江苏省海门中学高二数学（苏教版）教学案 选修2-2 第二章 第二节 直接证明与间接证明.doc

1、直接证明与间接证明教学案课题 直接证明-综合法与分析法 第 001 课时教学案班级 姓名 第 小组教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

2、教学过程:学生探究过程：证明的方法（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。 例1、设a、b是两个正实数，且ab，求证：a3+b3a2b+ab2证明：例2、若实数，求证： 例3、已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用

3、比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？巩固练习：第81页练习1 , 2 , 3 , 4课后作业：第84页 1，2, 3学后反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。高二年级数学教学案课题 间接证明-反证法 第 002 课时教学案编制人 宋振苏班级 姓名 第 小组1、教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能

4、力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 2、教学重点：了解反证法的思考过程、特点3、 教学难点：反证法的思考过程、特点教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。 4、教学过程:学生探究过程：综合法与分析法(1)、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷

5、举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛

6、盾；与反设矛盾；自相矛盾。(2)、例子例1、求证：不是有理数例2、已知，求证：（且）例3、设，求证证明：例4、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.证明：注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例5、设0 a, b, c 1,nN),求证： （）评析：数学归纳法证明不等式时，经常用到“放缩”的技巧。变题：是否存在a、b、c使得等式12

7、2+232+n(n+1)2=(an2+bn+c) 对于一切正整数n都成立？证明你的结论。 解 假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有于是，对n=1,2,3下面等式成立122+232+n(n+1)2=记Sn=122+232+n(n+1)2（1）n=1时，等式以证，成立。（2）设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)=3(k+1)2+11(k+1)+10也就是说，等式对n=k+1也成立 综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自

8、然数n均成立 【课堂小结】体会常用的思维模式和证明方法。【反馈练习】1（2005辽宁）在R上定义运算若不等式对任意实数成立， 则ABCD2定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形那么下列图形中可以表示A*D，A*C的分别是 ( ) （1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）A（1）、（2） B（2）、（3） C（2）、（4） D（1）、（4）3 已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A 30B 26C 36D 6解析 f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1),f(2),f

9、(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 证明 n=1,2时，由上得证，设n=k(k2)时，f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=(6k+27)3k(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2) f(k+1)能被36整除f(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m值等于36 4 已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145 (1)求数列bn的通项公式bn;(2)设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1)记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与logabn+1的

10、大小，并证明你的结论 解 (1) 设数列bn的公差为d,由题意得,bn=3n2(2)证明 由bn=3n2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+ )而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)(1+)与的大小 取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测 (1+1)(1+)(1+) (*)当n=1时，已验证(*)式成立 假设n=k(k1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)(1+),则当n=k+1时， ,即当n=k+1时，(*)式成立由知，(*)式对任意正整数n都成立 于是，当a1

11、时，Snlogabn+1,当 0a1时，Snlogabn+1五、推理与证明编制人 宋振苏一、考点、要点、疑点：考点：1、理解合情推理与演绎推理； 2、了解分析法和综合法； 3、了解反证法。要点：1、合情推理（归纳和类比）在数学发现中的作用。2、演绎推理的基本模式（三段论）。3、证明的三种基本方法（分析法、综合法、反证法）各自的思考过程、特点。二、典型例题解析：例1、观察下列两等式的规律，请写出一个（包含下面两命题）一般性的命题： ； 例2、中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，则四面体的外接球半径_例3、已知表中的对数值有且只有两个是错误的x1

12、.53567891427lgx3a-b+c2a-ba+c1+a-b-c2(a+c)3(1-a-c）2(2a-b)1-a+2b3(2a-b)（1）假设上表中lg3=2a-b与lg5=a+c都是正确的，试判断lg6=1+a-b-c是否正确？给出判断过程；（2）试将两个错误的对数值均指出来并加以改正（不要求证明）三、课堂练习：1、观察下列两等式的规律，请写出一个（包含下面两命题）一般性的命题： ； 2、若三角形内切圆的半径为，三边长分别为，则三角形的面积。根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别为 ，则四面体的体积 。3、设，则 。4、已知数列，则是该数列的第 项。5、设数列是公比为的等比数列，是它的前项和。（1）求证：数列一定不是等比数列；（2）数列能是等差数列吗？请判断并说明理由。6、我们知道：圆的任意一条弦的中点和圆心的连线与该弦垂直。那么，若椭圆的一弦中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明。参考解答例题解析：1、2、3、（1）正确 （2）课堂练习：1、2、 3、 4、128 5、（1）略 （2）时，是；时，不是6、椭圆的弦中点与原点的连线及弦所在直线的斜率都存在，那么它们的斜率的积为或.