山东省武城县实验中学九年级数学24.3《正多边形和圆》教案.doc

1、九年级数学24.3正多边形和圆复习教案【教学目标】1.复习正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.【教学重难点】正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系【教学过程】要点梳理：要点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).要点二、正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多

2、边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距3.正多边形的有关计算(1)正边形每一个内角的度数是；(2)正边形每个中心角的度数是；(3)正边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.要点三、正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接

3、圆，圆有无数个内接正多边形.2.正边形的半径和边心距把正边形分成2个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.要点四、正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心

4、角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正边形，可以用圆规和直尺作图.正四、八边形.在O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.正六、三、十二边形的作法.通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以O的半径为半径画弧与O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是O的6等分点. 显然，A、E、F(或C

5、、B、D)是O的3等分点.同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把O 12等分.要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.【典型例题】类型一、正多边形的概念例1. 如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M(1)求证：ACED；(2)求证：MEAE【解析与答案】 (1)正多边形必有外接圆，作出正五边形的外接O，则的度数为， EAC的度数等于的度数的一半， EAC，同理，AED723108， EAC+AED180， EDAC(2) EMA180AEBEAC72， EAMEMA72， EAEM【点评】辅助圆是特殊的辅助线，一般用得很少，当有共圆条件时可作出辅

6、助圆后利用圆的特殊性去解决直线型的问题要证ACED和MEAE，都可用角的关系去证，而如果作出正五边形的外接圆，则用圆中角的关系去证比较容易例2.如图，正方形ABCD内接于O，E为DC的中点，直线BE交O于点F，若O的半径为2，则BF的长为 【答案】.【解析】解：连接BD，DF，过点C作CNBF于点F，正方形ABCD内接于O，O的半径为2，BD=22，AD=AB=BC=CD=2，E为DC的中点，CE=1，BE=5，CNBE=ECBC，CN5=2，CN=25/5，BN=45/5，EN=BEBN=5/5，BD为O的直径，BFD=90，CENDEF，EF=EN，BF=BE+EF=65/5，故答案为65

7、/5【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及勾股定理以及三角形面积等知识，根据圆周角定理得出正多边形边长是解题关键举一反三：【变式】同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比等于（）A3：4 B：2 C2： D1：2【答案】B；【解析】设圆的半径为1，如图（1），连接OA、OB过O作OGAB；六边形ABCDE为正六边形，AOB=60；OA=OB，OGAB，AOG=30，AG=OAsin30=10.5=0.5，（或由勾股定理求）AB=2AG=20.5=1，C六边形ABCD=6AB=6如图（2）连接OA、OB过O作OGAB；六边形ABCDE为正六边形，AOB=60，OA=OB，OFAB，AOF=

8、30，AG=OGtan30=，（或由勾股定理求）AB=2AG=2=，C六边形ABCD=6AB=6=4cm圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比=6：4=：2类型二、正多边形和圆的有关计算例3.如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积【答案与解析】解：（1）连接BF，则有BFAG理由如下：ABCDEFGH是正八边形，它的内角都为135又HA=HG，1=22.5，从而2=1351=112.5

9、由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，即2+3=180，故BFAG（2）根据题设可知PHA=PAH=45，P=90，同理可得Q=M=90，四边形PQMN是矩形又PHA=PAH=QBC=QCB=MDE=MED=45，AH=BC=DE，PAHQCBMDE，PA=QB=QC=MD即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形在RtPAH中，PAH=45，AH=2，PA=【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定与性质等知识，得出PQ的长是解题关键例4. 如图（1）所示，圆内接ABC中，ABBCCA，OD、OE为O的半径，ODBC于点F，OEAC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是

10、ABC的面积的图（1） 【答案与解析】(1)连OA、OB、OC，如图（2）所示， 图（2） 则OAOBOC，又ABBCCA OABOBCOCA，又ODBC于F，OEAC于G，由垂径定理得AGAC，FCBC， AGCF RtAOGRtCOF【点评】首先连接OC，根据垂径定理的知识，易证得RtOCGRtOCF，设OG=a，根据直角三角形的性质与等边三角形的知识，即可求得阴影部分四边形OFCG的面积与ABC的面积，继而求得答案举一反三：【变式】如下图，若DOE保持120角度不变，求证：当DOE绕着O点旋转时，由两条半径和ABC的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是ABC的面积的【答案】连接OA、OB、OC，由(1)知OABOBCOCA 12设OD交BC于F，OE交AC于G，则AOC3+4120，DOE5+4120， 35在OAG和OCF中， OAGOCF课堂小结：正多边形的有关概念、正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系作业：导学案