2021-2022高中数学人教A版选修2-1教案：2-1-2求曲线的方程 （系列一） WORD版含解析.doc

1、2.1.2求曲线的方程【学情分析】：通过上节课的学习，领会了“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理；对坐标法求点的轨迹方程有一定了解；【教学目标】：知识与技能1、 了解什么叫轨迹，并能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求曲线的轨迹方程2、 画出方程所表示的曲线3、 能利用曲线的方程研究曲线的性质过程与方法1. 在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；2. 了解求点的轨迹方程的几种常用方法3. 体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法.情感态度与价值观 培

2、养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神【教学重点】：求曲线方程的方法、步骤【教学难点】：利用方程研究曲线的性质【课前准备】：多媒体、实物投影仪 【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一复习、引入1、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线通过学生已熟悉的两种曲线引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出

3、新问题，创设情景，引发学习兴趣。二坐标法与解析几何主要研究问题 1.坐标法在笛卡尔以前，人们对代数方程已经有了一定的研究，但是对于二元方程的研究较少，因为大家认识到二元方程的解都是不确定的 对于这种“不定方程”，除了有少数人研究它的整数解以外，大多数人都认为研究它是没有意义的，是不必要的。笛卡尔却对对这个“没有意义的课题”赋予了新的生命，他没有把看成是未知数，而是创造性地把看成是变量(从此，变量引入了数学)，让连续地变，则对每一个确定的的值，一般来说都可以从方程算出相应的值(这就是函数思想的萌芽) 然后，他把这些点的集合便构成了一条曲线C 由这样得出的曲线C和方程有非常密切的关系：曲线上每一个

4、点的一对坐标都是方程的一个实数解；反之，方程的每一个实数解对应的点都在曲线上 这就是说，曲线上的点集和方程的实数解集具有一一对应的关系 这个“一一对应”的关系导致了曲线的研究也可以转化成对曲线的研究 这种通过研究方程的性质，间接地来研究曲线性质的方法叫做坐标法（就是借助于坐标系研究几何图形的方法）2解析几何的创立意义及其基本问题在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的一门学科，叫解析几何 它是一门用代数方法研究几何问题的数学学科，产生于十七世纪初期，法国数学家笛卡尔是解析几何的奠基人 另一位法国数学家费马也是解析几何学的创立者 他们创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义：一是在数学中首次引

5、入了变量的概念，二是把数与形紧密地联系起来了 解析几何的创立是近代数学开端的标志，为数学的应用开辟了广阔的领域 3平面解析几何研究的主要问题（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质 能过对数学史的介绍激发学生学习数学的兴趣。三例题1例2：设A、B两点的坐标分别是（1,1），（3,7），求线段AB的垂直平分线的方程解：如图设点M（x，y）是线段AB的垂直平分线上的任意一点，也就是属于集合：由两点间的距离公式，点M的条件可表求为： 上式两边平方，并整理得： 我们证明方程是线段AB的垂直平分线的方程。（1） 由求方程的过程可知，垂直平分线上的每一点的坐标都是方程

6、的解；（2） 设点的坐标是方程的解，即 ，即点到A、B的距离分别是所以，即点M在线段AB的垂直平分线上由（1）、（2）可知，方程是线段AB的垂直平分线的方程2讨论，求简单的曲线方程的一般步骤是怎样的？引导学生归纳求曲线的方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程;（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点一般地，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明。3例3：已知一条直线和它上方的一个点F，点F到的距离是2，一条曲线也在的上方，它上面的每一

7、点到F的距离减去到的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。 引导学生分析探索解题思路，由学生板演解题过程解：如图，取直线为x轴，过点F且垂直于直线为y轴，建立坐标系xOy设点M（x，y）是曲线上任意一点，作轴，垂足为B，则点M属于集合由两点间距离公式，点M适合的条件可表示为 将式移项后两边平方，得化简得 因为曲线在x轴的上方，所以虽然原点的坐标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是（）它的图形是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点学生通过讨论归纳，培养学生总结归纳能力及合作交流精神。例题巩固。五练习1教科书P37 练习32设A、B两点的坐标是(1，0

8、)、(-1,0),若，求动点M的轨迹方程解：设M的坐标为，M属于集合P=.由斜率公式，点M所适合的条件可表示为 ，整理后得 (1) 下面证明 (x1)是点M的轨迹方程(1)由求方程的过程可知，M的坐标都是方程 (x1)的解；(2)设点的坐标是方程 (x1)的解，即， 由上述证明可知，方程 (x1)是点M的轨迹方程说明：所求的方程后面应加上条件六小结1.求简单的曲线方程的一般步骤2.求动点的轨迹方程中的注意点：（1）.注意方程的纯粹性和完备性即不多不少。（2）.注意平面几何知识的运用。（3）.注意要求是求轨迹方程还是轨迹3.求点的轨迹的常用方法 1.直接法; 2.定义法（和几何法联系） 3.相关

9、点法; 4.参数法五、作业教科书习题2.1 A组3、4、5 B组1、2练习与测试：1.由动点P向圆引两条切线、，切点分别为、，动点轨迹方程是 2已知ABD三点不在一条直线上，且A（-2，0），B（2，0）， |=2，= (+).则E点的轨迹方程是 ；3已知点H（6，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足当点P在y轴上移动时，则点M的轨迹方程为 4求点P到点F（4，0）的距离比它到直线+5=0的距离小1的点的轨迹方程5过点P(2,4)作互相垂直的直线,，若交轴于A，交轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程6已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数,求点M的轨迹方

10、程，并注明轨迹是什么曲线 练习与测试解答：1. 由圆的几何性质知、组成一个以，且 的直角三角形，故，点轨迹方程为2x2+y2=1 解：设E(x，y)，= +，则四边形ABCD为平行四边形，而= (+)，E为AC的中点，OE为ABD的中位线，|= |=1，E点的轨迹方程是 x2+y2=13（）解：设点M的坐标为由由点Q在x轴的正半轴上，得. 故，所求点的轨迹方程为：（）4解：设P为所求轨迹上任意一点，点P到F的距离比它到直线+5=0的距离小1.故点P到F（4，0）的距离与点P到直线+4=0的距离PD相等PF=PD=-(-4)5解法一：设M为所求轨迹上任一点，M为AB中点，A（2,0),B(0,2

11、),且,过点P（2，4），PAPB =(x1),= =-1 即 +2-5=0(1) 当=1时，A（2，0）、B（0，4）,此时AB中点M的坐标为（1，2），它也满足方程+2-5=0.所求点M的轨迹方程为+2-5=0解法二：连结PM. 设M,则A（2,0),B(0,2),PAB为直角三角形PM=AB即化简：+2-5=0所求点M的轨迹方程为+2-5=06解 以AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|AB|=2a,则A(a,0）,B(a,0) 设M(x,y）是轨迹上任意一点 则由题设，得=,坐标代入，得=,化简得(12)x2+(12)y2+2a(1+2)x+(12)a2=0(1)当=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴) (2)当1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0 点M的轨迹是以(，0）为圆心，为半径的圆