江苏省扬州市邗江中学2016届高三数学上学期期中模拟试卷含解析.doc

1、2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高三（上）期中数学模拟试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1已知集合A=x|x23x+4，xR，则AZ中元素的个数为_2复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为_3若z=cos+isin（i为虚数单位），则是z2=1的_条件4在约束条件下，则的最小值是_5若将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位得到的图象，则|的最小值为_6若直线y=kx是曲线y=x3x2+x的切线，则k的值为_7在ABC中，B=60，BC边上的高，则BC=_8在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且

2、与直线xy+1=0相切，则圆C的半径为_9在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线y2=2x上的点P到坐标原点O的距离为，则线段PF的长为_10在直角ABC中，C=90，A=30，BC=1，D为斜边AB的中点，则 =_11已知直线x=a（0a）与函数f（x）=sinx和函数g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，若MN=，则线段MN的中点纵坐标为_12已知函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为_13如图，椭圆C：+=1（a2），圆O：x2+y2=a2+4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M

3、，N两点，若|PF1|PF2|=6，则|PM|PN|的值为_14若不等式|ax3lnx|1对任意x（0，1都成立，则实数a取值范围是_二、解答题（共6小题，满分90分）15（16分）已知mR，对p：x1和x2是方程x2ax2=0的两个根，不等式|m5|x1x2|对任意实数a恒成立；q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围16（14分）已知ABC的面积为S，且（1）求tan2A的值；（2）若，求ABC的面积S17（14分）已知a0，函数f（x）=ax3bx（xR）图象上相异两点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1l2（1）判断函数f（x）的

4、奇偶性；并判断A，B是否关于原点对称；（2）若直线l1，l2都与AB垂直，求实数b的取值范围18（14分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC=2，OA=3，单位：百米已知 O EF是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边 EF相切于点 M的直路l（宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点 N现以点 O为坐标原点，以线段 OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边 EF满足函数y=x2+2（）的图象若点 M到y轴距离记为t（1）当时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？19（16分）在平面直角坐标系xoy

5、中，椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，右焦点F（1，0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M（1）求椭圆C的方程；（2）若|PM|PF|=，求点P的横坐标的值；（3）若OPOQ，求点Q的纵坐标t的值20（16分）已知函数，其中a为参数，（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）当x时，求函数f（x）的最小值；（3）函数g（x）是否存在垂直于y轴的切线？请证明你的结论论2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高三（上）期中数学模拟试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1已知集合A=x|x23x+4，xR，则AZ中元素的个数为4【考点

6、】交集及其运算【专题】计算题【分析】解一元二次不等式求出A，再根据交集的定义求出AZ，从而得出结论【解答】解：集合A=x|x23x+4，xR=x|1x4，AZ=0，1，2，3，故AZ中元素的个数为4，故答案为 4【点评】本题主要考查集合的表示方法，一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题2复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为4【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】化简复数为a+bi（a，bR），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值【解答】解：=复数是纯虚数，解得：a=4故答案为：4【点评】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基

7、本概念，是基础题3若z=cos+isin（i为虚数单位），则是z2=1的充分不必要条件【考点】复数的基本概念【专题】数系的扩充和复数【分析】当时，可得z2=1，反之不成立即可判断出【解答】解：当时，z=cos+isin=i，则z2=1，反之不成立例如=（kZ）时，z2=1是z2=1的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点评】本题考查了三角函数求值、复数的运算法则、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4在约束条件下，则的最小值是【考点】简单线性规划【专题】计算题【分析】根据题意先做出可行域，要求的最小值，也就是（1，0）这个点到可行域的最小距离，过这个点向可行域做垂线，垂线的长度

8、就是距离【解答】解：由题意知，需要先画出可行域，要求的最小值，也就是（1，0）这个点到可行域的最小距离，过这个点向可行域做垂线，垂线的长度就是距离d=故答案为：【点评】本题考查线性规划的问题，是一个线性规划的基础题，在解题时注意要求的距离在哪里，这是解题的关键，注意选择出来，有时不是这种特殊的位置5若将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位得到的图象，则|的最小值为4【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题【分析】根据：“左加右减”法则和条件，列出方程，进而由k的取值范围求出|的最小值【解答】解：由题意得到，（kZ）所以=812

9、k，kZ，则k=1时，|min=4，故答案为：4【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换法原则：“左加右减，上加下减”，注意左右平移时必须在x的基础进行加减，这是易错的地方6若直线y=kx是曲线y=x3x2+x的切线，则k的值为1或【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆【分析】设切点为（m，n），求出函数的导数，求得切线的斜率，由已知切线方程可得k，再由切点在曲线上和切线上，满足方程，可得m和k【解答】解：设切点为（m，n），y=x3x2+x的导数为y=3x22x+1，即有切线的斜率为k=3m22m+1，又n=km，n=m3m2+m，解得

10、m=0，k=1或m=，k=故答案为：1或【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，主要考查导数的几何意义，设出切点和正确求导是解题的关键7在ABC中，B=60，BC边上的高，则BC=1或2【考点】相似三角形的性质【专题】选作题；综合法；推理和证明【分析】先求出AB，再在ABC中，由余弦定理可得BC23BC+2=0，即可得出结论【解答】解：B=60，BC边上的高，AB=3在ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC22ABBCcosB，把已知AC=，AB=3，B=60代入可得，7=32+BC223BC，整理可得，BC23BC+2=0，BC=1或2故答案为1或2【点评】本题主要考查了余弦定理在

11、解三角形中的应用，解答本题的关键是求出AB，属于基础试题8在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且与直线xy+1=0相切，则圆C的半径为【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；直线与圆【分析】设出圆心坐标，利用圆C与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且与直线xy+1=0相切，建立方程，即可求得圆C的半径【解答】解：由题意，设圆心坐标为（2，b）（b0），则=，b2+6b7=0b0，b=1圆C的半径为故答案为：【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题9在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线y2=

12、2x上的点P到坐标原点O的距离为，则线段PF的长为【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设P（m2，m），由P到坐标原点O的距离为，列式并解之得m=，得P的坐标为（3，），再根据抛物线方程得它的焦点F坐标为（，0），利用两点的距离公式可以算出线段PF的长【解答】解：抛物线方程为y2=2x，抛物线的焦点为F（，0）设P（m2，m），得P到坐标原点O的距离为|PO|=，解之得m=P的坐标为（3，），得线段PF的长为|PF|=故答案为：【点评】本题给出抛物线上一点到原点的距离，求该点到抛物线焦点的距离，着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题10

13、在直角ABC中，C=90，A=30，BC=1，D为斜边AB的中点，则 =1【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题【分析】根据含有30角的直角三角形的性质，得到AB与CD的长度，求出两个向量的夹角是120，利用向量的数量积公式写出表示式，得到结果【解答】解：C=90，A=30，BC=1，AB=2D为斜边AB的中点，CD=AB=1，CDA=1803030=120=21cos120=1，故答案为：1【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，考查含有30角的直角三角形的性质，是一个基础题11已知直线x=a（0a）与函数f（x）=sinx和函数g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，若MN=，则线

14、段MN的中点纵坐标为【考点】中点坐标公式【专题】三角函数的图像与性质【分析】先画出图象，由题意可得|sinacosa|=，于是sin2a=要求的中点是，将其平方即可得出【解答】解：先画出图象，由题意可得|sinacosa|=，两边平方得1sin2a=，sin2a=设线段MN的中点纵坐标为b0，则b=，=，b=故答案为【点评】本题考查三角函数的图象和性质，数形结合思想是解决问题的关键12已知函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用【分析】利用导数求出求出这两个函数的图象在（0，+）上相切

15、时切点的横坐标为x=，再由题意可得f（）g（），由此求得实数m的取值范围【解答】解：由于函数f（x）和函数g（x）都是偶函数，图象关于y轴对称，故这两个函数在（0，+）上有2个交点当x0时，令 h（x）=f（x）g（x）=2x2+mlnx，则 h（x）=4x令h（x）=0可得x=，故这两个函数的图象在（0，+）上相切时切点的横坐标为x=当x=时，f（x）=+m，g（x）=ln=ln2，函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，应有+mln2，由此可得 mln2，故实数m的取值范围为 ，故答案为 【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，求

16、出这两个函数的图象在（0，+）上相切时切点的横坐标为x=，是解题的关键，属于中档题13如图，椭圆C：+=1（a2），圆O：x2+y2=a2+4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|PF2|=6，则|PM|PN|的值为6【考点】椭圆的简单性质【专题】数形结合；转化思想；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出P的坐标，把P的纵坐标用横坐标表示，然后由焦半径公式及|PF1|PF2|=6，求得P的横纵坐标的平方和，由对称性得到|PM|PN|=a2+4|OM|2=a2+4x02y02，代入横纵坐标的平方和后整理得答案【解答】解：设P（

17、x0，y0），P在椭圆上，+=1，则y02=4（1），|PF1|PF2|=6，（a+ex0）（aex0）=6，e2=，即x02=，由对称性得|PM|PN|=a2+4|OP|2=a2+4x02y02=a2+44+=6故答案为：6【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了焦半径公式的应用，考查了计算能力，是中档题14若不等式|ax3lnx|1对任意x（0，1都成立，则实数a取值范围是【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题【专题】综合题；导数的综合应用【分析】令g（x）=ax3lnx，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值，利用最小值大于等于1，即可确定实数a取值范围【解答

18、】解：显然x=1时，有|a|1，a1或a1令g（x）=ax3lnx，当a1时，对任意x（0，1，g（x）在（0，1上递减，g（x）min=g（1）=a1，此时g（x），函数在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增|g（x）|的最小值为1，解得：实数a取值范围是【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键二、解答题（共6小题，满分90分）15（16分）已知mR，对p：x1和x2是方程x2ax2=0的两个根，不等式|m5|x1x2|对任意实数a恒成立；q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围【

19、考点】命题的真假判断与应用【专题】函数的性质及应用【分析】利用二次方程的韦达定理求出|x1x2|，将不等式恒成立转化为求函数的最值，求出命题p为真命题时m的范围；利用二次方程有两个不等根判别式大于0，求出命题Q为真命题时m的范围；p且q为真转化为两个命题全真，求出m的范围【解答】解：由题设x1+x2=a，x1x2=2，|x1x2|=当a时，的最小值为3要使|m5|x1x2|对任意实数a恒成立，只须|m5|3，即2m8由已知，得f（x）=3x2+2mx+m+=0的判别式=4m212（m+）=4m212m160，得m1或m4综上，要使“p且q”为真命题，只需P真Q真，即 ，解得实数m的取值范围是（

20、4，8【点评】本题考查二次方程的韦达定理、二次方程有根的判断、复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系能及恒成立问题，属于中档题16（14分）已知ABC的面积为S，且（1）求tan2A的值；（2）若，求ABC的面积S【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正切函数【专题】解三角形【分析】（1）由已知和三角形的面积公式可得，进而可得tanA=2，由二倍角的正切公式可得答案；（2）由（1）中的tanA=2，可得sinA，cosA，由两角和的正弦公式可得sinC，结合正弦定理可得边b，代入面积公式可得答案【解答】解：（1）设ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，tanA=2（2），即，

21、tanA=2，解得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=由正弦定理知：，可推得（13分）（14分）【点评】本题考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算；考查运算变形和求解能力17（14分）已知a0，函数f（x）=ax3bx（xR）图象上相异两点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1l2（1）判断函数f（x）的奇偶性；并判断A，B是否关于原点对称；（2）若直线l1，l2都与AB垂直，求实数b的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（1）先由函数的解析式求出函数的定义域，要

22、判断出其定义关于原点对称，进而由函数的解析式，判断出f（x）=f（x），最后由函数奇偶性的定义，得到结论；再设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1x2，利用导数的几何意义得出x1=x2从而得到A，B关于原点对称（2）由（1）知A（x1，y1），B（x1，y1），利用斜率公式及导数的几何意义结合直线l1，l2都与AB垂直，得到方程3t24bt+b2+1=0有非负实根，利用根的判别式即可求出实数b的取值范围【解答】解：（1）f（x）=a（x）3b（x）=（ax3bx）=f（x），f（x）为奇函数设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1x2，又f（x）=3ax2b，f（x）在两个相异点A，B处

23、的切线分别为l1，l2，且l1l2，又x1x2，x1=x2，又f（x）为奇函数，点A，B关于原点对称（2）由（1）知A（x1，y1），B（x1，y1），又f（x）在A处的切线的斜率，直线l1，l2都与AB垂直，令，即方程3t24bt+b2+1=0有非负实根，0b23，又，综上（14分）【点评】本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布；考查换元法考查推理论证能力18（14分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC=2，OA=3，单位：百米已知 O EF是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边 EF相切于点 M的直路l（宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点 N现以

24、点 O为坐标原点，以线段 OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边 EF满足函数y=x2+2（）的图象若点 M到y轴距离记为t（1）当时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法【专题】数学模型法；导数的综合应用【分析】（1）求当 时，代入函数y=x2+2，得M（，），利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（）求出x=t时的抛物线的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析

25、面积函数在（0t2）上的极值，进而得出地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大值【解答】解：（1）把代入函数y=x2+2，得M（，），y=2x，k=，直线方程为y=x+；（2）由（1）知，直线的方程为y=2tx+t2+2，令y=0，x=（t+），令x=0，y=t2+2，（t+）2，t2+23，2t1，sOND=（t+）（t2+2）=（t3+4t+），令g（t）=（t3+4t+），g（t）=，当t=时，g（t）=0，当t（2，）时，g（t）0，当t（，1）时，g（t）0，g（t）g（）=，所以所求面积的最大值为6【点评】利用导数研究函数的单调性；函数模型的选择与应用19（16分）在平面直角

26、坐标系xoy中，椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，右焦点F（1，0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M（1）求椭圆C的方程；（2）若|PM|PF|=，求点P的横坐标的值；（3）若OPOQ，求点Q的纵坐标t的值【考点】椭圆的简单性质【专题】综合题；转化思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意的离心率公式和a，b，c的关系，可得a=2，b=，进而得到椭圆方程；（2）设P（x0，y0），代入椭圆方程，由勾股定理可得|PM|，由焦半径公式可得|PF|，再由已知条件，计算即可得到所求值；（3）讨论当PMx轴或y轴时，求得P的坐标，

27、设Q（，t）或（，t），由向量垂直的条件，计算可得t；当直线PM的斜率存在且不为0，设直线方程为yy0=k（xx0），由直线和圆相切的条件，化简整理，设出Q的坐标，由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理计算即可所求值【解答】解：（1）由题意可得e=，c=1，即有a=2，b=，则椭圆方程为+=1；（2）设P（x0，y0），则+=1（0x02），|PM|=x0，|PF|=aex0=2x0，由|PM|PF|=，可得x0（2x0）=，解得x0=1（3舍去），即点P的横坐标的值为1；（3）当PMx轴或y轴时，P（，），设Q（，t）或（，t），由OPOQ，可得=0，即为3+t=0或3+t=0，解得t=2；

28、当直线PM的斜率存在且不为0，设直线方程为yy0=k（xx0），即为kxy+y0kx0=0，由直线PQ与圆O相切，可得=，即为（kx0y0）2=3+3k2，即2kx0y0=k2x02+y0233k2，令Q（，t），由=0，可得t=，则t2=12，解得t=2综上可得，点Q的纵坐标t的值为2【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查椭圆方程的应用，向量垂直的条件：数量积为0，运算化简的能力，属于中档题20（16分）已知函数，其中a为参数，（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）当x时，求函数f（x）的最小值；（3）函数g（x）是否存在垂直于y

29、轴的切线？请证明你的结论论【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】（1）将a=1代入函数f（x），求出其导数，从而求出函数的单调区间；（2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，进而求出函数的最小值；（3）问题转化为方程有没有解，通过研究左右两个函数的值域，从而得到结论【解答】解：（1）a=1时，定义域为（0，+），令f（x）=0，得 x=1，f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）极小值f（x）的单调递增区间为（1，+），单调递减区间为（0，1）；

30、 （2），x，当a0时，f（x）0，所以f（x）在区间上单调递增，所以，f（x）在区间 上的最小值为f（1）=a1，当a0时，令f（x）=0，则x=a，若ae，则f（x）0对x成立，则f（x）在区间上单调递减，所以，f（x）在区间上的最小值为，若1ae，则有x（1，a）a（a，e）f（x）0+f（x）极小值所以f（x）在区间上的最小值为f（a）=lna，若a1，则f（x）0对x成立，所以f（x）在区间上单调递增，所以，f（x）在区间上的最小值为f（1）=a1，综上得：；（3）即考虑方程g（x）=0有没有解，求导得，令g（x）=0，则，即下面分别研究左右两个函数的值域，由（1）得a=1时f（x）的最小值为f（1）=0，即，令，则，h（x）在（，2）上递增，在（2，+）上递减，h（x）max=h（2）=1，又等号不能同时取到，方程无解，即函数g（x）不存在垂直于y轴的切线【点评】本题考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查转化思想，分类讨论思想，本题计算量较大，有一定的难度