海南省海南中学2020届高三数学第九次月考试题（含解析）.doc

1、海南省海南中学2020届高三数学第九次月考试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则实数a的值为( )A. B. 1C. 0或D. 0或1【答案】C【解析】【分析】根据子集的定义，分类讨论进行求解即可.【详解】因为，所以.当时，说明方程没有实数根，所以有；当时，说明是方程有唯一实数根，显然不成立，一定不是方程的实数根；当时，说明是方程有唯一实数根，所以，解得；当时，因为方程最多有一个实数根，所以不存在这种情况.综上所述：实数a的值为0或.故选：C【点睛】本题考查了根据子集关系求参数的取值问题，属于基础

2、题.2.已知1yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则xy()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】由题意，(xxi)1yi，解得x2，y1.故xy1.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概率，属于基本体，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为，虚部为，模为，对应点为，共轭复数为.3.已知（a是常数）的展开式中含项的系数为，则a=( )A. 1B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，可得关于的方程，解方程即可得答案；【详解】，当时，解得：，故选：A.【点睛】本题考查二项式定理展开式的

3、应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.4.圆上到直线的距离为的点有A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】 由圆的方程，得圆心坐标，半径为， 由圆心到直线的距离为， 所以圆到直线的距离为的点有且仅有个，故选B.5.函数图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据特殊值，代入检验，排除不合要求的选项即可【详解】当x=0时，f(x)=0，排除D选项当 时， 排除C选项根据定义域 可排除A选项故选B.【点睛】本题考查了根据解析式判断函数的图像，从特殊值、单调性、奇偶性等方面考虑，属于基础题6.新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科

4、中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（）A. 丙没有选化学B. 丁没有选化学C. 乙丁可以两门课都相同D. 这四个人里恰有2个人选化学【答案】D【解析】【分析】根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论【详解】根据题意可得，甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，乙必定没选化学；又丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选化学； 若丙没选化学，又丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学综上，必定有甲，丙或甲，丁这两种情况下选择化学，故可判断A，B不正确，D正确

5、假设乙丁可以两门课都相同，由上面分析可知，乙丁都没有选择化学，只能从其它三科中选两科不妨假设选的是生物、政治，则甲选的是化学和地理，而丙和甲共同选择了化学，另一门课丙只能从生物、政治中选一科，这样与“丁与丙也没有相同课程”矛盾，故假设不成立，因此C不正确【点睛】本题主要考查学生的逻辑推理能力7.已知，则、的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的单调性比较、三个数与的大小关系，再比较、两个数的大小关系，由此可得出、的大小关系.【详解】，所以，所以，即.因此，.故选：C.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数与对数函数结合中间

6、值法来比较，考查推理能力，属于中等题.8.设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆的半分别为1和，二面角的平面角为，则球O的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过与作直线的垂面如图所示，设出球的半径，通过解三角形，利用转化思想求出球半径的平方，最后利用球的表面积公式求解即可.【详解】过与作直线的垂面如图所示，设球的半径为，垂足为，则有，设，所以有，而，所以，所以，因此球的表面积等于：.故选：A【点睛】本题考查了二面角的有关知识，考查了球的表面积公式，考查了空间想象能力.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题

7、给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O：，则下列说法中正确的是( )A. 函数是圆O的一个太极函数B. 圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数C. 函数是圆O的一个太极函数D. 函数的图象关于原点对称是为圆O的太极函数的充要条件【答案】AC【解析】【分析】根据题中所给的定义对四个选项逐一判断即可.【详解】选项

8、A：因为，所以函数是奇函数，它的图象关于原点对称，如下图所示：所以函数是圆O的一个太极函数，故本说法正确；选项B：如下图所示：函数是偶函数，也是圆O的一个太极函数，故本说法不正确；选项C：因为是奇函数，所以它的图象关于原点对称，而圆也关于原点对称，如下图所示：因此函数是圆O的一个太极函数，故本说法是正确的；选项D：根据选项B的分析，圆O的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故本说法不正确.故选：AC【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了函数对称性的应用和圆的对称性的应用，属于中档题.10.已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间

9、为，若使标准分X服从正态分布N，则下列说法正确的有( ).参考数据：；A. 这次考试标准分超过180分的约有450人B. 这次考试标准分在内的人数约为997C. 甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为D. 【答案】BC【解析】【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.【详解】选项A；因为正态分布曲线关于对称，所以这次考试标准分超过180分的约有人，故本说法不正确；选项B：由正态分布N，可知：，所以，因此这次考试标准分在内的人数约为人，故本说法正确；选项C：因为正态分布曲线关于对称，所以某个人标准分超过180分的概率为，因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分

10、的概率为，故本说法正确；选项D：由题中所给的公式可知：，所以由正态分布的性质可知：所以本说法不正确.故选：BC【点睛】本题考查了正态分布的性质应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.11.已知双曲线C：的焦点与抛物线的焦点之间的距离为2,且C的离心率为，则下列说法正确的有( ).A. C的渐近线方程为B. C的标准方程为C. C的顶点到渐近线的距离为D. 曲线经过C的一个焦点【答案】ABD【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出双曲线的一个焦点坐标，根据两点间距离公式，结合双曲线离心率公式求出双曲线中的，最后对四个选项逐一判断即可.【详解】设抛物线的焦点为，双曲线C的一个焦点坐标为：，由题意

11、可知：，所以有或（舍去），又因为C的离心率为，所以.选项A：因为 ，所以C的渐近线方程为，故本选项说法正确；选项B：因为，所以C的标准方程为，故本选项说法正确；选项C：设C的一个顶点坐标为，它到渐近线方程为的距离为：，根据双曲线和渐近线的对称性可知：C的顶点到渐近线的距离为，故本选项的说法不正确.选项D：当时，而恰好是双曲线一个焦点，因此本选项的说法正确.故选：ABD【点睛】本题考查了双曲线的有关性质，考查了抛物线的焦点坐标，考查了数学运算能力.12.已知函数（）在处取得最大值，且最小正周期为2，则下列说法正确的有( ).A. 函数是奇函数B. 函数是偶函数C. 函数在上单调递增D. 函数是周

12、期函数【答案】BCD【解析】【分析】根据正弦型函数的最值性质、最小正周期公式可以确定的值，最后根据余弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为在处取得最大值，所以有，又因为的最小正周期为2，所以有，因此.选项A：设，因为，所以是偶函数，故本选项说法不正确；选项B：设因为，所以是偶函数，故本选项说法正确；选项C：设，因为，所以，又因为，所以函数在上单调递增，故本选项说法正确；选项D：设，函数最小正周期为：，所以本选项说法正确.故选：BCD【点睛】本题考查了正弦型函数的性质，考查了余弦型函数的性质，属于中档题.第卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若(),则_【答案】【解析】.,

13、即又，.故答案为14.已知向量、的夹角为，且，则_，在方向上的投影等于_.【答案】 (1). (2). 1【解析】【分析】根据条件可求得,进行数量积的运算,便可由得出,解该方程即可求得的值;根据投影的计算公式即可得出在方向上的投影.【详解】根据条件,;解得或 (舍去);(2)在上的投影为，故答案为：；1.【点睛】本题考查向量的数量积运算，关键在于准确地运用相应的公式，理解向量数量积的含义，属于基础题.15.在直角梯形中，若将直角梯形绕边旋转一周，则所得几何体的表面积为_.【答案】【解析】分析】由题意得该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥的几何体，通过计算圆柱的侧面积和下底面面积、圆锥的侧面积，即可得

14、答案；【详解】如图所示，该几何一个圆柱挖去一个圆锥的几何体，故答案为：.【点睛】本题考查旋转体的表面积求解，考查空间想象能力、运算求解能力，注意旋转所形成几何体的特点是求解的关键.16.已知是定义在上连续的奇函数，是的导函数，当时，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】构造函数，可知函数为偶函数，利用导数判断函数在区间上的单调性，进而可得出函数在上的单调性，将所求不等式变形为，利用函数在上的单调性可得出解集.【详解】构造函数，由于函数是定义在上的奇函数，则函数为上的偶函数，当时，所以，函数在上增函数，在上为减函数，又函数在上连续，则函数在上也连续，故函数在区间上为减函数，由可得，即，即，

15、解得.因此，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查函数不等式的求解，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图：某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知（公里），是等腰三角形，.（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？参考值：， .【答案】（1）不能；（2）能.【解析】

16、【分析】（1）根据正弦定理求得，再利用路程除以速度得到到达C处所用的时间，即可得答案；（2）利用余弦定理求出的值，再计算汽车到达C处所用的时间，即可得答案；【详解】（1）在中，由，得，于是，由可知，快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处.（2）在中，由，得， 在中，由，得， 由可知，汽车能先到达C处.【点睛】本题考查正、余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18.已知数列的前n项和为，对任意正整数n，点都在函数的图象上，且在点处的切线的斜率为.（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）把点的坐

17、标代入函数的解析式中，结合进行求解即可；（2）根据导数的几何意义，运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行证明即可.【详解】（1）解：依题意可知，当时，当时，也符合上式，；（2）证明：，原不等式成立.【点睛】本题考查了已知数列前项和公式求通项公式，考查了导数的几何意义，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了放缩法的应用，考查了数学运算能力和推理论证能力.19.某P2P平台需要了解该平台投资者的大致年龄分布，发现其投资者年龄大多集中在区间岁之间，对区间岁的人群随机抽取20人进行了一次理财习惯调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组人数第一组2第二组a第三组5第四组4第五组3第六组

18、2（1）求a的值并画出频率分布直方图；（2）从被调查的20人且年龄在岁中的投资者中随机抽取3人调查对其P2P理财观念的看法活动，记这3人中来自于区间岁年龄段的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】（1）4，直方图见解析；（2）分布列见解析，2.【解析】【分析】（1）根据调查总人数可得的值，计算每组的频率除以组距，即可画出频率分布直方图；（2）易知X所有可能取值是1，2，3，利用古典概型可得随机变量取值的概率，即可得到分布列和期望.【详解】（1）， 直方图中小矩形高度依次为，其频率分布直方图如图.（2）因为区间岁年龄段的“投资者”有2名，区间岁年龄段“投资者”有4名，则易知X所有可能

19、取值是1，2，3. 则；. 故随机变量X的分布为123故随机变量X的数学期望为.【点睛】本题考查补全频率分布直方图、求离散型随机变量的分布列和期望，考查运算求解能力，求解时注意概率模型的确定.20.在四棱锥中，底面是一直角梯形，,，底面.（1）在线段上是否存在一点F，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由；（2）在（1）的条件下，若与所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）存在，2；（2）.【解析】【分析】（1）假设存在点F，建立如图所示的空间直角坐标系，F，写出的坐标，并求出面平面的一个法向量，利用求出的值，即可得答案；（2），因为与所成的角为，可得，取平面的一个法向量，利用向

20、量的坐标运算求出，即可得答案；【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，D，C，设，则P，假设存在点F，使平面，F，设平面的一个法向量为，则，取，则，要使平面，则，即，解得：，所以. （2），因为与所成的角为，所以，则由（1）知平面的一个法向量为，又平面，则平面，所以，取平面的一个法向量，则，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查利用向量研究向量平行问题，向量法求二面角的大小，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意坐标书写的准确性.21.已知椭圆C:（）的离心率为，且椭圆C的中心O关于直线的对称点落在直线上.（1）求椭圆C的方程；（2）设P，M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，连接交

21、椭圆C于另一点E，求直线的斜率取值范围，并证明直线与x轴相交于定点.【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】【分析】（1）设点O关于直线的对称点为，根据一垂直二平分，解得，再结合离心率为，且椭圆C的中心O关于直线的对称点落在直线上，由求解. （2）设直线的方程为，且，则，与椭圆方程联立，通过，解得直线的斜率取值范围；写出直线的方程为，令，得，然后将韦达定理代入求解.【详解】（1）设点O关于直线的对称点为，则，解得，依题意，得，椭圆C的方程是； （2）设直线的方程为，且，则，由，消去y得，解得，且，直线的斜率取值范围是；由韦达定理得：，直线的方程为，令，解得：，直线与x轴交于定点.【点睛】本

22、题主要考查椭圆方程的求法以及直线过定点问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.22.设函数.（1）当时，求函数的最大值；（2）令其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（3）当，方程有唯一实数解，求正数的值【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）对函数进行求导，判断其在单调递增，在单调递减，从而得到最大值为；（2）求出函数，则其导数小于等于在恒成立，进而求出的取值范围；（3）方程有唯一实数解，设，利用导数研究函数的图象特征，设为方程的唯一解，得到，把方程组转化成，再利用导数研究该方程的根，最后根据根的唯一性，得到与的关系，再求出正数的值.【详解】（1）依题意，知的定义域为，当时，令，解得.当时，此时单调递增；当时，此时单调递减.所以的极大值为，此即为最大值.（2），则有，在上恒成立，所以，.当时，取得最大值，所以.（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则.令，因为，所以（舍去），当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，当时，取最小值.则，即，所以，因为，所以设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解，又，所以方程的解为，即，解得.【点睛】本题考查函数与导数的应用，即利用导数研究函数的最值、函数的单调性，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，求解第（3）问的关键在于方程根唯一性的理解，从而得到关于的方程.