小学数学趣题巧算百题百讲百练几何部分.doc

1、小学数学趣题巧算百题百讲百练-几何部分数学网为广大小学生和家长整理的小学数学趣题巧算百题百讲百练系列，包括计算、几何、应用题、杂题以及各部分练习题，每部分都有100道精选例题及讲解，以提高广大小学生的综合解题能力。本篇为几何部分。小学生学习几何初步知识，不仅要掌握一些基本的平面图形和立体图形的性质、特征，还要会求这些平面图形的周长、面积及这些立体图形的表面积、体积，而且还要会综合地、巧妙地运用这些知识来进行计算。特别是计算一些组合图形的面积时，常常用到割补、剪拼、平移、翻转等办法，使得计算巧妙、简便。要学会这些方法，应用这些方法。通过解几何题的训练，更好地培养空间想象力，这对学好小学几何初步知

2、识是极有利的，同时也为将来到中学进一步学习几何知识，打下良好而坚实的基础。例21 下图中圆O的面积和长方形OABC的面积相等。已知圆O的周长是9.42厘米，那么长方形OABC的周长是多少厘米？分析与解 题中告诉我们，圆O的面积和长方形OABC的面积相等。我们知道，圆的面积等于rr，而图中圆O的半径恰好是长方形的宽，因此长方形OABC的长正好是r，即圆O的周长的一半。而长方形的周长等于2个长与2个宽的和，也就是圆O的周长与直径的和。长方形OABC的周长是：9.42+9.423.14=9.42+3=12.42（厘米）答：长方形OABC的周长是12.42厘米。例22 桌面上有一条长80厘米的线段，另

3、外有直径为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、8厘米的圆形纸片若干张，现在用这些纸片将桌上线段盖住，并且使所用纸片圆周长总和最短，问这个周长总和是多少厘米？分析与解 要想盖住桌上线段，并且使所用纸片圆周长总和最短，那么盖住线段的圆形纸片应该是互不重叠，一个挨一个地排开，这时若干个圆形纸片直径的总和正好是80厘米。这些圆形纸片周长的总和与直径为80厘米的圆的周长相等，因此盖住桌子上线段的若干个圆形纸片的周长总和是：3.1480=251.2（厘米）答：这个周长总和是251.2厘米。例23 图2为三个同心圆形的跑道，跑道宽1米。某人沿每条圆形跑道的中间（虚线所示）各跑了1圈，共3圈。他一共跑了多

4、少米？分析与解 根据题意，要求某人一共跑了多少米，就是求半径分别为1.5米、2.5米和3.5米的三个圆的周长之和。列式为3.14（1.52）+3.14（2.52）+3.14（3.52）3.143+3.145+3.147=3.14（3+5+7）=3.1415=47.1（米）还可以这样思考：如果这个人拿着一个1米宽的拖把，边跑边拖地，他跑了1个圆圈，就把这一圈的跑道全拖干净。那么他跑了3个圆圈，就把这三条圆形跑道全拖干净了。他共拖了3个环形面积的地。这3个环形面积的总和是3.14（42-32）+3.14（32-22）+3.14（22-12）=3.14（42-32+32-22+22-12）=3.14

5、（42-12）=3.14-（4+1）（4-1）=3.1415=47.1（平方米）当然，也可以直接列式：3.14（42-12）=47.1（平方米）因为跑道宽1米，这个人拖完47.1平方米，那么他就前进了47.1米。答：一共跑了47.1米。这里列举的只是某人跑了3个圆形跑道。如果将题改为跑100个这样的圆形跑道，那么用后面介绍的解法计算他跑步的总长度，就简捷多了。解法如下：3.14（1012-12）=3.14（101+1）（101-1）=3.14102100=32028（平方米）因为跑道宽1米，所以共跑了32028米。例24 在面积是40平方厘米的正方形中，有一个最大的圆（如图3）。这个圆的面积是

6、多少平方厘米？分析与解 要求圆的面积，就要先求出圆的半径。题中告诉我们，正方形的面积是40平方厘米，正方形的边长的一半，也就是图中圆的半径。对小学生来讲，从正方形的面积求正方形的边长，还不会直接计算。可以这样思考：把正方形平均分成4份（如图4）。每个小正方形的面积是404=10平方厘米。小正方形的边长恰好是圆的半径，因此圆的半径的平方恰好是10平方厘米。这样就可以求出圆的面积是3.1410=31.4平方厘米了。答：图中圆面积是31.4平方厘米。例25 图5由正方形ABCD和长方形EFDG部分重叠而成。正方形的边长是247.8厘米；长方形的长是292.404厘米、宽是210厘米，正方形和长方形哪

7、个面积大？分析与解 要比较正方形ABCD和长方形EFDG面积的大小，方法是分别算出它们的面积再进行比较。从题中给出的数据看，确实给计算带来麻烦。只要在AF两点间连一条线段（如图6），就会发现，三角形 AFD的面积是正方形 ABCD面积的一半，同时也是长方形EFDG面积的一半，所以正方形ABCD和长方形EFDG的面积一样大。这样，也就不用计算这两个图形的面积了。例26 图7由半圆和等腰直角三角形重叠而成。已知等腰直角三角形的直角边长为4厘米，求图中阴影面积。分析与解 如果分别算出两个阴影部分的面积，再把它们加起来，以便求出图中阴影部分的总面积，那就太复杂了。根据题中的条件，我们可以把图中弓形阴影

8、剪下来拼（或旋转）成图8。从图8不难看出，题中要求的阴影部分的面积就是三角形 ABC面积的一半。图中的阴影面积是：（442）2=4（平方厘米）答：图中阴影面积是4平方厘米。例27 有5个正方形（如图9），边长分别是1米、2米、3米、4米、5米。问图中白色部分面积与阴影部分面积的比是几比几？分析与解 观察已知图形，显然，先计算出白色面积比较简单。白色部分面积是：（22-12）+（42-32）=10（平方米）阴影部分面积是：52-10=15（平方米）因此，白色部分面积与阴影部分面积之比是：1015，即23。还可以这样想：作正方形的对角线AD和BC，两条对角线相交于O，于是两条对角线把正方形平均分成

9、四部分（如图10）。要计算整个图形中白色部分面积与阴影部分面积的比，只需计算三角形AOB中白色部分面积与阴影部分面积的比就可以了。在三角形AOB中，可把白色的和阴影的两部分图形都看作是一些梯形，其中把最上端的小阴影三角形看作是上底为O的梯形。这些梯形的高都相等，所以这些梯形面积之比就是这些梯形上、下底的和之比。从小到大，5个梯形面积比是：1（1+2）（2+3）（3+4）（4+5）=13579因此，图中白色部分面积与阴影部分面积的比是：（3+7）（1+5+9）=23答：图中白色部分面积与阴影部分面积比是23。例28 有一个直角梯形ABCD，已知AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AB

10、F的面积比三角形EFD的面积大17.4平方厘米，那么ED长多少厘米？分析与解 连接DB（图12）。已知三角形ABF比三角形EFD的面积大17.4平方厘米，所以三角形ABD比三角形BED的面积也大17.4平方厘米。三角形BDE的面积是：24-17.4=6.6（平方厘米）。而三角形 BDE的面积等于EDBC1/2即ED61/2=6.6所以ED长是2.2厘米。答：ED的长是2.2厘米。例29 图13由4个正六边形拼成，每个正六边形的面积都是6，那么三角形ABC的面积是多少？分析与解 首先连接每个正六边形的对角线，将每个六边形平均分成六个小的正三角形（如图14），那么每一个小三角形的面积都是1。由图1

11、4不难看出：三角形ABC是由三角形DEF、三角形AEB、三角形BDC和三角形CFA组成的，其中三角形DEF的面积是4，而其它的三个三角形面积都相等。先看三角形ABE。它正好是平行四边形AGBE的一半，而平行四边形AGBE的面积是6，因此，三角形ABE的面积是3。当然，三角形BDC和三角形CFA的面积也是3。由此得出三角形ABC的面积是4+33=13答：三角形ABC的面积是13。例30 已知图15中正方形ABCD的面积是256平方厘米，那么正方形EFGH的面积是多少平方厘米？分析与解 将图15中正方形A0BCD旋转成图16。由图中不难看出：正方形 A BCD的面积是正方形ABCD面积的1/2；正

12、方形EFGH的面积是正方形ABCD的面积的1/2。因此，正方形已知正方形ABCD的面积是256平方厘米，所以正方形EFGH的面积是答：正方形EFGH的面积是64平方厘米。例31 图17是一个正方形地板砖示意图，在大正方形ABCD中，AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=DD2，中间小正方形 EFGH的面积是16平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？分析与解 连AC和BD两条大正方形的对角线，它们相交于O，然后将三角形AOB放在DPC处（如图18和图19）。已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米，所以小正方形EFGH的边

13、长是4厘米。又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是722=36平方厘米，即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长就是6厘米。由此得出，正方形OCPD的边长是4+6=10厘米，当然正方形OCPD的面积就是102，即100平方厘米。而正方形OCPD的面积恰好是正方形ABCD的面积的一半，因此正方形ABCD的面积是200平方厘米。答：正方形ABCD的面积是200平方厘米。例32 一个任意凸六边形ABCDEF，P、Q、M、N分别为AB、BC、DE和EF边上的中点。已知阴影部分的面积是100平方厘米，那么六边形ABCDEF的面积是

14、多少平方厘米？分析与解 连接BF、 BE、 BD，在三角形ABF中，P是AB的中点，那么三角形BPF和三角形APF是等底等高的三角形。因此三角形BPF和三角形APF的面积相等。同理，由于N为EF中点，所以三角形FNB和三角形 ENB的面积相等；由于M为DE中点，所以三角形DMB和三角形EMB的面积相等；由于Q为BC中点，所以三角形BQD和三角形CQD的面积相等。由此得出：三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=三角形APF+三角形CQD+三角形EMB+三角形ENB。而三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=阴影面积=100平方厘米，所以三角形APF+三角形CQD

15、+三角形EMB+三角形ENB=空白部分面积=100平方厘米。因此，六边形 ABCDEF的面积为1002=200平方厘米。答：六边形ABCDEF的面积是200平方厘米。例33 图21是一个圆形钟面，圆周被平均分成了12等份。已知圆形的半径是6厘米，那么图中阴影的面积是多少平方厘米？分析与解 题中告诉我们：圆周被平均分成了12等份，因此连接OE，由图中不难看出：三角形AOB与三角形EOB是等底同高的三角形，这两的面积相等。于是图中阴影的面积是：答：阴影的面积是18.84平方厘米。例34图 23中四边形ABCD是一个正方形。E、F分别为CD和BC边上的中点。已知正方形ABCD的边长是30厘米，那么图

16、中阴影部分的面积是多少平方厘米？分析与解 已知四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD边与BC边上的中点，因此，三角形BCE和三角形DCF面积相等。这两个三角形的面积各自减去四边形GFCE的面积，各自剩下的三角形GBF和三角形GDE面积还是相等的。连接GC（如图24），三角形GBF面积和三角形GCF的面积是相等的，因为这两个三角形等底同高。同理，三角形GCE面积和三角形GDE的面积也是相等的。而三角形GBF的面积和三角形GDE的面积相等，因此，三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE及三角形GDE是具有相等面积的四个三角形。因为三角形BCE的面积等于正方形ABCD面积的1/4，所以图中空白部分

17、的面积，即三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE、三角形GDE的面积之和为正方形ABCD面积的从而得出图中阴影部分的面积为正方形ABCD面积的那么阴影部分的面积是：答：图中阴影部分的面积是600平方厘米。例35 为了美化校园，东升小学用鲜花围成了两个圆形花坛。小圆形花坛的面积是3.14平方米，大圆形花坛的半径是小圆形花坛半径的2倍。大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大多少平方米？分析与解 我们知道圆的面积与半径的平方成正比。题中告诉我们，大圆的半径是小圆半径的2倍，那么大圆面积是小圆面积的22倍。大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大3.14（22-1）=3.143=9.42（平方米）答：大圆

18、形花坛的面积比小圆形花坛的面积大9.42平方米。例36 有两个长方形，甲长方形的长是98769厘米，宽是98765厘米；乙长方形的长是98768厘米，宽是98766厘米。这两个长方形的面积哪个大？分析与解 利用长方形面积公式，直接计算出面积的大小，再进行比较，这是可行的，但是计算太复杂了。可以利用乘法分配律，将算式变形，再去比较两个长方形的面积大小，这就简便多了。甲长方形的面积是：9876998765=9876898765+98765乙长方形的面积是9876898766=9876898765+98768比较9876898765+98765与9876898765+98768的大小，一眼便能看出：

19、甲长方形的面积小，乙长方形的面积大。还有如下一种思考解答方法。请先看看下面的事实。周长相等的两个长方形，长与宽的差越大，则面积就越小；反之，长与宽之差越小，则面积就越大。当然，当长方形长与宽之差为0时，也就是为正方形时，面积则最大。假设有两个长方形的周长是20厘米，那么周长的一半，也就是长与宽的和，是10厘米，列举出一部分长、宽的大小与面积的关系，就会得出上面所讲的事实是存在的，并且是正确的。我们再回到原题。甲、乙两个长方形的长与宽的和是相等的（当然它们的周长也相等），即98769+98765=98768+98766而甲长方形长与宽的差是：98769-98765=4（厘米）乙长方形长与宽的差是

20、：98768-98766=2（厘米）因为4厘米2厘米，所以甲长方形的面积小，乙长方形的面积大。答：乙长方形的面积大。例37 一个红色的正方形ABCD，它的边长是1993厘米；另一个红色的正方形ABCD，它的边长是 1994厘米。一个绿色正方形EFGH，它的边长是1992厘米，另一个绿色正方形EFGH，它的边长是2019厘米。问两个红色的正方形的面积大，还是两个绿色的正方形面积大？分析与解 要比较两个红色的正方形面积大，还是两个绿色的正方形面积大，可以先分别算出它们的面积，然后再进行比较。不过这样计算起来就太复杂了。可以这样比较它们的大小：先将红色正方形ABCD与绿色正方形EFGH重叠在一起（如

21、图26）。从图26不难看出，红色正方形ABCD的面积比绿色正方形EFGH的面积大的平方厘米数是：11992+11+11992=21992+1再将红色正方形ABCD与绿色正方形EFGH重叠在一起（如图27）。从图27不难看出，红色正方形ABCD的面积比绿色正方形EFGH的面积小的平方厘米数是：11994+11+11994=21994+1而21994+121992+1，也就是说绿色正方形EFGH比红色正方形ABCD大的面积数超过红色正方形ABCD比绿色正方形EFGH大的面积数。因此两个绿色正方形的面积大。答：两个绿色正方形的面积大。例38 在长方形ABCD中，AE的长度与ED的长度的比是85；BF

22、的长度与FC的长度的比是117。那么涂红色的两块图形的面积与涂蓝色的两块图形的面积相比较，哪个大？分析与解 要比较涂红色的两块图形的面积大，还是涂蓝色的两块图形的面积大，只要比较三角形AEC和三角形BDF的大小就可以了。因为这两个三角形各自减去重叠的那块四边形，剩下的就是两个涂红色的图形和两个涂蓝色的图形了。因为ABCD是长方形，而三角形AEC和三角形BDF的高都是长方形ABCD的宽，所以比较三角形AEC和三角形BDF的大小时，只要比较AE和BF的大小就可以了。根据已知，AE的长度与ED的长度的比是85，那么AE的长度就占即AEBF，从而得出三角形AEC的面积大于三角形BDF的面积。因此，涂红

23、色的两块图形的面积大于涂蓝色的两块图形的面积。答：涂红色的两块图形的面积大于涂蓝色的两块图形的面积。例39 一块长方形小麦田，被互相垂直的两条直线分成A、B、C、D四部分。A的地积是45公亩，B的地积是20公亩，C的地积是36公亩。那么，D有多少公亩？分析与解 观察图29不难发现，B与C的长是相等的，因此，B与C地积的比就是它们宽的比。A与D的长也是相等的，因此，A与D地积的比也是它们宽的比。而A与B，C与D的宽分别相等，于是AD=BC即 45D=2036D=81答：D有81公亩。例40 有50个表面涂有红漆的正方体，它们的棱长分别是1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、99厘米，将这些正方

24、体锯成棱长为1厘米的小正方体，得到的小正方体中，至少有一个面是红色的小正方体共有多少个？分析与解 棱长为1厘米涂有红漆的小正方体，不用锯，就是棱长1厘米的小正方体，它当然是至少有一个面是红色的小正方体了。将棱长为3厘米的涂有红漆的小正方体，锯成棱长为1厘米的小正方体，共得到33个，其中没有涂红漆的共（3-2）3个。将棱长为5厘米的涂有红漆的小正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，共得53个，其中没有涂红漆的共（5-2）3个。将棱长为7厘米的涂有红漆的小正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，共得73个，其中没有涂红漆的共（7-2）3个。由以上分析、计算发现，将校长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米的四个正

25、方体锯成棱长为1厘米的小正方体后，得到至少有一个面为红色的小正方体共有13+33-（3-2）3+53-（5-2）3+73-（7-2）3=13+33-13+53-33+73-53=13+33+53+73-13-33-53=73=343（个）按照这样的规律可得，将棱长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、99厘米这50个正方体锯成棱长为1厘米的小正方体后，得到至少有一个面为红色的小正方体共有：13+33+53+73+93+973+993-13-33-53-73-93-973=993=970299（个）答：至少有一个面是红色的小正方体共有970299个。例41 有棱长为 1、2、3、99、100

26、、101、102厘米的正方体102个，把它们的表面都涂上红漆，晾干后把这102个正方体都分别截成1立方厘米的小正方体，在这些小正方体中，只有2个面有红漆的共有多少个？分析与解 根据题意，首先应该想到只有2个面有红漆的小正方体，都在原来大正方体的棱上。原来棱长是1厘米、2厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，得不到只有2个面有红漆的小正方体。棱长是3厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，大正方体的每条棱上都有1个小正方体只有2个面有红漆。每个正方体有12条棱，因此可得到 12个只有 2个面有红漆的小正方体，即共有（3-2）12个。棱长为4厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体

27、后，得到只有 2个面有红漆的小正方体共（4-2）12个。依此类推，可得出，将这102个正方体截成1立方厘米小正方体后，共得到只有2个面有红漆的小正方体的个数是：（3-2）+（4-2）+（5-2）+（102-2）12=1+2+3+10012=60600答：只有2个面有红漆的小正方体共有60600个。例42 有一个长方体木块，长125厘米，宽40厘米，高25厘米。把它锯成若干个体积相等的小正方体，然后再把这些小正方体拼成一个大正方体。这个大正体的表面积是多少平方厘米？分析与解 一般说来，要求正方体的表面积，一定要知道正方体的棱长。题中已知长方体的长、宽、高，同正方体的棱长又没有直接联系，这样就给解

28、答带来了困难。我们应该从整体出发去思考这个问题。按题意，这个长方体木块锯成若干个体积相等的小正方体后，又拼成一个大正方体。这个大正方体的体积和原来长方体的体积是相等的。已知长方体的长、宽、高，就可以求出长方体的体积，这就是拼成的大正方体的体积。进而可以求出正方体的棱长，从而可以求出正方体的表面积了。长方体的体积是1254025=125000（立方厘米）将 125000分解质因数：125000=222555555=（255）（255）（255）可见大正方体的棱长是255=50（厘米）大正方体的表面积是50506=15000（平方厘米）答：这个大正方体的表面积是15000平方厘米。例43 一个正方

29、体形状的木块，棱长2分米。沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块（如图30）。这60块长方体表面积的和是多少平方分米？分析与解 解答这道题的最直接的想法是将这大大小小的60个长方体形状的小木块的表面积分别计算出来，然后再求出总和，这样做是可以的，但计算极为复杂。因此解答这题时，应从整体出发，这样，问题就简单多了。这个正方体形木块在未锯成60个长方体形状的小木块前，共有6个面，每个面的面积是22=4平方分米，6个面共24平方分米。不管后来锯成多少块小长方体，这6个面的24平方分米的面积总是后来的小长方体的表面积的一部分。现在我们来考虑将木块每锯一刀

30、的情况。显然，每锯一刀就会增加2个4平方分米的表面积，根据题意，现在一共锯了2+3+4=9刀，共增加了18个4平方分米的表面积。因此，这60块大大小小的长方体的表面积总和是24+418=96（平方分米）或列式为226+（2+3+4）2=46+18=424=96（平方分米）答：60块长方体表面积的和是96平方分米。例44 一个圆柱体，底面半径是5厘米，这个圆柱体的侧面积是100平方厘米。它的体积是多少立方厘米？分析与解 一般的解法是先求出圆柱体的高和底面积，再求圆柱体的体积。圆柱体的高：圆柱体的底面积：3.1452=78.5（平方厘米）圆柱体的体积：我们已知学过，用切拼的方法，可以把一个圆柱体切

31、拼成一个与它等体积的近似的长方体（如图31）观察图31不难发现，圆柱体的体宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。积等于侧面积的一半与底面半径的乘积，即宋以后，京师所设小

32、学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。用这个式子计算题中圆柱体的体积，就比用一般的方法计算要简便多了。“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书

33、先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。孟子中的“先生何为出此言也？”；论语中的“有酒食，先生馔”；国策中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实国策中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于礼记?曲礼，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。答：圆柱体的体积是250立方厘米。