江苏省无锡市2013届高三数学上学期期末考试试题（含解析）苏教版.doc

1、2012-2013学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1（5分）设全集U=R，集合A=x|x22x0，B=x|x1，则集AUB=x|0x1考点：交、并、补集的混合运算专题：不等式的解法及应用分析：由二次不等式的解法，容易解得A，进而可得CUB，对其求交集可得答案解答：解：由不等式的解法，容易解得A=x|0x2，又B=x|x1则CUB=x|x1，于是A（UB）=x|0x1，故答案为：x|0x1点评：本题考查集合间的交、并、补的混合运算，这类题目一般与不等式、方程联系，难度不大，注意正确

2、求解与分析集合间的关系即可2（5分）已知i是虚数单位，则等于i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：直接把给出的复数分子分母同时乘以2i，然后采用多项式乘以多项式整理即可解答：解：=故答案为i点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题3（5分）某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为64考点：分层抽样方法专题：概率与统计分析：先求出每个个体被抽到的概率，再用高二年级的总人数乘以此概率，即得所求解答：解：每个个体被抽到的概率等于 =，高中二年

3、级有320人，故应从高二年级中抽取的人数为 320=64，故答案为 64点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题4（5分）右边的程序语句运行后，输出的S为17考点：伪代码专题：图表型分析：先读懂程序的算法，再据算法规则依次算出结果可以看出这是一个循环结构，依其特点求解即可解答：解：程序是一个循环结构，步长是2，每循环一次S就乘i加3，初始i=1，可循环四次，故S=27+3=17，i=7+2=9输出的结果为S=17故答案为：17点评：考查算法语言的结构，此类题的做法通常是把值代入，根据其运算过程求出值5（5分）在ABC中，A

4、=45，C=105，BC=，则AC的长度为1考点：正弦定理专题：解三角形分析：由A与C的度数，利用三角形内角和定理求出B的度数，再由sinA，sinB及BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长解答：解：A=45，C=105，B=30，BC=，由正弦定理=得：AC=1故答案为：1点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键6（5分）（2005湖北）已知向量不超过5，则k的取值范围是 6，2考点：向量的模分析：根据向量模的计算公式，列出一个关于K不等式，解不等式，即可求出K的取值范围解答：解：56k2故答案为：6，2点评：求常用的方法有：若已知，则=；若已知表示的

5、有向线段的两端点A、B坐标，则=|AB|=构造关于的方程，解方程求7（5分）已知P：|xa|4；q：（x2）（3x）0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为1a6考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：不等式的解法及应用分析：根据题意，由p、q，可得p为xa4或xa+4，q为x2或x3；进而由p是q的充分不必要条件，可得集合x|xa4或aa+4是集合x|x2或x3的真子集，由集合间的包含关系可得答案解答：解：根据题意，P：|xa|4，则p为：|xa|4，解|xa|4可得，xa4或xa+4，则p为：xa4或xa+4，条件q：（x2）（3x）0，则q为：（x2）（3x）0，即x2或x3

6、若p是q的充分不必要条件，则有集合x|xa4或xa+4是集合x|x2或x3的真子集，必有a42，且a+43，解得1a6；故答案为：1a6点评：本题考查充分必要条件的判断及运用，注意充分必要条件与集合间关系的转化8（5分）已知变量x，y满足约束条件，表示平面区域M，若4at时，动直线x+y=a所经过的平面区域M的面积为7则t=2考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：先根据约束条件 及动直线x+y=a所经过的平面区域，分别画出区域，然后求出区域的面积即可解答：解：先画出约束条件 所表示的区域所围成图形是一个三角形OAB，如图，三角形的面积为 44=8，当t=2时，画出当4a2时，动直线x

7、+y=a所经过的平面区域M，图中黄色区域，它的面积为821=7则t=2故答案为：2点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组和围成区域的面积，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题9（5分）（2013南充一模）已知圆C1：（X+1）2+（y1）2=1，圆C2与圆C1关于直线XY1=0对称，则圆C2的方程为（x2）2+（y+2）2=1考点：与直线关于点、直线对称的直线方程专题：计算题；压轴题分析：在圆C2上任取一点（x，y），求出此点关于直线XY1=0的对称点，则此对称点在圆C1上，再把对称点坐标代入圆C1的方程，化简可得圆C2的方程解答：解：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直

8、线XY1=0的对称点（y+1，x1）在圆C1：（X+1）2+（y1）2=1上，有（y+1+1）2+（x11）2=1，即 （x2）2+（y+2）2=1，答案为（x2）2+（y+2）2=1点评：本题考查一曲线关于一直线对称的曲线方程的求法：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线XY1=0的对称点（y+1，x1）在圆C1上10（5分）等差数列an的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列，则a20=30考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得 =a1（a16），解得a1 的值，再由a20=a1+19d，运算求得结果解答：解：等差数列an的公差为2，且a1，

9、a3，a4成等比数列，则由 =a1（a16），解得a1=8a20=a1+19d=838=30，故答案为30点评：本题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的定义，求得a1=8，是解题的关键，属于中档题11（5分）（2011郑州三模）如图，过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为y2=3x考点：抛物线的标准方程专题：计算题；数形结合；待定系数法分析：根据过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定

10、义，可得NCB=30，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而，且，可求得p的值，即求得抛物线的方程解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，NCB=30，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6x=1，而，且，得y2=3x故答案为：y2=3x点评：此题是个中档题考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算12（5分）设函数若f（x）+f（x）是奇函数，则=考点：余弦函数的

11、奇偶性；导数的运算专题：计算题；压轴题分析：对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，根据奇函数的性质可得x=0是函数值为0，代入可求的值解答：解：，则f（x）+f（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f（x），即函数g（x）为奇函数g（0）=02sin（）=00=故答案为：点评：本题主要考查了两角差的正弦公式，函数的求导公式，奇函数的性质：若函数f（x）为R上奇函数，则f（0）=0，属于对基础知识的综合考查，试题较易13（5分）定义一个对应法则f：P（m，n）p（m，2|n|）现有直角坐标平面内的点A（2，6）与点B（6，2），点M是线段AB上的动点，按定义的对应法则f：MM当点M在

12、线段AB上从点A开始运动到点B时，点M的对应点M经过的路线的长度为8考点：函数的对应法则专题：计算题；函数的性质及应用；直线与圆分析：设线段AB交x轴于点C，可得C（4，0）因此分M在线段AC上和在线段CB上两种情况加以讨论，分别得到点M运动而成的路径，得到图中的折线ACB，再由对称的知识即可求出折线ACB的长度，从而得到M经过的路线的长度解答：解：根据题意，线段AB的方程为y=4x，交x轴于点C（4，0）当M（x，y）在线段AC上运动时纵坐标y为正数，可得2|y|=2y因此，根据对应法则f将M的横坐标不变而纵坐标变成原来的2倍，得到点M所以点M的运动路径是图中的AC，其中A（2，12）当M（

13、x，y）在线段CB上运动时纵坐标y为负数，可得2|y|=2y根据对应法则f，将M的横坐标不变而纵坐标变成原来的2倍，得到点M所以点M的运动路径是图中的CB，其中B（6，4）设A1是A关于x轴的对称点，可得A1（2，12），|AC|+|CB|=|A1C|+|CB|=|A1B|=故答案为：点评：本题给出二元对应法则，求点M从A到B的过程中象点M所经过的路线的长度，着重考查了两点的距离公式和函数对应法则的理解等知识，属于中档题14（5分）已知关于x的函数y=（tR）的定义域为D，存在区间a，bD，f（x）的值域也是a，b当t变化时，ba的最大值=考点：函数的定义域及其求法；函数的值域专题：函数的性质

14、及应用分析：由函数的单调性可得a=f（b），且b=f（a），故a、b是方程x2+（t1）x+t2=0的两个同号的实数根由判别式大于0，容易求得t（1，）由韦达定理可得ba=，利用二次函数的性质求得ba的最大值解答：解：关于x的函数y=（1t）+ 的定义域为（，0）（0，+），且函数在（，0）、（0，+）上都是减函数故有a=f（b），且b=f（a），故a、b是方程x2+（t1）x+t2=0的两个同号的实数根由判别式大于0，容易求得t（1，）由韦达定理可得ba=，故当t=时，ba取得最大值为 ，故答案为 点评：本题主要考查求函数的定义域，以及二次函数的性质，求函数的最值，属于中档题二、解答题：（本

15、大题共6小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14分）已知向量，向量，函数（）求f（x）的最小正周期T；（）若方程f（x）t=0在上有解，求实数t的取值范围考点：平面向量数量积的运算；函数的零点与方程根的关系；三角函数的周期性及其求法专题：计算题；函数的性质及应用；平面向量及应用分析：（I）由平面向量数量积的运算公式，结合二倍角的余弦公式和辅助角公式化简得f（x）sin（2x）+1，再结合正弦函数周期公式，即可得到f（x）的最小正周期；（II）根据，可得2x，再结合正弦函数的图象与性质，可得f（x）=sin（2x）+1的值域为，2由此结合方程f（x）t=0有上的解，即可求

16、出实数t的取值范围解答：解：（I），=（sinx+cosx，），可得=sinx（sinx+cosx）+=sin2x+sinxcosx+sin2x=（1cos2x），sinxcosx=sin2xf（x）=（1cos2x）+sin2x+=sin（2x）+1因此，f（x）的最小正周期T=；（II），可得2x，sin（2x），1，得f（x）=sin（2x）+1的值域为，2方程f（x）t=0在上有解，f（x）=t在上有解，可得实数t的取值范围为，2点评：本题给出向量含有三角函数的式的坐标形式，求函数的表达式并依此讨论方程f（x）t=0在上有解的问题，着重考查了平面向量数量积运算公式及其运算性质、三角函数

17、的图象与性质和三角恒等变换等知识，属于中档题16（14分）如图，四棱锥PA BCD中，底面ABCD为菱形，BD面PAC，A C=10，PA=6，cosPCA=，M是PC的中点（）证明PC平面BMD；（）若三棱锥MBCD的体积为14，求菱形ABCD的边长考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：空间位置关系与距离分析：（I）先根据线面垂直的性质证明PCBD，再在PAC中利用余弦定理求出PC的长，从而证出PAMO，进一步得PCMO，最后根据线面垂直的判定定理可得PC平面BMD；（II）由题意知，将三棱锥MBCD的体积转换成三棱锥CBMD的体积，再利用棱锥的体积公式列出等式求出菱形AB

18、CD的对角线的长，从而得出菱形ABCD的边长解答：解：（I）BD面PAC，PC面PAC，PCBD，PAC中，AC=10，PA=6，cosPCA=，PA2=PC2+AC22PCACcosPCA，PC=8，连结MO，M是PC的中点，O是AC的中点，PAMO，PCMO，又BDMO=O，PC平面BMD；（II）由题意知：三棱锥MBCD的体积为14，即VMBCD=VCMBD=SMBDCM=BDMOCM=14，CM=PC=4，MO=PA=3，BD=7，菱形ABCD的边长AB=点评：本题考查证明线面垂直的方法，直线与平面垂直的判定、性质的应用，棱锥的体积等，考查空间想象能力，属于中档题17（14分）要制作一

19、个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h=AB，tanFED=，设AB=x米，BC=y米（）求y关于x的表达式；（）如何设计x，y的长度，才能使所用材料最少？考点：函数解析式的求解及常用方法；基本不等式专题：函数的性质及应用分析：（1）依题意可表示出梯形的高，和底边长，进而可得表示面积，可建立x，y的关系式，化为函数式即可；（2）RTDEH中，可表示出DE，进而可得l=2y+6x=+，由基本不等式可得答案解答：解：（1）如图，等腰梯形EFCD中，DH是高，依题意：DH=AB=x，EH=，=xy+（x+x+）=xy+

20、，y=，x0，y0，解得0x，所求的表达式为：y=，（0x）（2）在RTDEH中，tanFED=，sinFED=，DE=，l=（2x+2y）+2+（2）=2y+6x=+2=26，当且仅当=，即x=3时取等号，此时y=4，AB=3米，BC=4米时，用材料最少点评：本题考查求函数解析的方法，涉及基本不等式的应用，属中档题18（16分）如图，已知椭圆C：=1的离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N（）求椭圆C的方程：（）若SPMN=，求直线AB的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义

21、、性质与方程分析：（）由椭圆的离心率为，椭圆过定点P（2，1）及条件a2=b2+c2联立可求a2，b2，则椭圆的方程可求；（）设出过P点的直线方程，和椭圆方程联立后由根与系数关系求出A的坐标，同理求出B的坐标，由两点式求出过AB直线的斜率，再设出AB的斜截式方程，利用三角形PMN的面积等于就能求出截距，则直线AB的方程可求解答：解：（）由题意：，又P（2，1）在椭圆上，所以联立得：a2=8，b2=2椭圆C的方程为；（）设直线PA的方程为y1=k（x2），代入椭圆方程得：x2+4k（x2）+12=8，整理得：（1+4k2）x28（2k1）x+16k216k4=0方程一根为2，由根与系数关系得，则

22、APA与PB倾斜角互补，kPB=kPA=k则B=设直线AB方程为，即x2y+2m=0，则M（2m，0），N（0，m）（m0），P到直线AB的距离为d=|MN|=解得，或m=（舍）所以所求直线AB的方程为x2y=0点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、面积问题、轨迹问题等突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法属难题19（16分）已知数列an中，a1=2，nN+，an0，数列an的前n项和Sn，且满足（）求Sn的通项公式；（）设bk是Sn中的按从小到大顺

23、序组成的整数数列（1）求b3；（2）存在N（NN+），当nN时，使得在Sn中，数列bk有且只有20项，求N的范围考点：等差数列与等比数列的综合专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（I）根据an+1=Sn+1Sn，代入已知等式并化简整理可得（Sn+11）2（Sn1）2=2，因此数列（Sn1）2构成公差为2的等差数列，其首项为（S11）2=1，结合等差数列的通项公式算出（Sn1）2的表达式，从而求出Sn的通项公式；（II）（1）根据（I）的结论得Sn=1+，找出使为正整数的n值，从而得到当n=1、5、13时S1=2、S5=4、S13=6为Sn的前3个整数项，由此即可得到b3=S13=6；（2）根

24、据整数的整除性理论，可得若Sn=1+N*，必定有=2k1N*由此算出n=2k22k+1，其中k是正整数，进而解出当k=20时，n=761，当k=21时，n=841由此即可推算出：正整数N满足761N841，当nN时，在Sn中数列bk有且只有20项，可得N的范围解答：解：（I）an+1=Sn+1Sn=Sn+1Sn，化简得（Sn+1）2（Sn）22（Sn+1Sn）=2整理，得（Sn+11）2（Sn1）2=2数列（Sn1）2构成首项为（S11）2=1，公差d=2的等差数列因此，（Sn1）2=2n1，可得Sn=1+（II）（1）由（I）的结论，Sn=1+欲使Sn为整数，则必须N*，可得n=（k2+1）

25、（kN*）因此，分别取k=1、3、5，得n=1、5、13，可得S1=2，S5=4，S13=6结合数列bk的定义，可得b1=S1=2，b2=S5=4，b3=S13=6；（2）2n1是一个奇数，若Sn=1+为整数，必定有=2k1，其中k是正整数由此可得2n1=（2k1）2，化简得n=2k22k+1当k=20时，n=2202220+1=761；当k=21时，n=2212221+1=841存在N满足761N841，当nN时，在Sn中数列bk有且只有20项即所求N的取值范围为N|761N841且NN+点评：本题给出数列关于an+1、Sn+1和Sn的式子，求数列Sn的通项公式并依此讨论Sn的整数项的问题着

26、重考查了等差数列、等比的通项公式，数列的前n项和与通项的关系，考查了整数的整除性的理解和二次不等式的解法等知识，属于中档题20（16分）已知函数f（x）=ax2+1，g（x）=x3+bx，其中a0，b0（）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点P（2，c）处有相同的切线（P为切点），求a，b的值；（）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）的单调递减区间为，求：（1）函数h（x）在区间（一，1上的最大值M（a）；（2）若|h（x）|3，在x2，0上恒成立，求a的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题：导数的综合应

27、用分析：（I）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（2，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（II）（1）根据函数h（x）的单调递减区间为得出a2=4b，构建函数h（x）=f（x）+g（x）=x3+ax2+a2x+1，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（，1）上的最大值（2）由（1）知，函数h（x）在（，）单调递增，在（，）单调递减，在（，+）上单调递增，从而得出其极大值、极小值，再根据|h（x）|3，在x2，0上恒成立，建立关于a的不等关系，解得a的取值范围即可解答：解：（I）f（x）=ax2

28、+1（a0），则f（x）=2ax，k1=4a，g（x）=x3+bx，则f（x）=3x2+b，k2=12+b，由（2，c）为公共切点，可得：4a=12+b 又f（2）=4a+1，g（2）=8+2b，4a+1=8+2b，与联立可得：a=，b=5（2）由h（x）=f（x）+g（x）=x3+ax2+bx+1，则h（x）=3x2+2ax+b，因函数h（x）的单调递减区间为，当x时，3x2+2ax+b0恒成立，此时，x=是方程3x2+2ax+b=0的一个根，得3（）2+2a（）+b=0，得a2=4b，h（x）=x3+ax2+a2x+1令h（x）=0，解得：x1=，x2=；a0，列表如下： x （，） （，

29、） （，+ h（x）+ h（x） 极大值 极小值原函数在（，）单调递增，在（，）单调递减，在（，+）上单调递增若1，即a2时，最大值为h（1）=a；若1，即2a6时，最大值为h（）=1若1时，即a6时，最大值为h（）=1综上所述：当a（0，2时，最大值为h（1）=a；当a（2，+）时，最大值为h（）=1（2）由（1）知，函数h（x）在（，）单调递增，在（，）单调递减，在（，+）上单调递增故h（）为极大值，h（）=1；h（）为极小值，h（）=；|h（x）|3，在x2，0上恒成立，又h（0）=1即，解得a的取值范围：42a6点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，

30、解题的关键是正确求出导函数和应用分类讨论的方法三、数学（加试）注意事项：本卷考试时间为30分钟，全卷满分为40分21（10分）如图，AB是圆O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交圆O于点D，DEAC且交AC的延长线于点E求证：DE是圆O的切线考点：圆的切线的性质定理的证明专题：证明题分析：根据OA=OD，得到ODA=OAD，结合AD是BAC的平分线，得到OAD=DAC=ODA，可得ODAE再根据DEAE，得到DEOD，结合圆的切线的判定定理，得到DE是O的切线解答：证明：连接OD，OA=OD，ODA=OADBAC的平分线是ADOAD=DACDAC=ODA，可得ODAE（5分）又DEAE，DE

31、ODOD是O的半径DE是O的切线（10分）点评：本题以角平分线和圆中的垂直线段为载体，通过证明圆的切线，考查了圆的切线的判定定理等知识点，属于中档题22已知，点A在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90，得到点、B若点B的坐标为（3，4），求点A的坐标考点：旋转变换专题：计算题分析：先根据旋转变换写出旋转变换矩阵，从而得出在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90后对应的矩阵再设A（a，b），求A点在此矩阵的作用下变换后的点，代入已知条件即可求得所求点A的坐标解答：解：根据题意知，在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90后对应的矩阵为：=，设A（a，b），则由=，得，即A（2，3）点评：本题主要

32、考查了几种特殊的矩阵变换，矩阵变换是附加题中常考的，属于基础题23已知在极坐标系下，圆C：p=2cos（）与直线l：sin（）=，点M为圆C上的动点求点M到直线l距离的最大值考点：简单曲线的极坐标方程专题：直线与圆分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，把此距离加上半径就等于所求的结果解答：解：圆C：p=2cos（） 即 x2+y2+2y=0，x2+（y+1）2=1，表示圆心为（0，1），半径等于1的圆直线l：sin（）=，即cos+sin2=0，即 x+y2=0，圆心到直线的距离等于 =，故圆上的动点到直线的距离的最大值等于+1点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方

33、法，点到直线的距离公式的应用，当直线和圆相离时，圆上的动点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径24已知|x+1|+|xl|4的解集为M，若a，bM，证明：2|a+b|4+ab|考点：不等式的证明；绝对值不等式专题：不等式的解法及应用分析：将函数写成分段函数，再利用f（x）4，即可求得M；再利用作差法，证明4（a+b）2（4+ab）20，即可得到结论解答：解：f（x）=|x+1|+|x1|=当x1时，由2x4，得2x1；当1x1时，f（x）=24；当x1时，由2x4，得1x2所以M=（2，2）（5分）当a，bM，即2a，b2，4（a+b）2（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）（1

34、6+8ab+a2b2）=（a24）（4b2）0，4（a+b）2（4+ab）2，2|a+b|4+ab|（10分）点评：本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式25（10分）某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往100位顾客办理业务所需的时间（t），结果如下：类别A类B类C类D类顾客数（人）20304010时间t（分钟/人）2346注：银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率（）求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率；（）用X表示

35、至第4分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：（）设Y表示银行工作人员办理业务需要的时间，用频率估计概率得Y的分布列，用A表示事件“银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A有两种情形：办理第一、二位业务所需的时间分别为2、3分钟；办理第一、二位业务所需的时间分别为3、2分钟；故P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2），计算可得；（）由题意可知X的取值为0，1，2，X=0对应办理第一位的业务需时超过4分钟，X=1对应办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业

36、务所需的时间超过分钟，或办理第一位业务所需的时间为3分钟，或办理第一位业务所需的时间为4分钟，X=2对应办理两位顾客业务时间均为2分钟，分别可得其概率，进而可得分布列和数学期望故EX解答：解：（）设Y表示银行工作人员办理业务需要的时间，用频率估计概率得Y的分布列如下： Y2 3 46 P用A表示事件“银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A有两种情形：办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业务所需的时间为3分钟；办理第一位业务所需的时间为3分钟，且办理第二位业务所需的时间为2分钟；P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2）=；（）由题意可知X的取

37、值为0，1，2，X=0对应办理第一位的业务需时超过4分钟，故P（X=0）=P（Y4）=，X=1对应办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业务所需的时间超过分钟，或办理第一位业务所需的时间为3分钟，或办理第一位业务所需的时间为4分钟，故P（X=1）=P（Y=2）P（Y2）+P（Y=3）+P（Y=4）=+=，X=2对应办理两位顾客业务时间均为2分钟，故P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）=，故X的分布列为：X 0 1 2 P故EX=点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及数学期望的求解和频率分布表的应用，属中档题26（10分）已知函数f（x）=x2+1nx（）求函数f（x）在区间1，

38、e上的最大值、最小值；（）设g（x）=f（x），求证：g（x）ng（xn）2n2（nN+）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；不等式的证明专题：综合题；导数的综合应用分析：（）利用导数可判断f（x）区间1，e上的单调性，由单调性可得函数的最值；（）当n=1时易证明；当n2时，对不等式左边运用二项式定理展开，再用基本不等式即可证明；解答：解：（）由已知得f（x）=x+，当x1，e时，f（x）0，所以函数f（x）在区间1，e上单调递增，所以函数f（x）在区间1，e上的最大、最小值分别为f（1）、f（e），因为f（1）=，f（e）=，所以函数f（x）在区间1，e上的最大值为，最小值为；（）当n=1时，不等式成立，当n2时，g（x）ng（xn）=，由已知x0，所以：g（x）ng（xn）点评：本题考查导数求函数在闭区间上的最值、二项式定理、基本不等式等，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力