海南省海南师范大学2016届高三第九次模拟考试数学（理）试题 WORD版含解析.doc

1、海南省海南师范大学2016届高三第九次模拟考试数学试题(理)第I卷（选择题）一、选择题1设集合,则A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查集合的基本运算、对数函数.集合,则.故选C. 2已知是虚数单位,复数满足,则A.B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查复数代数形式的四则运算、共轭复数.由得,则.故选B. 3对于非零向量,下列四个条件中使成立的充分条件是A.B.C.D.且【答案】C【解析】本题主要考查平面向量共线定理、相等向量.表示两个相等的单位向量,且的方程相同.故选C. 4已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示,正视图是边长为的正三角形, 俯视图是边长为的正六边形,则该几何体的

2、侧视图的面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查空间几何体的三视图,考查了空间想象能力.由三视图可知,该几何体是底面是边长为的正六边形,侧棱长为2a的正六棱锥,所以该棱锥的高为,由正视图与俯视图可知,该几何体的侧视图是底边长为、高是的等腰三角形,所以侧视图的面积S=.故选D. 5已知直线与圆相交于两点.若弦的中点为抛物线的焦点,则直线的方程为A.B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查抛物线的性质、直线的斜率与方程、直线与圆的位置关系.设,抛物线的焦点(0,1),则,两式相减,化简可得,所以直线的方程为.故选B. 6如图所示的程序框图,若输入的分别,则输出的余数为A.B.C.D.

3、【答案】A【解析】本题主要考查直到型循环程序结构、进位制.由程序框图可知,该程序框图的功能是将10进制数化为2进制数.将所得到的余数,从下往上数,再从左向右排列可得89=1011001(2).故选A. 7已知,其导函数的图象如图所示,则的值为A.B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的图象与性质、函数的导数.因为,所以,由图象可知,T=4(,A=4,且,则,则故选B.8如图，正方形的边长为1，记曲线和直线，所围成的图形(阴影部分)为，若向正方形内任意投一点，则点落在区域内的概率为A.B.C.D.【答案】A【解析】本题考查几何概型.曲线和直线y=的交点坐标为，所以阴影部分的面积为，应选A

4、. 9如图,正方形的顶点,顶点位于第一象限,直线将正方形分成两部分,记位于直线左侧阴影部分面积为,则函数的图象大致为A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查函数的解析式、图象与性质,考查了分析问题与解决问题的能力、识图能力.由题意可知,当时,直线左侧阴影部分面积为;当时,直线左侧阴影部分面积为;根据二次函数的性质可知,答案C.故选C.10已知点在同一个球面上,若四面体体积的最大值为,则这个球的表面积是A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积、球的性质,考查了空间想象能力.因为,所以是直角三角形,且面积S=6,设高为h,则V=,所以h=5,即四面体的高的最大值

5、为5,设AC的中点为O1,球心为O,则O在DO1上,且DO1垂直平面ABC,设球的半径为R,则,解得R=,所以这个球的表面积S=.故选D. 11设分别为双曲线的左右顶点,若双曲线上存在点使得两直线斜率,则双曲线的离心率e的取值范围为A.B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查双曲线的性质、直线的斜率公式,考查了计算能力.,设点,则,则,联立,消去y0,化简可得(2a2-b2)x02a2(2a2-b2),因为x02a2,所以2a2-b20,求解可得.故选B. 12设函数为自然对数的底数).若曲线上存在使得,则的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查函数与方程的综合应用,考查了

6、转化思想、观察探究能力.因为曲线上存在使得,所以,当a=0时,是增函数,且,又,故a=0不符合题意,故排除B,D;当a=e+1时,是增函数,又,而没有意义,故a=e+1不符合题意,故排除C,因此,答案选A. 第II卷（非选择题）二、填空题13“五一”黄金周将至,小明一家口决定外出游玩,购买的车票分布如下图:窗口 排座 排座 排座 走廊 排座 排座 窗口其中爷爷喜欢走动,需要坐靠近走廊的位置;妈妈需照顾妹妹,两人必须坐在一起,则座位的安排方式一共有 种.【答案】【解析】本题主要考查排列组合、分类加法计数原理与分步乘法计数原理.先排爷爷,若坐C座,妈妈与妹妹坐A座、B座或D座、E座,共有种不同的安

7、排方法;若D座,妈妈与妹妹坐A座、B座与C座中相邻的两个座位,共有种不同的安排方法,则座位的安排方式一共有8+8=16种.14已知不等式组所表示的平面区域为,若直线与平面区域有公共点,则的取值范围为 .【答案】【解析】本题主要考查二元一次不等式组与线性规划、直线方程,考查了作图与识图能力.作出不等式组所表示的平面区域,如图所示,观察图象可知,当直线过点(1,0)时,k=3,当直线过点(1,0)时,k=3,所以的取值范围为是. 15给出下列四个结论:(1)如果的展开式中各项系数之和为,则展开式中的系数是;(2)用相关指数来刻画回归效果,的值越大,说明模型的拟合效果越差;(3)若是定义在上的奇函数

8、,且满足,则函数的图象关于对称;(4)已知随机变量服从正态分布,则;其中正确结论的序号为 .【答案】(3)(4)【解析】本题主要考查命题真假的判断、二项式定理、相关关系、函数的性质、正态分布.令x=1得2n=128,则n=7,通项Tr+1=,令,则r=6,则展开式中的系数是21,故(1)错误;(2)用相关指数来刻画回归效果,的值越大,说明模型的拟合效果越好,故(2)错误;因为是定义在上的奇函数,且满足,所以,则函数的图象关于对称,故(3)正确;因为随机变量服从正态分布可知,正态曲线的对称轴为x=1,所以,则,故(4)正确. 16已知在海岛上有一座海拔千米的山,山顶设有一个观察站,上午时,测得一

9、轮船在岛北偏东,俯角为的处,到时分又测得该船在岛北偏西,俯角为的处.小船沿BC行驶一段时间后,船到达海岛的正西方向的处,此时船距岛有 .【答案】千米【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、两角和与差公式,考查了空间想象能力.由题意,AB=千米,AC=千米,千米,在三角形ACD中,由正弦定理可得,又,化简求解可得AD=千米.三、解答题17正项数列的前项和满足:()求数列的通项公式；()令,数列的前项和为，证明:对于任意的,都有【答案】()解:由,得由于是正项数列,所以于是时,综上,数列的通项()证明:由于则【解析】本题考查数列的通项的求法、数列的求和及其应用，意在考查考生的分析理解能力及运算求解

10、能力()由因式分解求得，然后利用，时,求得通项；()将()代入求得，然后利用裂项求和求得，而后利用放缩法即可证明 182016 年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取后和后作为调查对象,随机调查了位,得到数据如下表:生二胎不生二胎合计后后合计(1)以这个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市后公民中随机抽取位,记其中生二胎的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.(2)根据调查数据,是否有以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由:参考数据:0.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879(参

11、考公式:,其中)【答案】(1)由已知得后“生二胎”的概率为,并且,所以,其分布列如下所以,.(2)由,所以有以上的把握认为“生二胎与年龄有关”.【解析】本题主要考查离散型随机变量、二项分布的分布列与期望、独立性检验及其应用,考查了分析与计算能力.(1)由题意得后“生二胎”的概率为,并且X服从二项分布,则易求分布列与期望;(2)将数据代入公式,求出K2的观测值,再对照概率表即可得到正确结论. 19如图,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线且,且.(1)设点为棱中点,求证:平面;(2)线段上是否存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值等于?若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由.【答案

12、】(1)证明:由已知,平面平面,且,则平面,所以两两垂直,故以为原点,分别为轴轴,轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以.易知平面的一个法向量等于,所以,所以,又平面,所以平面.(2)当点与点重合时,直线与平面所成角的正弦值为.理由如下:因为,设平面的法向量为,由,得,令,得平面的一个法向量为,假设线段上存在一点,使得直线与平面所成的角的正弦值等于.设,则,所以,所以,解得或(舍去),因此,线段上存在一点,当点与点重合时,直线与平面所成角的正弦值等于.【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理、直线与平面所成的角、空间向量的应用,考查了空间想象能力、推理论证能力.(

13、1)根据题意,易证两两垂直,故以为原点,分别为轴轴,轴正方向,建立空间直角坐标系,易知平面的一个法向量等于,求出,则易证结论成立;(2)求出平面的一个法向量为,假设线段上存在一点,使得直线与平面所成的角的正弦值等于,设,利用公式求出的值,即可得到结论.20已知椭圆的短轴长为,离心率为为坐标原点.(1)求的方程;(2)过作两条相互垂直的射线,与椭圆分别交于两点,求证:点到直线的距离为定值,并求弦长度的最小值.【答案】(1)由,所以椭圆的方程为.(2)设,当直线的斜率不存在时,有,由得,即点到直线的距离为.当直线的斜率存在时,设直线的方程为,与椭圆的方程联立消去得,所以,即,整理得,所以点到直线的

14、距离为,当且仅当时取“=”,由得,所以,故弦长度的最小值是.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、两条直线的位置关系、点到直线的距离公式,考查了方程思想与计算能力.(1)由短轴长为,离心率为,易求a,b,c的值,即可求得椭圆的标准方程;(2)设,当直线的斜率不存在时,易求结果;当直线的斜率存在时,设直线的方程为,与椭圆的方程联立消去,因为,利用韦达定理,求出一个k,m的关系式,再由点到直线的距离公式即可证明结论;又因为,则易求弦长度的最小值. 21已知函数.()当时，求在处的切线方程；()设函数，若函数有且仅有一个零点时，求的值；在的条件下，若，求的取值范围.【答案】解：()当时，定

15、义域，又在处的切线方程.()令，则即令， 则令，在上是减函数又，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当函数有且今有一个零点时，.()当，若只需证明令得或，又，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增又g()=-3+2，g(e)=2e2-3e【解析】本题主要考查的是利用导数研究曲线上某点的切线方程，零点问题，函数的单调性以及用单调性解不等式等，意在考查考生的分类讨论思想和构造函数的能力.()函数在切点处的导数值是函数的切线斜率，据点斜式求出函数在处的切线方程；()根据零点定义进行判断求值；根据函数的单调性，求解不等式.22如图,已知点在直径的延长线上,切于点,是的平分线,交于

16、点,交于点.(1)求证:;(2)若,求的值.【答案】(1)因为为的切线,所以,又因为是的平分线,所以,所以,即,又因为的直径,所以,所以.(2),而,在中,.【解析】本题主要考查圆的性质、弦切角定理,考查了推理论证能力.(1)由圆的弦切角定理可得,又因为是的平分线,所以,易得,则结论可证明;(2)易证,则有,根据条件可得,则结论易求.23在极坐标系中,直线的极坐标方程为,以极点为原点极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线的参数方程为为参数,且).(1)写出直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;(2)若直线与曲线有两个公共点,求的取值范围.【答案】(1)由直线的极坐标方程得:,即直线的直角坐标方

17、程为:,由曲线的参数方程为参数,且),得:.(2)设曲线上任意一点为,则,直线与曲线有两个公共点,.【解析】本题主要考查参数方程与极坐标.(1)由直线的极坐标方程得:,再由公式可得直线的直角坐标方程;消去参数可得曲线的普通方程;(2)设曲线上任意一点为,代入直线l的一般方程,利用三角函数的性质即可求出的取值范围. 24已知函数,若不等式的解集为.(1)求的值;(2)已知为正数,且,证明:.【答案】(1)由得即,即.(2),等号成立当且仅当,又,成立.【解析】本题主要考查含绝对值不等式的解法、绝对值的三角不等式、基本不等式.(1)去绝对值可得,由题意可得不等式组,求解可得的值;(2)由题意可得,再利用基本不等式可得最小值,利用绝对值的三角不等式可求得的最大值,则结论即可证明.