湖北省孝感高中2014届高三数学5月摸底考试试题 理（含解析）新人教A版.doc

1、湖北省孝感高级中学2014届高三五月模底考试【试卷综析】符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，体现了稳中求进的精神。考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、排列组合、概率、复数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，总之本次考前模拟训练数学试题遵照高考考试大纲和考试大纲说明的要求，从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中.数学理试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数z在复平面内对应点位于（ ） A.第一象限 B.第

2、二象限 C.第三象限 D.第四象限【知识点】复数；分母实数化.【答案解析】B解析：解：在复平面内对应的点位于第二象限.【思路点拨】可以对z分母实数化，找出复数的坐标，确定所在的象限.2.如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合若x，yR，Ax|y，By|y3x，x0，则A*B为( ) A.x|0x2 B.x|1x2 C.x|0x1或x2 D.x|0x1或x2【知识点】新定义问题；集合的交集与并集.【答案解析】D解析：解：表示A与B的并集减去A与B的交集，【思路点拨】可先理解新定义的含义，再分别求出A与B的并集与交集即可.3.设是奇函数，则使的的取值范围是（ ）A. B

3、. 、 C. D.【知识点】奇函数的定义；对数函数的单调性.【答案解析】A解析：解：由此式恒成立，可得，则.【思路点拨】首先由奇函数的定义，得到的解析式的关系式，求出a，然后利用对数函数的单调性解之.4某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在060分钟内的学生的频率是（ ） A.680 B.320 C.0.68 D.0.32【知识点】程序框图和分层抽样；考查转化思想【答案解析】D解析：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知

4、：该程序的作用是统计1000名中学生中，平均每天做作业的时间不在060分钟内的学生的人数由输出结果为680则平均每天做作业的时间在060分钟内的学生的人数为1000-680=320故平均每天做作业的时间在060分钟内的学生的频率故答案为：0.32【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是统计1000名中学生中，平均每天做作业的时间在060分钟内的学生的人数5已知数列满足，则该数列的前18项和为（ ） A.2101 B.2012 C.1012 D.1067 【知识点】等差数列；等比数列.【答案解析】D解析：解；由题意可求奇数项为公差为1，首项为1的等

5、差数列，共有9项，偶数项偶数项为2为首项，2为公比的等比数列，共有9项，【思路点拨】可根据题意找出数列的特点，奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，最后求值.6.的外接圆圆心为,半径为2，,且,方向上的投影为（ ） A. B. C. D.【知识点】向量的加法法则、向量数量积的运算性质和向量在几何中的应用.【答案解析】C解析：解：即可得四边形OBAC是平行四边形，ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，得四边形OBAC是边长为2的菱形，且ABO=AC0=60，因此，向量在方向上的投影为：【思路点拨】即可得四边形OBAC是平行四边形，ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，得四边形OBAC是边长为2的菱形，

6、且ABO=AC0=60，因此，可求投影.7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A. B. C. D.【知识点】三视图与几何体的关系；表面积的求法；空间想象能力计算能力.【答案解析】B解析：解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+【思路点拨】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可8.A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距海里

7、的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要的时间为（ ）小时 A.1 B.2 C. D.【知识点】正弦定理与余弦定理【答案解析】A解析：解：由题意知AB=海里，DBA=90-60=30，DAB=45，ADB=105，在DAB中，由正弦定理得又DBC=DBA+ABC=30+（90-60）=60，BC=海里，在DBC中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC=900，CD=30（海里），则需要的时间t=1（小时）【思路点拨】由正弦定理可求DB的长，余弦定理可求CD的长，最后可求时间.9已知直线被双曲线的两条渐近线所截得线段的长度恰好等于其一个焦

8、点到渐近线的距离,则此双曲线的离心率为（） A. B. C.2 D.3【知识点】双曲线的标准方程；点到直线的距离公式以及双曲线的简单性质的应用.【答案解析】C解析：解：由题意得，渐近线方程为，bxay=0，由得，渐近线截直线所得线段的一个交点为它的两条渐近线截直线所得线段的长度为双曲线的一个焦点（c，0）到渐近线 bx-ay=0的距离 【思路点拨】求出两条渐近线截直线所得线段的长度，再求出双曲线的一个焦点到渐近线的距离，利用等量关系建立方程，求出离心率的值.10.设函数满足，则当时，（ ） A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既无极大值，也无极小值 D.既有极大值，又有极小值【

9、知识点】导数；极值点；导数与函数的取值问题.【答案解析】D解析：解令g（x）=0，则x=2，x（0，2）时，g（x）0，函数单调递减，x（2，+）时，g（x）0，函数单调递增g（x）在x=2时取得最小值，g（x）g（2）=0即x0时，f（x）单调递增f（x）既无极大值也无极小值【思路点拨】先利用导数的运算法则，确定f（x）的解析式，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论.二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分(一) 必考题（1114题）11.若在R上可导,则_.【知识点】导数；微积分.【

10、答案解析】-18解析：解：【思路点拨】可先求出，列出的式子，再找出原函数，即可求出积分.12.已知是直角三角形的概率是 .【知识点】向量的模长；概率.【答案解析】解析：解：，又为整数，则若为直角三角形，则当A为直角时即，当B为直角时即k=-1或k=3,又不可能为直角，所以为直角三角形的概率为【思路点拨】依题意可求出k的取值，再根据已知条件求出直角三角形的情况.13.如图, 甲、乙、丙中的四边形ABCD都是边长为2的正方形, 其中甲、乙两图中阴影部分分别以AB的中点、B点为顶点且开口向上的抛物线(皆过D点)下方的部分, 丙图中阴影部分是以C为圆心、半径为2的圆弧下方的部分. 三只麻雀分别落在这三

11、块正方形木板上休息, 且它们落在所在木板的任何地方是等可能的, 若麻雀落在甲、乙、丙三块木板上阴影部分的概率分别是, 则的大小关系是 .【知识点】概率；微积分.【答案解析】解析：解：在甲图中可以AB为x轴以AB的中心为原点建立直角坐标系，设可得k=2, 所以甲的阴影面积可得，四边形ABCD的面积为所以，在乙图中以AB为x轴以BC为y轴建立坐标系，设函数为可得k=所以阴影的面积为，四边形的面积仍为4，所以，在丙图中阴影的面积等于四边形的面积减去圆的面积，S=，所以，所以【思路点拨】本题可依据图形建立直角坐标系，利用积分来求阴影部分的面积，最后求出概率比较大小.14.把正整数数列中的数按如下规律排

12、成三角形数阵：设 是位于这个三角形数表中从上往下数第行，从左往 右数第个数（如）。若，则.【知识点】数列的应用、数列的性质和应用【答案解析】70解析：解：由题意可知，第一行有一个数，第二行有两个数，第三地有三个数，第62行有62个数，第63行有63个数，（1+2+3+62）+（63-7）=故m+n=63+7=70故答案为：70【思路点拨】可依据数列的运算进行求值.(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B铅笔涂黑如果全选，则计零分）15.如图,和分别与圆相切于点,经过圆心,且, . 【知识点】圆的性质；三角函数.【答案解析】解析

13、：解：由题意可知BD与BC相等，【思路点拨】可在直角三角形内求出角B，然后利用三角函数值求出，最后可计算AB的长，求出AD的值.16.已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点处的切线为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则的极坐标方程为 .【知识点】圆的参数方程与标准方程；直线的一般方程与参数方程.【答案解析】解析：解：两边平方相加得曲线C是以（0，0）为圆心，半径等于的圆C在点（1，1）处的切线l的方程为x+y=2，令代入x+y=2，并整理得【思路点拨】由题意可求圆的标准方程，再求切线方程，把直线方程转化成参数方程即可.三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明

14、，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分） 已知向量 ()当时，求的值； ()设函数，已知在 ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若 ,求 （）的取值范围【知识点】向量的运算；正弦定理；三角函数的诱导公式.【答案解析】（2）解析：解：（1） （2）+由正弦定理得或 因为，所以 ,所以 【思路点拨】（1）按向量的数量积运算求出，代入所求算式.（2）利用正弦定理求出角A，代入函数化简求取值范围.【典型总结】(1)对于三角求值问题的规律是把角向统一的角转化，注意降次或升次问题 ；（2）三角求值，求单调性，求周期等问题，要把式子转化成一个三角函数的形式，再按角的范围求值.18.（本小题满分12分）

15、 已知数列满足，其中 ()设，求证是等比数列，并求的通项公式； ()求证：对任意的，能被64整除.【知识点】等比数列；数学归纳法：整除问题.【答案解析】(1)略（2）略解析：解：（1）又又是以27为首项，3为公比的等比数列，（2） 证明：方法一：二项式定理能被64整除。方法二：数学归纳法则：都能被64整除能被64整除，即时命题也成立综上可得：对任意的能被64整除【思路点拨】根据递推关系找出等比关系，可通过求出，证明整除就是转化成64的被数形式.19.（本小题满分12分） 如图，在直棱柱 ()证明：； ()求直线所成角的正弦值.【知识点】线面垂直；线线垂直；空间坐标系；二面角.【答案解析】(1)

16、略(2) 直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为解析：解： (1)易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为ACBD，所以t2300.解得或(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即ACB1D(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面ACD1

17、的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为【思路点拨】（1）利用空间坐标系找到两条直线的向量，数量积为零则相互垂直.(2)求二面角是利用两个平面的法向量的关系找到二面角的关系即可求值.20.（本小题满分12分） 某医疗设备每台的销售利润与该设备的无故障使用时间Q(单位：年)有关，若Q1,则销售利润为0元；若13,则销售利润为20万元.已知每台该种设备的无故障使用时间Q1,13这三种情况发生的概率分别为p1,p2,p3,又知p1,p2是方程25x2-15x+a=0的两个根，且p2=p3. ()

18、求a的值； ()记两台这种设备的销售利润之和为，求的分布列和期望.【知识点】概率；随机变量的数学期望；分布列.【答案解析】(1)a= (2) 随机变量的分布列为:010203040PE()= 解析：解： (1)由已知得p1+p2+p3=1,p2=p3,p1+2p2=1. p1,p2是方程25x2-15x+a=0的两个根， (2)的可能取值为0,10,20,30,40. P(=0)= P(=10)=,P(=20)= P(=30)=P(=40)= 随机变量的分布列为:010203040PE()= 【思路点拨】（1）根据概率和为1这个关系，解二次方程求a.分别求出可取的值，求出相应的概率可列分布列及

19、数学期望.21（本小题满分13分） 已知椭圆的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4 ()求椭圆的方程； ()已知直线与椭圆交于、两点，试问，是否存在轴上的点，使得对任意的，为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【知识点】椭圆的方程；韦达定理；向量；直线与椭圆的关系.【答案解析】(1)设椭圆的短半椭圆方程为(2) 存在点使得为定值.解析：解：设椭圆的短半轴为，半焦距为，则，由得，由解得,则椭圆方程为. （2）由得 设由韦达定理得：=， 当，即时，为定值，所以，存在点使得为定值 【思路点拨】（1）根据题意找出椭圆中各几何量的关系，求出值可列出方程.(2)按直线与曲线的位置关系联立方程，利用韦达定理可求出k的表达式，利用向量的数量积建立关系式，代入即可求出值.22.（本小题满分14分） 设函数 ()求的最大值； ()证明：当时，； ()证明：当，且,时，.【知识点】导数；导数与函数的单调性；柯西不等式.【答案解析】(1)略(2)略解析：解： () ，递增；递减；.()令，则由()知：，递减., .(),由柯西不等式知： ，由()知：，【思路点拨】（1）本题可利用函数的导数求出极值点判断出最值，（2）利用导数研究函数的单调性，（3）利用柯西不等式证明.