江西省八所重点中学2023届高三数学（文）下学期3月联考试题（Word版附解析）.docx

1、江西省八所重点中学2023届高三联考文科数学试卷考试时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3、非选择题的作答：用黑色墨水笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4、考试结束，监考员只需将答题卡收回装订.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，则（

2、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出集合中元素范围，然后求即可.【详解】或，.故选：B.2. 已知i为虚数单位，复数是实数，则的值是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出复数的代数形式，然后令虚部为零可得答案.详解】，复数是实数，解得.故选：C.3. 设向量，.若，则（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】求出的坐标，再利用列方程求解的值.【详解】，解得.故选：B.4. 若与是两条不同的直线，则“”是“”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用两直

3、线平行解出的值即可.【详解】由题意，若，所以，解得或，经检验，或时，则“”是“”的充分不必要条件，故选：C5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简，再将条件代入即可.【详解】因为，所以，又，所以，故选：D.6. 的内角，的对边分别为，.若，则（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理进行角换边，再根据余弦定理即可得出答案.【详解】，利用正弦定理可得:，又，可得，整理可得：，故选：A.7. 已知一组数据的方差为1，则数据的方差为（ ）A. 3B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用

4、方差的定义，列式计算作答.【详解】设数据的平均数为，则，数据的平均数为，数据的方差为，数据的方差，解得，所以数据的方差为.故选：D8. 设函数，则（ ）A. 关于对称B. 关于对称C. 关于对称D. 关于对称【答案】D【解析】【分析】根据函数对称性的性质依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，因为，所以不关于对称，故A错误.对选项B，因为，所以不关于对称，故B错误.对选项C，因为，所以不关于对称，故C错误.对选项D，因为，所以关于对称，故D正确.故选：D9. 刍(ch)甍(mng)是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，

5、是一个对称的楔形体已知一个刍甍底边长为，底边宽为，上棱长为，高为，则它的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算出几何体每个面的面积，相加即可得解.【详解】设几何体为，如下图所示：矩形的面积为，侧面为两个全等的等腰三角形、，两个全等的等腰梯形、，设点、在底面内射影点分别为、，过点在平面内作，连接，过点在平面内作，连接，平面，、平面，平面，平面，易知，则在中，斜高为，所以，同理可知，梯形的高为，所以，因此，该几何体的表面积为.故选：B.10. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点，则该双曲线的离心率为（ ）A

6、. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角形面积得到，将各个线段按比例表示出来，以此表示出，两点坐标，最后根据双曲线焦半径公式列式计算即可.【详解】因为，解得设，根据题意可知，设双曲线方程为，设，若P点在双曲线的左支上，则双曲线的焦半径为：，由题意可得，所以，根据变形得，所以 故，同理可得，同理可得，若P点在双曲线的右支上，则双曲线的焦半径为：，根据双曲线焦半径公式可得：，；，解得.故选：C11. 已知直三棱柱中，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】要使三棱柱的体积最大，则面积最大，故令，则，再结合余弦定理得，进而得，当且

7、仅当时，取得最大值，此时为等腰三角形，再求解三棱柱外接球的半径即可得答案.【详解】因为三棱柱为直三棱柱，所以，平面所以，要使三棱柱的体积最大，则面积最大，因为，令因为，所以，在中，所以，所以，所以，当，即时，取得最大值，所以，当时，取得最大值，此时为等腰三角形，所以，所以，所以，由正弦定理得外接圆的半径满足，即，所以，直三棱柱外接球的半径，即，所以，直三棱柱外接球的体积为.故选：B12. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定的数据信息构造函数，利用导数探讨函数的单调性即可比较大小作答.【详解】令，求导得，则函数在上单调递增，于是，即，令，求导得，则函数在上单调

8、递增，于是，即，当时，因此，则当时，取，则有，所以.故选：B【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若，满足条件，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过图象平移确定目标函数的最小值【详解】由，得，作出不等式对应的可行域，如图中阴影三角形，平移直线，由平移可知当直线，经过点时，直线的纵截距最小，此时取得最小值.由，解得，将的坐标，代入，得，即目标函数的

9、最小值为故答案为：14. 在内任取一个数，满足的概率为_.【答案】【解析】【分析】先求解在上的解集，再根据几何概型的方法计算即可【详解】因为，由得或，由得或，故的解集为，故所求事件的概率为故答案为：.15. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则到的距离为_.【答案】6【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出的长度，然后列出方程即可得到结果.【详解】如图，不妨令在轴上方，准线l与轴交点为，因为点在C上，根据抛物线定义可得，且，则，所以为等腰三角形，且，在中，即解得，即F到l的距离为.故答案为：616. 当时，不等式恒成立，则的范围为_.【答案】【解析】【分析】构

10、造，求导判断单调性，分和两种情况讨论，可得所求的范围【详解】构造，且，且当时，在上单调递增，成立；当时，又在上为连续函数，存在，使时，即在上单调递减，此时，不成立，舍去；则的范围为，故答案：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知，抛物线与轴正半轴相交于点设为该拋物线在点处的切线在轴上的截距（1）求数列的通项公式；（2）设， 求证： （且）【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求解坐标，求导，可得切线斜率，利用直线方程的点斜式，即得

11、解；（2）代入，可得，由，裂项相消，即可证明【小问1详解】由题意，令，解得又在轴正半轴，故，故切线斜率抛物线在点处的切线方程为令所以它在轴上的截距【小问2详解】由题意，故又对且时得证18. 实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境.2019年下半年以来，全国各地区陆续出合了“垃圾分类”的相关管理条例.某部门在某小区年龄处于岁的人中随机地抽取 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.组数分组“环保族”人数占本组的频率第一组450.75第二组25

12、第三组200.5第四组 0.2第五组30.1（1）求 ， ， 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这 人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人年龄在中的概率.【答案】（1），. （2）估计这 人年龄的平均值为. （3）选取的 名记录员中至少有 人年龄在中的概率.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图和频数分布表能直接求出，；（2）根据频率分布直方图，能直接求这人年龄的平均值；（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取

13、9人进行专访，年龄段在的“环保族”中选（人），分别记为， ；年龄段在的“环保族”中选（人），分别记为，.在这 人中选取 人作为记录员，利用列举法列出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：由题意得： ， ， ，所以，.【小问2详解】根据频率分直方图，估计这 人年龄的平均值为： .所以估计这 人年龄的平均值为 .【小问3详解】从年龄段在的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取9人进行专访，从年龄段在的“环保族”中选（人），分别记为， .从年龄段在的“环保族”中选（人），分别记为，.在这 人中选取 人作为记录员，所有的基本事件有，共36种.选取的2名记录员

14、中至少有1人年龄在中包含的基本事件有，共26种.因此，选取的2名记录员中至少有1人年龄在中的概率，所以选取的2名记录员中至少有1人年龄在中的概率.19. 已知两个四棱锥与的公共底面是边长为4的正方形，顶点，在底面的同侧，棱锥的高，分别为AB，CD的中点，与交于点E，与交于点F.（1）求证：点E为线段的中点；（2）求这两个棱锥的公共部分的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）证明，进而证明四边形是平行四边形，可得E为线段的中点；（2）分析四棱锥的底和高，用四棱锥的体积减四棱锥的体积，可得所求几何体体积.【小问1详解】连接，如图，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又，所以

15、四边形是矩形，所以，又，分别为AB，CD的中点，所以，所以，所以四边形是平行四边形，又对角线，所以点E为线段的中点.【小问2详解】连接，交EF于点N，过点作于M，由题意知，故，又，平面，所以平面，故，又，平面，所以平面，即是四棱锥的高，由（1）同理可得点F为线段的中点，所以，在中，则，所以，因为，所以.20. 已知，是椭圆的左右焦点，离心率为，直线过右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于，两点，交曲线于，交曲线于，记直线，的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件先求出c，再求出a，b；（2）根据条件可得直线AM和BM的方程，与椭圆C

16、方程联立，利用韦达定理法结合斜率公式计算即得.【小问1详解】直线 与x轴的交点为：， ，又 ，椭圆C的标准方程为：；【小问2详解】设 ，则有 ， 则直线AM的方程为： ，直线AB的方程为，则 ，联立方程 ，解得： ，又点 在椭圆C上， ，代入上式化简得： ， ；同理可得： ，所以 ，即 ，为定值.【点睛】本题难点在于计算，需要设立几个参数，所以在计算过程中每算一步都要核对是否正确，以免前功尽弃.21. 已知函数.（1）当时，求在点处的切线方程；（2）当时，求证：.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可知斜率，代入直线的点斜式方程可得切线方程为；（2）由可得，

17、利用函数单调性即可知在处取得最小值，即证明即可，令函数即可得出证明.【小问1详解】当时，；则，所以在点处的切线斜率，又；切线方程，即所以，在点处的切线方程为.【小问2详解】当时，可得 ,又，令可得；所以当时，即在上单调递减，当时，即在上单调递增；即在处取得极小值，也是最小值，所以；要证明，即证明，也即构造函数，则，所以当时，即在上单调递减，当时，即在上单调递增；所以；即可得，当且仅当时等号成立；故.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知曲线（为参数）和直线（为参数）.（1）将曲线的方程化为普通方程；

18、（2）设直线与曲线交于A，B两点，且，若，求所在的直线方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）写出用x和y表示k的方程，联立整理后即可得到曲线的普通方程；（2）将直线l的参数方程代入曲线的普通方程，可得，由可知点P为线段AB的中点，可得，利用韦达定理求得，即可用点斜式写出所在的直线方程.【小问1详解】因为，易得，所以，代入，得，联立，得，整理得曲线的普通方程为；【小问2详解】将代入，得，设点A，B对应的参数分别为，由可知点P为线段AB的中点，则，即，所以，即，所以所在的直线方程为，即.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数（1）求不等式的解集；（2）在（1）的条件下，设中的最小的数为，正数满足，求的最小值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将表示为分段函数的形式，由此解不等式.（2）结合基本不等式求得的最小值.【小问1详解】， 不等式可化为，或，或，解得，所以.【小问2详解】由（1）可知，所以，所以当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为