为，令得，所以常数项为【小问2详解】设的展开式的第项系数最大，解得，所以系数最大项为第3或第4项，所以系数最大的项为或19. 某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中

14、只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则授予0分加分资格；若考核优秀，授予20分加分资格假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、，他们考核所得的等次相互独立（1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学考核都为优秀的概率；（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望【答案】（1）； （2）分布列见解析；期望为.【解析】【分析】（1）利用独立事件概率公式即得；（2）由题可知的所有可能取值为0，20，40，60计算相应的概率可得分布列，再利用期望公式即得.【小问1详解】记“甲考核为优秀”为事件，“乙考核为优秀”为事件，“丙考核为优秀”为事件，“甲、乙、

15、丙考核都为优秀”为事件则事件是相互独立事件，于是【小问2详解】随机变量的所有可能取值为0，20，40，60，所以随机变量X的分布列为X20. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面（1）求证：；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理证得，再结合线面垂直的性质和判定推理作答.（2）以点D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的余弦计算作答.【小问1详解】在中，由余弦定理得：，则，即，有，因平面，平面，则，而，平面，于是得平面，又平面，所以【小问2详解】因平面，平面，则，由（1）知，射线两两垂直，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

16、，设为平面一个法向量，则，令，得，设是平面的一个法向量，则，令，得，设二面角的大小为，则， 所以二面角的正弦值为21. 已知双曲线C的方程为，离心率为，右顶点为(2，0)（1）求双曲线的标准方程；（2）过的直线与双曲线C的一支交于两点，求的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）依题意可得即可求出、，从而求出双曲线方程；（2）设直线的方程为，设、，联立直线与双曲线方程，消元，依题意可得，即可求出的取值范围，再根据向量数量积的坐标表示得到，即可求出的范围；【小问1详解】解：根据题意，由离心率，又，所以，又右顶点为，即，故双曲线的标准方程为【小问2详解】解：设直线的方程为，设、，则由，

17、消去整理得到，直线与双曲线一支交于、两点，解得因此，故，故22. 已知（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，恒成立，求的取值范围；（3）求证：，其中，【答案】（1） （2） （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可.（2）分别讨论和时的情况求解即可.（3）根据（2）得到，从而得到，再利用放缩法求解即可.【小问1详解】当时，切点为.所以，切线方程为即.【小问2详解】，则在区间单调递增，又，所以当时，在上单调递增，所以，即，在上单调递增，所以，符合题意当时，令，解得，当时，在上单调递减，在上单调递减，所以时，不符合题意，所以a的取值范围是【小问3详解】由（2）可知时，当时，即，所以当时，有，所以