广西柳州市2016届高三数学模拟试卷（理科）（4月份） WORD版含解析.doc

1、2016年广西柳州市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合A=x|x（x2）0，B=2，1，0，1，2，则AB=（）A2，1B1，2C1，0，1，2D0，1，22已知，则复数z在复平面上所对应的点位于（）A实轴上B虚轴上C第一象限D第二象限3已知向量，且，则=（）A1B3C4D54已知命题p：x（0，+），3x2x，命题q：x（，0），3x2x，则下列命题为真命题的是（）ApqBp（q）C（p）qD（p）（q）5设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，点F到渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心

2、率等于（）ABCD36已知函数f（x）=cos（x+）（0）的部分图象如图所示，f（x0）=f（0），则正确的选项是（）A=，x0=1B=，x0=C=，x0=1D=，x0=7阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A2BC1D28在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于的概率为（）ABCD9某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A2B4CD10如图所示，直四棱柱ABCDA1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A1BCD211函数f（x）=为R的单调函数，则实数a的取值范

3、围是（）A（0，+）B1，0）C（2，0）D（，2）12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2，sinA=sinB，则ABC面积的最大值为（）ABCD2二、填空题（本答题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是14（1）（1+x）4的展开式中含x2项的系数为15已知正实数x，y满足xy=x+y，若xym2恒成立，则实数m的最大值是16过抛物线y2=2px（p0）焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，作AC，BD垂直抛物线的准线l于C，D，其中O为坐标原点，则下列结论正确的是（填序号）；存在R，使得

4、成立；=0；准线l上任意一点M，都使得0三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知数列an的前n项和为Sn，满足a1=+3（）证明：an+1是等比数列；（）求数列an的前n项和为Sn18如图，正四棱锥PABCD中，底面ABCD的边长为4，PD=4，E为PA的中点，（）求证：平面EBD平面PAC；（）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值19某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015年的统计数据：年份20112012201320142015居民生活用水量（万吨）236246257276286（）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回

5、归直线方程y=bx+a；（）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量参考公式：20在平面直角坐标系xoy中，动点M到点F（1，0）的距离与它到直线x=2的距离之比为（）求动点M的轨迹E的方程；（）设直线y=kx+m（m0）与曲线E交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点（且C，D在A，B之间或同时在A，B之外）问：是否存在定值k，对于满足条件的任意实数m，都有OAC的面积与OBD的面积相等，若存在，求k的值；若不存在，说明理由21已知函数f（x）=mx（mR）（）当m=0时，求函数f（x）的零点个数；（）当m0

6、时，求证：函数f（x）有且只有一个极值点；（）当ba0时，总有1成立，求实数m的取值范围请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-1：几何证明选讲22如图，AB为O的直径，过点B作O的切线BC，OC交O于点E，AE的延长线交BC于点D（）求证：CE2=CDCB（）若AB=2，BC=，求CE与CD的长选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（为参数）和（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点

7、为O、Q，求|OP|OQ|的最大值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|xa|+m|x+a|（）当m=a=1时，求不等式f（x）x的解集；（）不等式f（x）2（0m1）恒成立时，实数a的取值范围是a|a3或a3，求实数m的集合2016年广西柳州市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合A=x|x（x2）0，B=2，1，0，1，2，则AB=（）A2，1B1，2C1，0，1，2D0，1，2【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可【解答】

8、解：由A中的不等式解得：0x2，即A=0，2，B=2，1，0，1，2，AB=0，1，2，故选：D2已知，则复数z在复平面上所对应的点位于（）A实轴上B虚轴上C第一象限D第二象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面上所对应的点的坐标得答案【解答】解：由，得zi=（1+i）（i1）=2，复数z在复平面上所对应的点的坐标为（0，2），位于虚轴上，故选：B3已知向量，且，则=（）A1B3C4D5【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知结合向量的坐标加法运算求得，进一步求出的坐标，代入向量模的公式得答案【解答】解：，且，解得，=故选：

9、D4已知命题p：x（0，+），3x2x，命题q：x（，0），3x2x，则下列命题为真命题的是（）ApqBp（q）C（p）qD（p）（q）【考点】复合命题的真假【分析】由题意可知p真，q假，由复合命题的真假可得答案【解答】解：由题意可知命题p：x（0，+），3x2x，为真命题；而命题q：x（，0），3x2x，为假命题，即q为真命题，由复合命题的真假可知p（q）为真命题，故选B5设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，点F到渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率等于（）ABCD3【考点】双曲线的简单性质【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得b=2a，由a，b，c的关

10、系和点到直线的距离公式，可得c=a，运用离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：由题意可设F（c，0），渐近线方程为y=x，由题意可得d=b=2a，可得c=a，即有离心率e=故选：C6已知函数f（x）=cos（x+）（0）的部分图象如图所示，f（x0）=f（0），则正确的选项是（）A=，x0=1B=，x0=C=，x0=1D=，x0=【考点】余弦函数的图象【分析】根据f（0）=解出，利用f（x0）=f（0）=解出x0【解答】解：由函数图象可知f（0）=，即cos=，0，=f（x0）=f（0）=，cos（）=，解得x0=1故选：A7阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A2BC1D2

11、【考点】程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟执行程序，可得：i=0，A=2执行循环体，i=1，A=，不满足条件i2016，执行循环体，i=2，A=1；不满足条件i2016，执行循环体，i=3，A=2；不满足条件i2016，执行循环体，i=4，A=，循环下去，而20116=3672，i=2017时，与i=4输出值相同，即A=故选：B8在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】设AC=x，根据圆的面积小于，得到

12、0x1，然后结合几何概型的概率公式进行计算即可【解答】解：设AC=x，若以线段AC为半径的圆面积小于，则x2，则0x1，则对应的概率P=，故选：B9某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A2B4CD【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积求和即可【解答】解：由三视图可得原几何体如图，PO底面ABC，平面PAC底面ABC，而BCAC，BC平面PAC，BCAC该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，ACB为直角所以该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBCP

13、C=，该四面体的四个面中，直角三角形的面积和故选：C10如图所示，直四棱柱ABCDA1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A1BCD2【考点】球内接多面体【分析】设AB=a，BB1=h，求出a2=62h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论【解答】解：设AB=a，BB1=h，则OB=a，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，=3，a2=62h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h2h3，V=66h2，当0h1时，V0，1h时，V0，h=1时，该四棱柱的体积最大，此

14、时AB=2故选：D11函数f（x）=为R的单调函数，则实数a的取值范围是（）A（0，+）B1，0）C（2，0）D（，2）【考点】函数单调性的判断与证明【分析】先求f（x），讨论a的取值从而判断函数f（x）在每段上的单调性，当在每段上都单调递增时求得a0，这时需要求函数ax2+1在x=0时的取值大于等于（a+2）eax在x=0时的取值，这样又会求得一个a的取值，和a0求交集即可；当在每段上都单调递减时，求得2a0，这时需要求函数ax2+1在x=0处的取值小于等于（a+2）eax在x=0处的取值，这样又会求得一个a的取值，和2a0求交集即可；最后对以上两种情况下的a求并集即可【解答】解：f（x）=

15、；（1）若a0，x0时，f（x）0，即函数f（x）在0，+）上单调递增，且ax2+11；要使f（x）在R上为单调函数，则x0时，a（a+2）0，a0，解得a0，并且（a+2）eaxa+2，a+21，解得a1，不符合a0，这种情况不存在；（2）若a0，x0时，f（x）0，即函数f（x）在0，+）上单调递减，且ax2+11；要使f（x）在R上为单调函数，则x0时，a（a+2）0，解得2a0，并且（a+2）eaxa+2，a+21，解得a1，1a0；综上得a的取值范围为1，0）故选：B12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2，sinA=sinB，则ABC面积的最大值为（）ABC

16、D2【考点】正弦定理【分析】由正弦定理和条件得a=b，由余弦定理得到cosC，由平方关系求出sinC，根据面积公式化简ABC的面积S的表达式，利用配方法和二次函数的性质求出面积的最大值【解答】解：sinA=sinB，a=b，由余弦定理及c=2得，cosC=，sinC=，ABC的面积S=absinC=当b2=4时，即b=2，ABC的面积S有最大值是=，故选：B二、填空题（本答题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立

17、方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x+y为y=2x+z由图可知，当直线y=2x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2=故答案为：14（1）（1+x）4的展开式中含x2项的系数为2【考点】二项式系数的性质【分析】根据（1+x）4的展开式通项公式，分析（1）（1+x）4的展开式中含x2项是如何构成的，从而求出结果【解答】解：（1）（1+x）4的展开式中，设（1+x）4的通项公式为Tr+1=xr，（r=0，1，2，3，4）则（1）（1+x）4的展开式中含x2项的系数为=2故答案为：215已知正实数x，y满足

18、xy=x+y，若xym2恒成立，则实数m的最大值是6【考点】基本不等式【分析】求出xy的最大值，问题转化为m24，求出m的最大值即可【解答】解：由x0，y0，xy=x+y2，得：xy4，于是由m2xy恒成立，得：m24，解得：m6，故答案为：616过抛物线y2=2px（p0）焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，作AC，BD垂直抛物线的准线l于C，D，其中O为坐标原点，则下列结论正确的是（填序号）；存在R，使得成立；=0；准线l上任意一点M，都使得0【考点】抛物线的简单性质【分析】由向量的三角形法则，可得正确；运用直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量共线的条件，化简整理，即可判断正确；

19、运用向量的数量积的坐标表示，以及韦达定理，即可判断正确；运用抛物线的定义以及以AB为直径的圆的半径与梯形ACDB的中位线长相等，可得该圆与CD相切，即可判断不正确【解答】解：对于，由+=，可得正确；对于，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得C（，y1），D（，y2），又kOA=，kAD=，设直线AB方程为x=my+代入抛物线的方程，可得y22pmyp2=0，可得y1y2=p2，即有y1（y1y2）=y12y1y2=2px1+p2，则kOA=kAD，即有存在R，使得成立，则正确；对于，=（p，y1）（p，y2）=y1y2+p2=0，可得正确；对于，由抛物线的定义可得|AB|=|AC|+|B

20、D|，可得以AB为直径的圆的半径与梯形ACDB的中位线长相等，即有该圆与CD相切，设切点为M，即有AMBM，则=0，则不正确故答案为：三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知数列an的前n项和为Sn，满足a1=+3（）证明：an+1是等比数列；（）求数列an的前n项和为Sn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（I）Sn+1=Sn+4an+3，可得an+1=4an+3，变形为：an+1+1=4（an+1），利用等比数列的定义即可证明（II）由（I）可得：an+1=4n1，即an=1再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】I）证明：Sn+1=Sn+4an+3，a

21、n+1=4an+3，变形为：an+1+1=4（an+1），an+1是等比数列，首项为，公比为4；（II）解：由（I）可得：an+1=4n1，an=1数列an的前n项和为Sn=n=n18如图，正四棱锥PABCD中，底面ABCD的边长为4，PD=4，E为PA的中点，（）求证：平面EBD平面PAC；（）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定【分析】（I）设AC，BD交点为O，连结PO，则PO平面ABCD，于是POBD，又BDAC，故而BD平面PAC，于是平面EBD平面PAC；（II）以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，则=（1，0，

22、0）为平面PBD的一个法向量，求出cos，则|cos，|即为所求【解答】证明：（I）设AC，BD交点为O，连结PO则O为正方形ABCD的中心，PO平面ABCDBD平面ABCD，POBD四边形ABCD是正方形，BDAC又AC平面PAC，PO平面PAC，ACPO=O，BD平面PAC，又BD平面EBD，平面EBD平面PAC（II）以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，正四棱锥的棱长为4，OA=OB=OD=2，OP=2A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，）=（，2，）显然x轴平面PBD=（1，0，0）是平面PBD的一个法向量，=，|=1，|=2cos=直

23、线BE与平面PBD所成角的正弦值为19某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015年的统计数据：年份20112012201320142015居民生活用水量（万吨）236246257276286（）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程y=bx+a；（）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量参考公式：【考点】线性回归方程【分析】（I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II）由于到2020年用水量趋于稳定，故2023年的用水量约等于2020年的用水量，把

24、x=2020代入回归方程求出用水量的估计值【解答】解：（I）=2013， =260.2，=（2）（24.2）+（1）（14.2）+0+115.8+225.8=130=4+1+0+1+4=10b=13，回归方程为y260.2=13（x2013），即y=13（x2013）+260.2（II）当x=2020时，y=13+260.2=351.2（万吨）答：该城市2023年的居民生活用水量预计为351.2万吨20在平面直角坐标系xoy中，动点M到点F（1，0）的距离与它到直线x=2的距离之比为（）求动点M的轨迹E的方程；（）设直线y=kx+m（m0）与曲线E交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点

25、（且C，D在A，B之间或同时在A，B之外）问：是否存在定值k，对于满足条件的任意实数m，都有OAC的面积与OBD的面积相等，若存在，求k的值；若不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（）设M（x，y），运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，两边平方整理即可得到所求轨迹E的方程；（）联立直线方程和椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，求得C，D的坐标，由OAC的面积与OBD的面积相等|AC|=|BD|恒成立线段AB的中点和线段CD中点重合运用中点坐标公式，解方程可得k的值，即可判断存在【解答】解：（）设M（x，y），由题意可得=，两边平方可得x2+y22x+1

26、=（x24x+4），即有+y2=1，可得轨迹E的方程为+y2=1；（）联立，消去y，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，=16k2m24（1+2k2）（2m22）=8（2k2m2+1），由0，可得m21+2k2（*），设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，由题意可设C（，0），D（0，m），OAC的面积与OBD的面积相等|AC|=|BD|恒成立线段AB的中点和线段CD中点重合即有=，解得k=，即存在定值k=，对于满足条件的m0，且|m|的任意实数m，都有OAC的面积与OBD的面积相等21已知函数f（x）=mx（mR）（）当m=0时，求函数f（x）的零点个数；（）当m

27、0时，求证：函数f（x）有且只有一个极值点；（）当ba0时，总有1成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而得到函数的零点个数；（）求出f（x）的导数得到g（x）=1lnxmx2，求出g（x）的导数，根据函数的单调性证明函数的零点个数即可；（）问题转化为函数h（x）=f（x）x在区间（0，+）递增，由h（x）=（m+1）x（x0），求出h（x）的导数，根据函数的单调性得到m1在（0，+）恒成立，从而求出m的范围【解答】解：（）m=0时，f（x）=，（x0），f（x

28、）=，令f（x）0，解得：0xe，令f（x）0，解得：xe，f（x）在（0，e）递增，在（e，+）递减，f（x）max=f（e）=0，f（）=e0，f（x）在（0，e）有且只有一个零点，xe时，f（x）0恒成立，f（x）在（e，+）无零点，综上，m=0时，f（x）有且只有一个零点；（）证明：f（x）=mx（m0），f（x）=（x0），令g（x）=1lnxmx2，g（x）=2mx0，g（x）在（0，+）递减，g（）=1+0，（emm），g（e）=me20，x0（0，+），使得g（x0）=0，x（0，x0）时，g（x）0，f（x）0，f（x）在（0，x0）递增，x（x0，+）时，g（x）0，f（x

29、）0，f（x）在（0，x0）递减，x=x0是f（x）的极大值点，即m0时，函数f（x）有且只有一个极值点；（）ba0时，总有1成立，即ba0时，总有f（b）bf（a）a成立，也就是函数h（x）=f（x）x在区间（0，+）递增，由h（x）=（m+1）x（x0）得：h（x）=（m+1）0在（0，+）恒成立，即m1在（0，+）恒成立，设k（x）=1，则k（x）=（x0），令k（x）0，解得：x，令k（x）0，解得：0x，k（x）在（0，）递减，在（，+）递增，k（x）min=k（）=1，故所求m的范围是（，1）请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题

30、号.选修4-1：几何证明选讲22如图，AB为O的直径，过点B作O的切线BC，OC交O于点E，AE的延长线交BC于点D（）求证：CE2=CDCB（）若AB=2，BC=，求CE与CD的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（）要证CE2=CDCB，结合题意，只需证明CEDCBE即可，故连接BE，利用弦切角的知识即可得证；（）在Rt三OBC中，利用勾股定理即可得出CE的长，由（1）知，CE2=CDCB，代入CE即可得出CD的长【解答】（）如图示：证明：连接BE，BC为O的切线ABC=90，AB为O的直径AEB=90，DBE+OBE=90，AEO+OEB=90，OB=OE，OBE=OEBDBE=AEO，

31、AEO=CEDCED=CBE，C=CCEDCBE，=，CE2=CDCB；（）OB=1，BC=，OC=，CE=OCOE=，由（）得：CE2=CDCB，=CD，CD=选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（为参数）和（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|OQ|的最大值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）首先把两圆的参数方程转化成直角坐标方程，再把直角坐标方程为转化成极坐标方程（2）根据圆的坐标形式利用

32、两点间的距离公式，再利用换元法进一步求出最值【解答】解：（1）圆C1（为参数），转化成直角坐标方程为：（x2）2+y2=4即：x2+y24x=0转化成极坐标方程为：2=4cos即：=4cos圆C2（为参数），转化成直角坐标方程为：x2+（y1）2=1即：x2+y22y=0转化成极坐标方程为：2=2sin即：=2sin（2）射线OM：=与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q则：P（2+2cos，2sin），Q（cos，1+sin）则：|OP|=，|OQ|=则：|OP|OQ|=设sin+cos=t（）则：则关系式转化为：4=由于：所以：（|OP|OQ|）max=选修4-5：不等式选讲24已

33、知函数f（x）=|xa|+m|x+a|（）当m=a=1时，求不等式f（x）x的解集；（）不等式f（x）2（0m1）恒成立时，实数a的取值范围是a|a3或a3，求实数m的集合【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（）将m=a=1代入（x），通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（）根据绝对值的性质得到2m|a|2，解出a，得到关于m的方程，解出即可【解答】解：（）m=a=1时，|x+1|x1|x，x1时，（x+1）+（x1）x，解得：x2，1x1时，（x+1）+（x1）x，解得：0x1，x1时，（x+1）（x1）x，解得：1x2，综上，不等式的解集是x|x2或0x2；（）f（x）=|xa|+m|x+a|=m（|xa|+|x+a|）+（1m）|xa|2m|a|+（1m）|xa|2m|a|2，解得：a或a，数a的取值范围是a|a3或a3，故=3，解得：m=，实数m的集合是m|m=2016年7月25日