全国统考2023版高考数学大一轮复习解题思维2高考中函数与导数解答题的提分策略备考试题文含解析20230327188.docx

1、解题思维2高考中函数与导数解答题的提分策略1.2021贵阳市四校联考,12分已知函数f(x)=xex,f(x)是f(x)的导函数.(1)求f(x)的极值;(2)当x013时,证明:f(x)有且仅有两个零点.3.2021江西红色七校联考,12分已知函数f(x)=ln x-12ax2-x.(1)若函数f(x)在1,+)上单调递增,求实数a的取值范围.(2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线平行于x轴,则是否存在整数k,使不等式xf(x)+x-1k(x-2)在xe时恒成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,请说明理由.4.2020江西红色七校联考,12分已知 f(x)=12x(x+2)-a(x+l

2、nx)(aR).(1)讨论f(x) 的单调性;(2)若f(x1)=f(x2)(x1x2),证明:x1+x22a.答 案解题思维2高考函数与导数解答题的提分策略1.(1)因为f(x)=xex,所以f(x)=1-xex,令f(x)=0,得x=1,当x(-,1)时,f(x)0,当x(1,+)时,f(x)0,所以f(x)在(-,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,所以f(x)有极大值,极大值为f(1)=1e,无极小值.(4分)(2)令g(x)=f(x)-f(x0)(x-x0)-f(x0),则g(x)=f(x)-f(x0)=1-xex-1-x0ex0=ex0(1-x)-ex(1-x0)ex+x0.设

3、(x)=ex0(1-x)-ex(1-x0),则(x)=-ex0-ex(1-x0),因为x01,所以(x)0,所以(x)在R上单调递减,又(x0)=0,所以当x0,当xx0时,(x)0,即当x0,当xx0时,g(x)0,所以g(x)在区间(-,x0)上单调递增,在区间(x0,+)上单调递减,所以g(x)g(x0)=0,即f(x)f(x0)(x-x0)+f(x0).(12分)2.(1)当a=12时,f(x)=xsinx+cosx-14x2,则f(x)=x(cos x-12),x(-,),令f(x)=0,得x=-3或x=0或x=3,当-x0,当-3x0时,f(x)0,当0x0,当3x时,f(x)0,

4、所以当a13时,f(x)有且仅有两个零点等价于当a13时,f(x)在(0,+)上有且仅有一个零点. (6分)f(x)=x(cos x-a),当a1时,若x0,则f(x)0,所以f(x)在(0,+)上单调递减,因为f()=-1-12a20,所以f(x)在(0,+)上有且仅有一个零点;(8分)当13a1时,存在(0,2),使得cos =a,当0x0,当2k+x2k+2-,kN时,f(x)0,当2k+2-x0,所以f(x)在(0,)上单调递增,在(2k+,2k+2-)(kN)上单调递减,在(2k+2-,2k+2+)(kN)上单调递增,由tan =1a2-1,13a1,可得0tan 2(-2),所以f

5、(2k+2+)=-12a(2k+2+-tan )2-1+12a-16(2k+2+-tan )2-1+32=-(2k+2+-tan)2-10613时,f(x)有且仅有两个零点.(12分)3.(1)依题意,f(x)=1x-ax-1=1-ax2-xx0在1,+)上恒成立,即1-ax2-x0在1,+)上恒成立,即a1-xx2在1,+)上恒成立,(1分)令(x)=1-xx2=(1x)2-1x=(1x-12)2-14(x1),则当x=2时,(x)取得最小值,(x)min=-14,(3分)a-14,即实数a的取值范围是(-,-14.(4分)(2)依题意,f(1)=1-a-1=0,a=0,f(x)=ln x-

6、x,不等式xf(x)+x-1k(x-2)在xe时恒成立,即ke时恒成立.令g(x)=xlnx-xx-2(xe),则g(x)=x-2lnx(x-2)2,(6分)令h(x)=x-2ln x(xe),则h(x)=1-2x0,(8分)h(x)在(e,+)上单调递增,h(x)h(e)=e-2ln e=e-20,即g(x)0在(e,+)上恒成立,g(x)在(e,+)上单调递增,g(x)elne-ee-2=0,k0,(11分)整数k的最大值为0.(12分)4.(1)f(x)的定义域为(0,+),由f(x)=12x(x+2)-a(x+lnx),得f(x)=x+1-a-ax=x2+(1-a)x-ax=(x+1)

7、(x-a)x,若a0,则f(x)0恒成立,f(x)在(0,+)上单调递增;若a0,则当0xa时,f(x)a时,f(x)0,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增.综上可得,当a0时,f(x)在(0,+)上单调递增;当a0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增.(6分)(2)由(1)知,当a0时,f(x)在(0,+)上单调递增,不存在f(x1)=f(x2)(x1x2),所以a0.由(1)知当a0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增,存在f(x1)=f(x2).不妨设0x1ax2,设g(x)=f(a+x)-f(a-x),x(0,a),则g

8、(x)=f(a+x)+f(a-x),又由(1)知f(x)=(x+1)(x-a)x,可得g(x)=f(a+x)+f(a-x)=(a+1+x)xa+x+(a+1-x)(-x)a-x=-2x2a2-x2.因为x(0,a),所以g(x)=-2x2a2-x20,所以g(x)在(0,a)上单调递减,所以g(x)0,即当x(0,a)时,f(a+x)f(a-x),由于0a-x1f(a+(a-x1),即f(x1)=f(a-(a-x1)f(a+(a-x1)=f(2a-x1).又f(x2)=f(x1),则有f(x2)f(2a-x1).又x2a,2a-x1a,f(x)在(a,+)上单调递增,所以x22a-x1,即x1+x22a.(12分)