2021届高考数学二轮总复习 第一部分 高考层级专题突破 层级三 2个压轴大题 巧取高分 专题一 圆锥曲线中的综合问题 第三讲 课时跟踪检测（二十二）圆锥曲线中的证明、存在性问题（理含解析）.doc

1、第一部分高考层级专题突破层级三2个压轴大题巧取高分专题一圆锥曲线中的综合问题第三讲圆锥曲线中的证明、存在性问题课时跟踪检测(二十二)圆锥曲线中的证明、存在性问题A卷1(2019河南洛阳统考)已知圆M：(xa)2(yb)29，圆心M在抛物线C：x22py(p0)上，圆M过原点O且与C的准线相切(1)求抛物线C的方程；(2)点Q(0，1)，点P(与Q不重合)在直线l：y1上运动，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，求证：AQOBQO.解：(1)因为圆心M在抛物线C上，且圆M与抛物线C的准线相切，所以b3，易知圆M过点，又圆M过原点，所以b，所以3，解得p4，所以抛物线C的方程为x28y.

2、(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(m，1)，因为C的方程为yx2，所以yx，所以抛物线C在点A处的切线斜率为kx1，切线PA的方程为yy1(xx1)，即y(xx1)，化简得yxx1x.又切线PA过点P(m，1)，故可得1xx1m，即x2x1m80.同理可得x2x2m80，则x1，x2为x22mx80的两根，所以x1x22m，x1x28，所以kAQkBQ0，故AQOBQO.2(2019湖北宜昌葛洲坝中学高三月考)已知椭圆C：1(ab0)经过点A，C的四个顶点构成的四边形面积为4.(1)求椭圆C的方程；(2)E，F为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线AE，AF，使其满足：直线

3、AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数；线段EF的中点在直线x上？若存在，求出直线AE和AF的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由已知得解得a24，b23，椭圆C的方程为1.(2)由题意知，直线AE的斜率存在且不为0，设直线AE的方程为yk(x1)，代入1，得(34k2)x24k(32k)x4k212k30.(*)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，且x1是方程(*)的根，x1，用k代替上式中的k，可得x2，故EF中点的横坐标为，解得k，直线AE，AF的方程分别为yx，yx3或yx3，yx.B卷1(2019河北邯郸联考)如图，设椭圆C：1(ab0)的离心率为，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，

4、F为右焦点，直线y6x与椭圆C的交点到y轴的距离为，过点B作x轴的垂线l，D为l上异于点B的一点，以BD为直径作圆E.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线AD与C的另一个交点为P，证明：直线PF与圆E相切解：(1)由题可知，a2c，b23c2.设椭圆C的方程为1，由得|x|，c1，a2，b23，故椭圆C的方程为1.(2)证明：由(1)可得F(1,0)，B(2,0)设圆E的圆心为(2，t)(t0)，则D(2,2t)，圆E的半径为R|t|，直线AD的方程为y(x2)设过F与圆E相切的直线方程为xky1，则|t|，整理得k，由得又1，直线PF与圆E相切2(2019重庆一中高三月考)如图，直线m：txy

5、t20(t0)与椭圆y21交于A，B两点，与y轴交于G点，C为弦AB的中点，直线l：x2t分别与直线OC和直线m交于D，E两点(1)求直线OC的斜率和直线OE的斜率之积；(2)分别记ODE和OCG的面积为S1，S2，是否存在正数t，使得S16S2？若存在，求出t的取值；若不存在，说明理由解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由点差法可得：yy0(y1y2)02y3t0kOC.再联立可求出E(2t，t2)kOE.所以kOCkOE.(2)假设这样的t存在，联立yD，在(1)问中已解得yEt2，所以SODES12t，在直线m：ytxt2中令x0得yGt2.再联立x3，y3，所以SOCVGS2t2.由S16S2t2t.当t时，点C的坐标为，经检验C在椭圆内，即直线l与椭圆相交，所以存在t满足题意