高一数学人教A版必修2课件：3.2.1 直线的点斜式方程.ppt

1、3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程 1.了解由斜率公式推导出直线方程的点斜式并掌握由点斜式推导出直线的斜截式方程.2.初步学会利用直线方程的知识解决有关的实际问题.1.若直线l经过点P0(x0,y0)及点P(x,y),且斜率为k,则k与P0P的坐标之间的关系是k=_,即为_,这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的,所以叫直线的_方程.当直线l的倾斜角为90时,直线的斜率不存在,这时的直线l与y轴平行或重合,它的方程为_;当直线l的倾斜角为0时,它的方程为_.y=y0y-y0=k(x-x0)点斜式x=x02.如果直线l的斜率为k,且与y轴的交点为P(0,b),代入直线的点斜式方程,

2、可得y-b=k(x-0),也就是_,则称b为直线l在y轴上的_.这个方程是由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定的,所以叫做直线的_方程.y=kx+b截距斜截式 1.直线的点斜式方程一般地,如果一条直线上任一点的坐标(x,y)都满足一个方程,满足该方程的每一个数对(x,y)所确定的点都在直线l上,我们就把这个方程称为直线l的方程.如下图所示,设Q(x,y)是直线l上不同于P的任一点,由于P,Q都在l上,所以可用P,Q的坐标来表示直线l的斜率即y-y0=k(x-x0).这就是所求的过点P(x0,y0),斜率为k的直线l的方程.当直线l与x轴垂直时,斜率k不存在.如果l1经过点P(x0,y0),且与

3、x轴垂直,则它的特点是l1上任意一点的横坐标都是x0,所以直线l1的方程为x=x0,如右图所示.若直线l2经过点P(x0,y0)且与y轴垂直,则此时直线的特点是:直线l2上任一点的纵坐标都是y0,所以直线l2的方程为y=y0,如上图所示.说明:在使用直线的点斜式方程时,必须以直线的斜率存在为前提,即方程y-y0=k(x-x0)不能表示经过点(x0,y0),垂直x轴的直线.当斜率不确定时,要分情况讨论.2.直线的斜截式方程直线的斜截式方程是由点斜式方程导出的,此时直线的斜率为k,经过的点为(0,b),其形式为y=kx+b.当k0时,这种形式就是我们所熟悉的一次函数解析式.说明:(1)在使用直线的

4、斜截式方程时,必须以直线的斜率存在为前提.(2)b为直线在y轴上的截距,它可正,可负,也可以为零,即bR.题型一 直线的点斜式方程例1:已知直线l过点P(2,1),且直线l的斜率为直线x-4y+3=0的斜率的2倍,求直线l的方程.分析:已知直线l过点P(2,1),求斜率.由x-4y+3=0,知所以斜率k=2 ,代入点斜式方程便得直线l的方程.变式训练1:已知直线l经过点A(2,-1),B(3,-3),求直线l的方程.解:直线l的斜率又过点(2,-1),由直线的点斜式方程得y+1=-2(x-2).整理得所求直线的方程为2x+y-3=0.题型二 直线的斜截式方程例2:求倾斜角为直线的倾斜角的一半,

5、且分别满足下列条件的直线方程.(1)经过点(0,1);(2)在y轴上的截距为-10.分析:通过已知直线的斜率求出所求直线的斜率,再分别由直线的点斜式方程和斜截式方程求解.(2)由于直线在y轴上的截距为-10,由直线的斜截式方程得规律技巧:将直线的方程求出后,为了统一答案的形式,如果没有特别要求,都将直线的方程化为Ax+By+C=0的形式.变式训练2:直线l的倾斜角为45,在x轴上的截距为-2的直线方程为_.解析:直线l在x轴上截距为-2,即直线l与x轴的交点为(-2,0),又l的倾斜角为45,其斜率k=1.方程为y=x+2,即x-y+2=0.x-y+2=0题型三 求直线的方程例3:已知A(1,

6、3)B(-1,-1),C(2,1),求ABC的BC边上的高线所在的直线方程.规律技巧:确定直线的几何元素是点和斜率.所求直线过点A(1,3),只要求出斜率k,由点斜式可求得直线方程.变式训练3:(1)经过点(0,2),与直线y=-3x-5平行的直线方程为_.(2)经过点(0,1)且平行于x轴的直线方程为_.解析:(1)依题意知所求直线的斜率为-3,又过点(0,2),故所求直线方程为y-2=-3(x-0),即3x+y-2=0.(2)由题意知,所求直线方程为y=1.3x+y-2=0y=1易错探究例4:求过点(3,1)和(a,3)的直线方程.错因分析:实际上,上述解答是a3时的情形;当a=3时,过点

7、(3,1)和(3,3)的直线斜率不存在,其直线方程为x=3.基础强化1.直线方程为y+2=2(x-1),则()A.直线过点(2,-2),斜率为2B.直线过点(-2,2),斜率为2C.直线过点(1,-2),斜率为D.直线过点(1,-2),斜率为2答案:D2.直线3x+2y+6=0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则有()解析:把3x+2y+6=0变形为y=-x-3.k=-,b=-3.答案:C3.如下图所示,方程表示的直线可能是()解析:对于A,要求直线中的k0,b0,0,矛盾;对于B,要求直线中的k0,b0,即a0,0,这是正确的;对于C,要求直线中的k=0,此时a=0,没有意义;对于D,要求直线

8、中k0,即a0,矛盾.答案:B4.直线l的斜率为k,在x轴上的截距为b,则直线l的方程为()A.y=kx+bB.y=k(x-b)C.y=k(x+b)D.y=kx-b解析:依题意知,直线与x轴的交点为(b,0).又斜率为k,故直线l的方程为y=k(x-b).答案:B5.过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为()A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0解析:由题意得所求直线的斜率k=-2,又过点(-1,3),直线方程为y-3=-2(x+1),即2x+y-1=0.答案:A6.已知直线y-2=k(x+6)经过点(-1,7),则k=_.解析:由直

9、线经过点(-1,7),可知该点的坐标满足直线的方程,即7-2=k(-1+6),k=1.17.已知直线x+y+3=0,则直线的斜率为_,在x轴上的截距为_,在y轴上的截距为_.解析:由x+y+3=0化为y=-x-3,直线的斜率k=-1,令x=0,得直线在y轴上截距为-3,又令y=0,得x=-3.直线在x轴上截距是-3.-1-3-38.分别求出经过点P(3,4)且满足下列条件的直线方程,并画出图形.(1)斜率k=2;(2)与x轴平行;(3)与x轴垂直.分析:经过一个点求直线的方程,若所求直线与x轴或y轴垂直,则可直接写出所求直线的方程,其他情形可直接用公式求出.解:(1)这条直线经过点P(3,4)

10、,斜率k=2,点斜式方程为y-4=2(x-3),可化为2x-y-2=0.如下图(1)所示.(2)由于直线经过点P(3,4)且与x轴平行,所以直线方程为y=4.如下图(2)所示.(3)由于直线经过点P(3,4)且与x轴垂直,所以直线方程为x=3.如下图(3)所示.能力提升9.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aR).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.解:(1)当直线过原点时,l在x轴和y轴上的截距为零,当然相等.a=2,这时方程为3x+y=0;当a2时,截距存在且不为0,=a-2,即a+1=1,a=0,此时方程为x+y+2=0

11、.(2)将l的方程变形为y=-(a+1)x+a-2.依题意有:-(a+1)0a-20或-(a+1)=0a-20a-1或a=-1.a-1.故a的取值范围是(-,-1.10.直线l过定点A(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线l的方程.解:显然l的斜率存在且k0,可设l的方程为y-3=k(x+2)令x=0,得y=2k+3令y=0,得x=-2即直线l在两轴上的截距分别为-2,2k+3由题意得:(2k+3)(+2)=8.若(2k+3)(+2)=8时,k不存在.若(2k+3)(+2)=-8解得k1=-,或k2=-.直线l的方程为x+2y-4=0或9x+2y+12=011.直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则l的方程是()A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=0解析:直线2x-3y+4=0斜率为故直线l的斜率为又过点(-1,2),所以直线方程为y-2=(x+1),即3x+2y-1=0.答案:A12.若直线l1:2x+my+1=0与直线l2:y=3x-1平行,则m=_.