江苏省无锡市江阴市华士、成化、山观三校联考2015-2016学年高二下学期期中数学试卷（理科） WORD版含解析.doc

1、2015-2016学年江苏省无锡市江阴市华士、成化、山观三校联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案直接填在答题卡相应位置上1复数z=（32i）i的共轭复数等于2已知A11m=111065，则m=3若虚数z=（a1）+ai（aR）的模为1，则a=4用数学归纳法证明“2nn2+1对于nn0的自然数都成立”时，第一步中的值n0应取5从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有种6若实数x满足C18x=C183x6，则x的取值集合为7半径为r的圆的面积S（r）r2，周长C（r）=2r，若将r看作

2、（0，+）上的变量，则（r2）=2r；对于半径为R的球，若将R看作（0，+）上的变量，请你写出类似于上述的式子：8甲、乙、丙、丁四人站成一排，甲不站在排尾的站法共有种（用数字作答）9在复平面上，复数32i、4+5i、2+i、z分别对应点A、B、C、D，且ABCD为平行四边形，则z=10由数字1，3，4，6，x（1x9，xN*）五个数字组成没有重复数字的五位数，所有这些五位数各位数字之和为2640，则x=11甲、乙、丙三人要在一排9个空座上就坐，若要求甲、乙、丙三人每人的两旁都空座，则不同的坐法共有种（用数字作答）12观察下列等式：cos2=2cos21；cos4=8cos48cos2+1；co

3、s6=32cos648cos4+18cos21；cos8=128cos8256cos6+160cos432cos2+1；cos10=mcos101280cos8+1120cos6+ncos4+pcos21；可以推测，mn+p=13某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有种（用数字作答）14从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0mn，m，nN），有Cn+1m种取法在这Cn+1m种取法中，可分两类：一类是取出的m个球全部为白球，有C1

4、0Cnm种取法；另一类是取出1个黑球、m1个白球，有C11Cnm1种取法，所以有式子：C10Cnm+C11Cnm1=Cn+1m成立根据上述思想方法化简下列式子：Cnm+Ck1Cnm1+Ck2Cnm2+Ckk1Cnmk+1+Cnmk=（1kmn，k，m，nN）二、解答题（本大题共有6小题，满分90分需写出文字说明、推理过程或演算步骤）15已知复数z=b2i（b为实数），且是实数（1）求复数z；（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第四象限，试求实数a的取值范围16用n（nN*）种不同颜色给如图的4个区域涂色，要求相邻区域不能用同一种颜色（1）当n=6时，图（1）、图（2）各有多少种涂色方

5、案？（要求：列式或简述理由，结果用数字作答）；（2）若图（3）有180种涂色法，求n的值17将5个编号为1，2，3，4，5的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子中（1）有多少种放法？（2）每盒至多一球，有多少种放法？（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？（4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种方法？（5）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？（6）把5个不同的小球换成5个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？（注意：以上各小题要列出算式后再求值，否则扣分）18已知实数a0，b0（1）若a+b2，求证：中至少有

6、一个小于2；（2）若ab=2，求证：a3+b8；（3）若a2b2=2，求证：a（3a2b）4+619已知an=2n，f（n）=，g（n）=（nN*）（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明20杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律在杨辉三角中，第0行的数1记为C00，第n行从左到右的n+1个数分别记为Cn0，Cn1，Cn2，Cni，Cnn如图是一个11阶杨辉三角：（1）求第15行中从左到右的第3个数；（2）试探究在杨辉三

7、角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，并 证明你的结论；（3）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35，我们发现1+3+6+10+15=35，事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数试用含有m，k（m，kN*）的数学式子表示上述结论，并证明2015-2016学年江苏省无锡市江阴市华士、成化、山观三校联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案直接填在答题卡相应位置上1复数z=（32i）i的共轭复数等于23i【考

8、点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：z=（32i）i=3i+2的共轭复数=23i，故答案为：23i2已知A11m=111065，则m=7【考点】排列及排列数公式【分析】据排列数公式对m列出方程，求出m的值【解答】解：根据排列的公式可得：11m+1=5解得m=7故答案为73若虚数z=（a1）+ai（aR）的模为1，则a=1【考点】复数求模【分析】利用复数模的计算公式、虚数的定义即可得出【解答】解：虚数z=（a1）+ai（aR）的模为1，=1，a0，化为a2a=0，解得a=1故答案为：14用数学归纳法证明“2nn2+1对于nn0的自然数都成立”时

9、，第一步中的值n0应取5【考点】数学归纳法【分析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n=1，2，3，4，5时，命题是否成立；可得答案【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=12+1=2，2nn2+1不成立，n=2时，左=22=4，右=22+1=5，2nn2+1不成立，n=3时，左=23=8，右=32+1=10，2nn2+1不成立，n=4时，左=24=16，右=42+1=17，2nn2+1不成立，n=5时，左=25=32，右=52+1=26，2nn2+1成立，因为n5成立，所以2nn2+1恒成立故答案为：55从

10、4台甲型和5台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有70种【考点】组合及组合数公式【分析】任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法，一是甲型电视机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数【解答】解：甲型电视机2台和乙型电视机1台，取法有C42C51=30种；甲型电视机1台和乙型电视机2台，取法有C41C52=40种；共有30+40=70种故答案为：706若实数x满足C18x=C183x6，则x的取值集合为3，6【考点】组合及组合数公式【分析】根据组合数公式，结合题意，列出方

11、程x=3x6或x+（3x6）=18，解方程即可【解答】解：实数x满足C18x=C183x6，x=3x6或x+（3x6）=18，解x=3或x=6；x的取值集合为3，6故答案为：3，67半径为r的圆的面积S（r）r2，周长C（r）=2r，若将r看作（0，+）上的变量，则（r2）=2r；对于半径为R的球，若将R看作（0，+）上的变量，请你写出类似于上述的式子：【考点】类比推理【分析】圆的面积函数的导数等于圆的周长函数，类比得到球的体积函数的导数等于球的表面积函数，由二维空间推广到三维空间【解答】解：V球=，S球=4R2，所以故答案为：8甲、乙、丙、丁四人站成一排，甲不站在排尾的站法共有18种（用数字

12、作答）【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】先从其余的3个人中选一个安排在排尾，有3种方法，其余的人任意排在其余的3个位上，方法有种，再根据分步计数原理求得结果【解答】解：甲、乙、丙、丁四人站成一排，甲不站在排尾，则先从其余的3个人中选一个安排在排尾，有3种方法，其余的人任意排在其余的3个位上，方法有=6种根据分步计数原理，甲不站在排尾的站法共有36=18种，故答案为 189在复平面上，复数32i、4+5i、2+i、z分别对应点A、B、C、D，且ABCD为平行四边形，则z=36i【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】设D（x，y），由题意可得：，利用向量相等解出即可得出【解答】解：设D

13、（x，y），由题意可得：，（3+4，25）=（x2，y1），x2=1，y1=7，解得x=3，y=6则z=36i故答案为：36i10由数字1，3，4，6，x（1x9，xN*）五个数字组成没有重复数字的五位数，所有这些五位数各位数字之和为2640，则x=8【考点】计数原理的应用【分析】根据题意，按x是否为0分2种情况讨论：（1）x=0（2）x0，每种情况下先求出5个数字可以组成五位数的个数，进而表示出这些五位数各位上的数字之和，求出x的值，即可得答案【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：（1）若x=0，这5个数字为1、3、4、6、0，可以组成4A44=96个没有重复数字的五位数，则1、3、4、6、

14、0中每个数字均出现96次，所有这些五位数各位上的数字之和为96（1+3+4+6）=13442640，故x=0不符合题意；（2）若x0，这5个数字可以组成A55=120个没有重复数字的五位数，则1、3、4、6、x中每个数字均出现120次，又由所有这些五位数各位上的数字之和为2640，则有120（1+3+4+6+x）=2640，解可得x=8；综合可得x=8；故答案为：811甲、乙、丙三人要在一排9个空座上就坐，若要求甲、乙、丙三人每人的两旁都空座，则不同的坐法共有60种（用数字作答）【考点】计数原理的应用【分析】一排共有9个座位，现有3人就座，故有6个空位，由于要求每人左右均有空位，故在6个空位，

15、中间5个空档中插入3个座位让3人就座，即可得到结论【解答】解：一排共有9个座位，现有3人就座，故有6个空位要求每人左右均有空位，在6个空位，中间5个空档中插入3个座位让3人就座，即A53=60种故答案为：6012观察下列等式：cos2=2cos21；cos4=8cos48cos2+1；cos6=32cos648cos4+18cos21；cos8=128cos8256cos6+160cos432cos2+1；cos10=mcos101280cos8+1120cos6+ncos4+pcos21；可以推测，mn+p=962【考点】类比推理【分析】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推

16、理能力等观察等式左边的的系数，等式右边m，n，p的变化趋势，我们不难归纳出三个数的变化规律，进而得到结论【解答】解：因为2=21，8=23，32=25，128=27所以m=29=512；每一行倒数第二项正负交替出现，12，24，36，48，510，可推算出p=50，然后根据每行的系数和都为1，可得n=400所以mn+p=962故答案为：96213某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有18种（用数字作答）【考点】计数原理的应用【分析】根据红包的性质进行分类

17、，若甲乙抢的是一个2和一个3元的，若两个和2元或两个3元，根据分类计数原理可得【解答】解：若甲乙抢的是一个2和一个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A32=12种，若甲乙抢的是两个和2元或两个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C32=6种，根据分类计数原理可得，共有12+6=18种，故答案为：1814从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0mn，m，nN），有Cn+1m种取法在这Cn+1m种取法中，可分两类：一类是取出的m个球全部为白球，有C10Cnm种取法；另一类是取出1个黑球、m1个白球，有C11Cnm1种取法，所以有

18、式子：C10Cnm+C11Cnm1=Cn+1m成立根据上述思想方法化简下列式子：Cnm+Ck1Cnm1+Ck2Cnm2+Ckk1Cnmk+1+Cnmk=（1kmn，k，m，nN）【考点】组合及组合数公式【分析】g根据题意，在Cnm+Ck1Cnm1+Ck2Cnm2+Ckk1Cnmk+1+中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，再根据排列组合公式，即可得出答案【解答】解：在Cnm+Ck1Cnm1+Ck2Cnm2+Ckk1Cnmk+1+中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故从装

19、有n+k个球中取出m个球的不同取法数故答案为：二、解答题（本大题共有6小题，满分90分需写出文字说明、推理过程或演算步骤）15已知复数z=b2i（b为实数），且是实数（1）求复数z；（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第四象限，试求实数a的取值范围【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】（1）把z=b2i（b为实数），代入，利用复数代数形式的乘除运算化简后由虚部等于0求得b的值，则z可求；（2）直接展开乘方运算，然后由实部大于0且虚部小于0求解实数a的取值范围【解答】解：（1）z=b2i，由=为实数，则b=4z=42i；（2）（z+ai）2=（42i+ai

20、）2=16（a2）2+8（a2）i在复平面上对应的点在第四象限，解得2a2实数a的取值范围是（2，2）16用n（nN*）种不同颜色给如图的4个区域涂色，要求相邻区域不能用同一种颜色（1）当n=6时，图（1）、图（2）各有多少种涂色方案？（要求：列式或简述理由，结果用数字作答）；（2）若图（3）有180种涂色法，求n的值【考点】计数原理的应用【分析】（1）如图（1）据题意，分四个步骤来完成，由乘法原理计算可得答案图（2）分两类，若A，C相同，若A，C不同，根据分类计数原理可得（2）A有n种方法，B有n1种方法，C有n2种方法，D有n2种方法，共有涂色方法n（n1）（n2）（n2）=180，计算可

21、得答案【解答】解：（1）当n=6时，图（1）A有6种方法，B有5种方法，C有4种方法，D有5种方法，共有涂色方法6545=600种图（2）若A，C相同，则A有6种方法，B有5种方法，D有4种方法，共有654=120种若A，C不同，则A有6种方法，B有5种方法，C有4种方法，D有3种方法，共有6543=360种共有涂色方法120+360=480种（2）A有n种方法，B有n1种方法，C有n2种方法，D有n2种方法，共有涂色方法n（n1）（n2）（n2）种 由n（n1）（n2）（n2）=180解得n=517将5个编号为1，2，3，4，5的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子中（1）有多少种放法

22、？（2）每盒至多一球，有多少种放法？（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？（4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种方法？（5）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？（6）把5个不同的小球换成5个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？（注意：以上各小题要列出算式后再求值，否则扣分）【考点】计数原理的应用【分析】（1）本题要求把小球全部放入盒子，1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法余下的2、3、4号小球也各有4种放法，根据分步计数原理得到结果（2）每盒至多一球，有A55=120种（3）恰有一个空盒，则这4个盒子中只

23、有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2先从4个小球中任选2个放在一起，与其他两个球看成三个元素，在三个位置排列（4）先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有C51=5种情况，例如：5号球放在5号盒子里，利用列举法得得其余四个球的放法为的放法，由分步计数原理计算可得答案；（5）先求不合要求的放法：恰有一球相同的放法，五个球的编号与盒子编号全不同的放法；（6）恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，则有一个盒子里有2个小球，问题得以解决【解答】解：（1）本题要求把小球全部放入盒子，1号小球可放入任意一个盒子内，有5种放法同理，2、3、4，5号小球也各有5种放法，共有55=3125种

24、放法（2）每盒至多一球，有A55=120种，（3）恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、，1，2先从5个小球中任选2个放在一起，有C25种方法，然后与其余3个小球看成四组，分别放入5个盒子中的4个盒子中，有A45种放法由分步计数原理知共有C25A45=1200种不同的放法（4）先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有C51=5种情况，例如：5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为（2，1，4，3），（2，3，4，1），（2，4，1，3），（3，1，4，2），（3，4，1，2），（3，4，2，1），（4，1，2，3），（4，3，1，2），（4，3，2，1）共9种

25、，故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为9C51=45种，（5）不满足条件的情形：第一类，恰有一球相同的放法：C519=45，第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法：5!（+）=44，满足条件的放法数为：A55C5195!（+）=1204544=31种（6）恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，则有一个盒子里有2个小球，故有C51=5种放法18已知实数a0，b0（1）若a+b2，求证：中至少有一个小于2；（2）若ab=2，求证：a3+b8；（3）若a2b2=2，求证：a（3a2b）4+6【考点】反证法

26、与放缩法；不等式的证明【分析】（1）本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，即证明不可能都不小于2，假设都不小于2，则2，2得出2a+b，这与已知a+b2相矛盾，故假设不成立，以此来证明结论成立（2）利用作差法，即可证明；（3）利用分析法证明即可【解答】证明：（1）假设都不小于2，则2，2因为a0，b0，所以1+b2a，1+a2b，1+1+a+b2（a+b）即2a+b，这与已知a+b2相矛盾，故假设不成立综上，中至少有一个小于2；（2）ab=2，b=a2，b0，a2，a3+b8=a38+a2=（a2）（a2+2a+5）0，a3+b8；（3）要证明：a（3a2b

27、）4+6，就是证明：3a22ab4+6a2b2=2，就是证明：3b242ab就是证明：（3b24）24a2b2就是证明：5b4（24+8）b2+320设b2=t，则=（24+8）26400，不等式成立，a（3a2b）4+619已知an=2n，f（n）=，g（n）=（nN*）（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明【考点】数列递推式【分析】（1）由an=2n，可得：f（n）=，g（n）=（nN*）当n=1时，f（1）=，g（1）=，因此f（1）g（1）；同理可得：f（2）g（2）；f（3）g（3）（2）猜想f（n）g（n）利

28、用数学归纳法证明即可得出【解答】解：（1）an=2n，f（n）=，g（n）=（nN*）当n=1时，f（1）=，g（1）=，因此f（1）g（1）；同理可得：当n=2时，f（2）=，g（2）=，因此f（2）g（2）；f（3）g（3）（2）猜想f（n）g（n）下面利用数学归纳法证明：当n=1时，成立；假设当n=kN*时，f（k）g（k）则当n=k+1时，f（k+1）=f（k），下面证明：，4k2+12k+94k2+12k+8，（2k+3）24（k+1）（k+2），因此当n=k+1时，f（k+1）g（k+1）成立，综上可得：命题对于nN*，f（n）g（n）20杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育

29、家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律在杨辉三角中，第0行的数1记为C00，第n行从左到右的n+1个数分别记为Cn0，Cn1，Cn2，Cni，Cnn如图是一个11阶杨辉三角：（1）求第15行中从左到右的第3个数；（2）试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，并 证明你的结论；（3）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35，我们发现1+3+6+10+15=35，事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数试用含有

30、m，k（m，kN*）的数学式子表示上述结论，并证明【考点】进行简单的合情推理【分析】（1）根据数阵中数的排列规律，可得第n行的从左到右第m+1个数为Cnm，（nN，mN且mn），由此即可算出第15行中从左到右的第3个数的大小；（2）假设在杨辉三角形的某一行能出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，由此列两个关于n和r的方程组，能够解出对应的n和r的值，说明假设成立；（3）根据题意，所求结论可表示为Cm1m1+Cmm1+Cm+k2m1=Cm+k1m（m、kN*且km）再由组合数的性质：Cmm+Cmm1=Cm+1m，代入等式的左边进行化简整理，即可得到该等式成【解答】解：（1）由题意，得第n行的

31、从左到右第m+1个数Cnm，（nN，mN且mn），第15行中从左到右的第3个数C152=105；（2）假设在杨辉三角形的一行能出现三个相邻的数，使得它们的比为3：4：5，则不妨设这三个数为Cnr1，Cnr，Cnr+1Cnr1：Cnr：Cnr+1=3：4：5解得r=27，n=62故在杨辉三角形的第62行出现三个相邻的数，使得它们的比为3：4：5（3）用公式表示为：Cm1m1+Cmm1+Cm+k2m1=Cm+k1m（m、kN*且km）证明：左式=Cm1m1+Cmm1+Cm+k2m1=Cmm+Cmm1+Cm+k2m1=Cm+1m+Cm+1m1+Cm+k2m1=Cm+k2m+Cm+k2m1=Cm+k1m=右式即等式Cm1m1+Cmm1+Cm+k2m1=Cm+k1m（m、kN*且km）成立2016年5月19日