不等式问题常见错误剖析（数学）.doc

1、不等式问题常见错误剖析不等式是中学数学的重要内容之一，它可以渗透到中学数学的很多章节，是解决其它数学问题的有利工具，再加上它在实际问题中的广泛应用，决定了它是常考不衰的高考热点问题，但在处理不等式问题时，学生往往会忽视一些问题，导致解题错误。下面就结合实例对不等式问题常见的错误进行剖析。例1、 已知，求，的范围。【错解】，； ； 。【剖析】在运用不等式性质时忽视了性质成立的必要条件。另外，同向不等式相加，不等号方向不变，相减、相除则行不通。【正解】，而，又且，。例2、 已知，为正实数，且，求的最小值。【错解】，或（舍去），。【剖析】上述方法在求解过程中两次应用了基本不等式，第一次等号成立需，即

2、，而第二次等号成立需，即两次等号不能同时成立，所以无法取到最小值。【正解】由得，当且仅当即，时，取得最小值18。例3、 求函数的最小值。【错解】，此函数的最小值为2。【剖析】此题再进一步处理可发现，取得最值的条件应是，即，事实上不存在这样的实数满足等式，即2不是此函数的最小值。【正解】令，则，（），此时利用函数的单调性求解，在时为增函数，当时，即时，函数取得最小值。例4、 解不等式 （）。【错解】移项通分，得，它同解于不等式 ，当，即或时， 当，即时，当，即时，综上，当或时，当时，当时，。【剖析】显然，当时，原不等式恒成立，故上述结论有误。仔细审查可以发现，由式推不出式，原因是的值可正也可负，

3、当时可得到，当时得到的应该是，因此，正确的求法，不仅要对和2的大小进行讨论，还需要对是正还是负进行讨论，另外还不能忘掉的情况。故本题对实数进行讨论时，需要考虑到上述三个方面。【正解】同上得不等式，（1） 当，即时，上式可变为，原不等式的解集为；（2） 当，即时，关于的方程的两根为，当，即或时， 当，即时，当，即时，综上，当，即时，原不等式的解集为； 当，即时， 若时，原不等式的解集为，若时，原不等式的解集为，若时，原不等式的解集为。例5、 设正整数，满足条件，求的最大值。【错解】画出线性约束条件下的可行域：xyo3x+2y=10x+4y=11A由解得，。【剖析】出错的原因是忽视了条件，是正整数。【正解】，可知适合条件的正整数，只有以下几组：，逐项代入，可知当，时，。