2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第10章 第7讲　离散型随机变量及其分布列 WORD版含解析.doc

1、第7讲离散型随机变量及其分布列考纲解读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2能确定随机变量，求出随机变量发生的概率，正确列出分布列(重点、难点)3理解超几何分布，并能进行简单的应用考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点内容预测2021年将会考查：与排列组合及统计知识结合的分布列；与独立重复事件结合的分布列试题以解答题的形式呈现，以现实生活中的事例为背景进行考查，试题难度不大，属中档题型.1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，表示所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量2离散型随机变量

2、的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则表Xx1x2xixnPp1p2pipn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列(2)离散型随机变量的分布列的性质pi0(i1,2，n)；i1.3常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X服从两点分布，即其分布列为X01P1pp，其中pP(X1)称为成功概率(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，其中

3、mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.X01mP如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布1概念辨析(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布()(4)若随机变量X的分布列由下表给出，X25P0.30.7则它服从两点分布()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，那么的可能取值为()A0,1 B1,2 C0,1,2 D0,1,2,3答案C解析由于只有2件

4、次品，所以的可能取值为0,1,2.(2)设随机变量X的分布列如下X12345Pp则p为()A. B. C. D.答案C解析由分布列的性质得，p1，解得p.(3)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)等于()A0 B. C. D.答案C解析P(X1)2P(X0)，且P(X1)P(X0)1.所以P(X0).故选C.(4)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是_答案解析设所选女生人数为x，则x服从超几何分布，其中N6，M2，n3，则P(x1)P(x0)P(x1).题型一离散型随机变量分布列的性质1(2019乐山

5、三模)设随机变量X的概率分布表如表，X1234Pm则P(|X2|1)()A. B. C. D.答案C解析由|X2|1，可解得x3或x1，再由分布列的性质可得m1，P(|X2|1)P(X1)P(X3).2设随机变量的分布列Pak(k1,2,3,4,5)(1)求常数a的值；(2)求P；(3)求P.解由已知分布列如下Pa2a3a4a5a(1)由a2a3a4a5a1，得a.(2)PPPP(1).(3)因为只有，满足，故PPPP.结论探究在本例中的条件下，求51的分布列解由举例说明解析得的分布列如下P所以51的分布列如下5101234P1分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的

6、值及检查分布列的正确性(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率提醒：求分布列中的参数值时，要保证每个概率值均为非负数2随机变量X的线性组合的概率及分布列问题(1)随机变量X的线性组合aXb(a，bR)是随机变量(2)求aXb的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列.1设X是一个离散型随机变量，其分布列如下X101P23qq2则q的值为()A1 B.C. D.答案C解析由分布列的性质知解得q.2(2019曲靖二模)已知随机变量的分布列如下210123P若P(2x)，则实数x的取值范围是()A4x9 B4x9Cx9答案A解析

7、由随机变量的分布列，得2的可能取值为0,1,4,9，且P(20)，P(21)，P(24)，P(29)，由P(2x)，所以实数x的取值范围是4x9.题型二求离散型随机变量的分布列(2019长春模拟)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行了统计：点击量0,1000(1000,3000(3000，)节数61812(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数；(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间0,1

8、000内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000,3000内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列解(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3000的节数为62.(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间0,1000内的有1节，点击量在区间(1000,3000内的有3节，故X的可能取值为0,20,40,60.P(X0)，P(X20)，P(X40)，P(X60)，则X的分布列如下X0204060P离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明确取值：明确随机变量的可能取值有

9、哪些，且每一个取值所表示的意义(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率(3)画表格：按规范要求形式写出分布列(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确提醒：求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和.抛掷一枚质地均匀的硬币3次(1)写出正面向上次数X的分布列；(2)求至少出现两次正面向上的概率解(1)X的可能取值为0,1,2,3.P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3).所以X的分布列如下X0123P(2)至少出现两次正面向上的概率为P(X2)P(X2)P(X3).题型三超几何分布2019年8月的台风“利奇

10、马”对我国多个省市的财产造成了重大损害，据统计直接经济损失达537.2亿元某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成5组：0,2000，(2000,4000，(4000,6000，(6000,8000，(8000,10000(单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图(1)试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户中损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X，求X的分布

11、列解(1)记每个农户的平均损失为元，则(10000.0001530000.0002050000.0000970000.0000390000.00003)20003360.(2)由频率分布直方图，得损失超过4000元的农户共有(0.000090.000030.00003)20005015(户)，损失超过8000元的农户共有0.000032000503(户)，随机抽取2户，则X的可能取值为0,1,2；计算P(X0)，P(X1)，P(X2)，所以X的分布列如下X012P1超几何分布的两个特点(1)超几何分布是不放回抽样问题(2)随机变量为抽到的某类个体的个数2超几何分布的应用条件(1)考察对象分两类

12、(2)已知各类对象的个数(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布3求超几何分布的分布列的步骤已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率解(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7

13、人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)所以，随机变量X的分布列如下X0123P设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则ABC，且B与C互斥，由知，P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，故P(A)P(BC)P(X2)P(X1).所以，事件A发生的概率为.组基础关1抛掷两颗骰子，所得点数之和为，那么“4”表示的随机试验结果是()A一颗是3点，另一颗是1点B两颗都是2点C两颗都是4点D一颗是3点

14、，另一颗是1点或两颗都是2点答案D解析A，B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4；而D是4代表的所有试验结果故选D.2设离散型随机变量的分布列如下01234P则|1|的分布列为()A.|1|123PB.|1|123PC.|1|0123PD.|1|0123P答案D解析由已知得，|1|的所有可能取值为0,1,2,3.P(|1|0)P(1)，P(|1|1)P(0)P(2)，P(|1|2)P(3)，P(|1|3)P(4).所以|1|的分布列为D.3某一随机变量的概率分布如下，且m2n1.2，则m()0123p0.1mn0.1A0.2 B0.2 C0.1 D0.1答案B解析由mn0.21，m2n1.

15、2，可得mn0.4，所以m0.2.故选B.4设随机变量的分布列为P(i)ai，i1,2,3，则a()A1 B. C. D.答案D解析P(1)P(2)P(3)1，即a（）2（）31，解得a.故选D.5一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是()AP(0X2) BP(X1)CP(X1) DP(X2)答案B解析由题意可知，P(X1)，P(X0)，表示取1个白球或者一个白球都没有取得，即P(X1)6若随机变量X的分布列如下，X210123P 0.10.20.20.30.10.1 则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是()A(，

16、2 B1,2 C(1,2 D(1,2)答案C解析由随机变量X的分布列，知P(X1)0.1，P(X0)0.3，P(X1)0.5，P(X2)0.8，则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是(1,2故选C.7离散型随机变量X的概率分布规律为P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常数，则P（X）的值为()A. B. C. D.答案D解析由（）a1，得a1，解得a.故P（X）P(X1)P(X2).8一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的(至少使用过一次)，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)的值为_答案解析由题意，得X4是指取出的

17、3个球中有2个旧的1个新的，所以P(X4).9从含有2个红球和4个黑球的盒子中任意摸出4个球，假设每个球被摸到的可能性相同，记摸出的4个球中黑球数与红球数的差的绝对值为，则的分布列为_答案024P解析由题意，得的可能取值为0,2,4，则P(0)，P(2)，P(4)，所以的分布列如下024P10一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积X的分布列为_答案X0124P解析随机变量X的可能取值为0,1,2,4，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X4)，所以分布列为X0124P组能力关1(2020长沙质检)一个不

18、透明的袋内装有m个白球，nm个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是()AP(X3) BP(X2)CP(X3) DP(X2)答案D解析当X2时，即前2个取出的是白球，第3个是黑球，前2个取出白球，有A种取法，再任意取出1个黑球即可，有C种取法，而这3次取球可以认为按顺序排列，此排列顺序即可认为是依次取球的顺序，即A，P(X2).2(2019西安质检)已知随机变量的分布列如下，012Pabc其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)x22x有且只有一个零点的概率为()A. B. C. D.答案B解析由题意，知a，b，c0,1，且解得b，又函数f(x)

19、x22x有且只有一个零点，故对于方程x22x0，440，解得1，所以P(1).3已知某一离散型随机变量X的分布列如下，X0123P0.1m4n0.1则的最小值为_答案解析由题意，得m4n0.21，m0，n0.即m4n，(m4n)1.所以(m4n)(52)，当且仅当即m2n，n，m时，“”成立4若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但

20、不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列解(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C84，随机变量X的取值为0，1,1，因此P(X0)，P(X1)，P(X1)1.所以X的分布列如下X011P组素养关1(2019长春二模)某研究机构随机调查了A，B两个企业各100名员工，得到了A企业员工收入的频数分布表以及B企业员工收入的统计图如下A企业：工资人数2000,3000)53000,4000)104000,5000)205000

21、,6000)426000,7000)187000,8000)38000,9000)19000,100001B企业：(1)若将频率视为概率，现从B企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；(2)若从A企业收入在2000,5000)的员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在3000,4000)内的人数X的分布列；若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由解(1)由饼状图知，工资不低于5000元的有68人，故从B企业中随机抽取一名员工，该员工收入不低于5000元的概率为0.68.(2)A

22、企业员工收入在2000,3000)，3000,4000)，4000,5000)三个不同层次的人数比为124，即按照分层抽样的方式所抽取的7人收入在3000,4000)的人数为2.X的可能取值为0,1,2，因此P(X0)，P(X1)，P(X2)，得X的分布列如下，X012PA企业的员工平均收入为(25005350010450020550042650018750038500195001)5260，B企业的员工平均收入为(250023500745002355005065001675002)5270.参考答案一：选B企业，由于B企业员工的平均收入高参考答案二：选A企业，A企业员工的平均收入只比B企业低

23、10元，但是A企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的参考答案三：选B企业，由于B企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少(如有其他情况，只要理由充分，也可给分)2某班级50名学生的考试分数x分布在区间50,100)内，设考试分数x的分布频率是f(x)且f(x)考试成绩采用“5分制”，规定：考试分数在50,60)内的成绩记为1分，考试分数在60,70)内的成绩记为2分，考试分数在70,80)内的成绩记为3分，考试分数在80,90)内的成绩记为4分，考试分数在90,100)内的成绩记为5分在50名学生中用分层抽样的方法，从成绩为1分、2分及3分的学生中随机抽出6人，再从这6人中随机抽出3人，记这3人的成绩之和为(将频率视为概率)(1)求b的值，并估计该班的考试平均分数；(2)求P(7)；(3)求随机变量的分布列解(1)因为f(x)所以1，所以b1.9.估计该班的考试平均分数为556575859576.(2)由题意可知，考试成绩记为1分，2分，3分，4分，5分的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.3,0.1，按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分，2分，3分的学生中抽出1人，2人，3人，再从这6人中抽出3人，所以P(7).(3)由题意，知的可能取值为5,6,7,8,9，P(5)，P(6)，P(7)，P(8)，P(9).所以的分布列如下56789P