2022-2023学年新教材高中数学 第一章 预备知识 4 一元二次函数与一元二次不等式 4.docx

1、4.2一元二次不等式及其解法 4.3一元二次不等式的应用A级必备知识基础练1.不等式x-x20的解集是()A.(0,1)B.(-,-1)(0,+)C.(-1,0)D.(-,0)(1,+)2.不等式x+61-x0的解集为()A.x|-6x1B.x|x1,或x-6C.x|-6x1,或x-63.(多选题)若命题“xR,x2+2m”是真命题,则实数m的取值可能为()A.-1B.2C.0D.34.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为(

2、)A.12元B.16元C.12元到16元之间D.10元到14元之间5.(多选题)已知一元二次函数y=ax2+bx+c,且不等式y-2x的解集为(1,3),则()A.a0B.方程ax2+bx+c=0的两根为1,3C.b=-4a-2D.若方程y+6a=0有两个相等的根,则实数a=-156.设xR,使不等式3x2+x-20的解集是.8.某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60x120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为15x-k+4500x L,其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶,则每小时的油耗为11.5 L,此时k=.若使每小时的油耗不超过

3、9 L,则速度x的取值范围为.9.已知函数y=x2-2x+a,y0的解集为x|-1xt.(1)求实数a,t的值;(2)实数c为何值时,一元二次不等式(c+a)x2+2(c+a)x-10,则命题p是真命题的一个充分不必要条件可以是()A.a-1,1B.a(-4,4)C.a-4,4D.a011.在R上定义运算􀱋:x􀱋y=x(1-y),若不等式(x-a)􀱋(x+a)1对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-1,1)B.-12,32C.-32,12D.(0,2)12.一元二次不等式x2+ax+b0(a,bR)的解集为x|x1xx2,且|

4、x1|+|x2|2,下列结论正确的是()A.|a+2b|2B.|a+2b|2C.|a|1D.b113.若不等式x2+mx+m0在x1,2上恒成立,则实数m的最小值为.14.已知一元二次函数y=x2-ax(xR).(1)解关于x的不等式y1-a;(2)若x1,+)时,y-x2-2恒成立,求实数a的取值范围.15.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.(1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系.(2)求该批发商平均每天的

5、销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系.(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?16.已知函数y=x2-4x+5(xR).(1)求关于x的不等式y|m-3|对任意xR恒成立,求实数m的取值范围.C级学科素养创新练17.(多选题)已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+10(a0)的解集是x|x1xx2(x1x2),则下列结论中正确的是()A.x1+x2=2B.x1x24D.-1x1x20时,解关于x的不等式y0.4.2一元二次不等式及其解法4.3一元二次不等式的应用1.A一元二次不等式对应方程的两根为0和1,且抛物线开口向下,所以解集为x

6、|0x1.2.C不等式x+61-x0等价于(x+6)(1-x)0,1-x0,解得-6x1.故解集为x|-6xm在R上恒成立,x2+2-m0恒成立,只需2-m0,即m320,即x2-28x+1920,解得12x-2x的解集为(1,3),即ax2+(b+2)x+c0的解集为(1,3),则a0,且1,3为方程ax2+(b+2)x+c=0的根.1+3=-b+2a,13=ca,b=-4a-2,c=3a,故A,C正确,B错误;对于D项,y+6a=0有两个相等的根,即ax2-(4a+2)x+9a=0有两个相等的根,=-(4a+2)2-36a2=0,a0,a=-15,故D正确.6.-1,23由3x2+x-20

7、,得(x+1)(3x-2)0.解得-1x23.满足题意的x的取值范围是-1,23.7.x|x3根据表格可以画出一元二次函数y=ax2+bx+c(xR)的草图如图.由图象得关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是x|x3.8.10060,100由于“汽车以120km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L”,所以15120-k+4500120=11.5,解得k=100,故每小时油耗为15x+4500x-20,依题意15x+4500x-209,解得45x100,又60x120,故60x100.所以速度x的取值范围为60,100.9.解(1)x2-2x+a0的解集为x|-1xt,-1+t=2,-1

8、t=a,解得t=3,a=-3.(2)由(1)可知a=-3,代入得(c-3)x2+2(c-3)x-10,其解集为R,c-30,0,或c=3,解得20,=a2-160,-4a4,命题p成立的一个充分不必要条件是(-4,4)的真子集.故AD符合.11.B根据新定义,可得(x-a)􀱋(x+a)=(x-a)(1-x-a),所以(x-a)􀱋(x+a)1可化为(x-a)(1-x-a)0恒成立,需=1-4(1-a2+a)0,解得-12a2时,不等式解集为1,a-1;当a=2时,不等式解集为1;当a2时,不等式解集为a-1,1.(2)y-x2-2,即a2x+1x对任意x1,+

9、)恒成立,2x+1x4x1x=4,当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立.a4,a的取值范围为(-,4.15.解(1)根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50x55,xN).(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50x55,xN).(3)因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200,所以当x60时,w随x的增大而增大.又50x55,xN,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润

10、为1125元.16.解(1)由y2得x2-4x+30,即1x3,所以y2的解集为x|1x|m-3|对任意xR恒成立|m-3|ymin,由y=x2-4x+5=(x-2)2+1得y的最小值为1,所以|m-3|1恒成立,即-1m-31,所以2m0(a0)的解集是x|x1xx2(x1x2),a0,x1,x2是一元二次方程ax2-2ax+1-3a=0的根.x1+x2=2,x1x2=1-3aa=1a-34.由x2-x14及x1+x2=2,可得x23.故D错误,ABC正确.18.解(1)当m=2时,不等式y0可化为2x2-5x+20,即(2x-1)(x-2)0,解得12x2,所以不等式y0的解集为x12x2.(2)当m0时,不等式为mx2-(m2+1)x+m0,即x2-m+1mx+10,则(x-m)x-1m0,当0mm,则不等式的解集为xx1m;当m=1时,不等式化为(x-1)20,此时不等式解集为x|x1;当m1时,01mm,则不等式的解集为xxm.