高中数学课件：3.2.2 最大值 最小值问题 北师大版选修2-2.ppt

1、 求极值的步骤：1.求导数；2.解方程；3.对于方程的每一个解，分析在左右两侧的符号，确定极值点：在两侧若的符号（1）“左正右负”，则为极大值点；（2）“左负右正”，则为极小值点；（3）相同，则不是极值点；复习回顾极值是函数的局部性质，而不是在整个定义域内的性质，即：如果是的极大(小)值点，那么在附近找不到比更大(小)的值。但是，解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关心在某个区间上，函数的哪个值最大，哪个值最小。若是在上的最大(小)值点，则不小(大)于在此区间上的所有函数值。由图知，最大(小)值在极大(小)值点或区间的端点处取得。xyo abxyo a(b)概括思考：如何求函数的最大(小)

2、值？问题：对于函数的最值概念的学习，你认为有哪些方面是值得注意的？例1 求函数在区间上的最值。例2 边长为 48 cm 的正方形铁皮，四角各截去一大小相同的正方形后折起，可做成无盖的长方体容器，其容积 V 是关于截去小正方形边长 x 的函数。（1）随 x 的变化，容积 V 如何变化？（2）截去小正方形边长为多少时，容积最大？最大容积是多少？分析分析例3 对于企业来说，生产成本、销售收入和利润是重要的问题。对一家药品生产企业的研究表明，生产成本 y(万元)和生产收入 z(万元)都是产量 x(吨)的函数，分别为（1）写出企业的生产利润 w 与产量 x 的函数关系；（2）当产量是多少时，可以获得最大

3、利润？最大利润时多少？解答1.求函数在区间-1，2上的最值。2.已知函数，（1）求f(x)单调减区间；（2）若f(x)在-2，2上的最大值是20，求它在该区间上的最小值。动手做一做例33.设一容积 V 一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的 3 倍，问如何设计使得总造价最小？提示：设圆柱高 h，底半径 r，单位面积铁的造价为 m，桶总造价为 y，则时总造价最小。动手做一做小结若是在上的最大(小)值点，则不小(大)于在此区间上的所有函数值。函数的最大(小)值：求最值的步骤：（1）求 f(x)在(a，b)内的极值；（2）将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中

4、最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。结束分析：最值是在极值点或者区间的端点取得的，所以要想求最值，应首先求出函数的极值点，然后将所有的极大(小)值与端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值。20+004+-解：求导得令，得5-11极大值极小值xyo-2通过比较可知：函数在区间上的最大值是 f(2)=5；最小值是 f(-2)=-11；列表可知，是函数的极大值点，是极小值点，计算极值和端点的函数值得概括分析：解决实际应用问题，首先要分析并列出函数关系，要注意根据实际意义写出定义域。求函数值的变化情况即单调性，求导判断导数符号即可，求最值就是求导、解方程求出极值点，最后通过

5、比较函数值写出最值。解：求导得，令，得+0极大值-vo248192x8分析可知，x=8 是极大值点，极大值为V=f(x)在上递增，在上递减。由表知：（2）由函数的单调性和图像可知，x=8时最大值点，此时V=f(8)=即当截去小正方形边长为 8 cm时，得到最大容积为。解：（1）利润=收入-成本，所以 w=z y，（2）令得分析可知是极大值点，又由计算得所以，当产量为15吨时，最大利润时1340万元。概括（1）函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小者。（2）函数的最大值和最小值是比较整个定义区间的所有函数值得到的；极大值和极小值是比较极值点附近的函数值得出的。极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点取得。注意：概括总结返回求最值的步骤：（1）求 f(x)在(a，b)内的极值；（2）将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。概括总结练习日常生活中，人们常常会遇到这样的一些问题，在一定条件下，怎样使得“用料最省”“利润最大”“成本最低”“选址最优”等等。这类问题一般都可以利用导数的知识得到解决。概括总结练习