山东省济宁市2013年中考数学专项复习 专题四 函数中因动点产生的相似三角形问题.doc

1、专题四 函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得OBP与OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。 分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的

2、相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 练习1、已知抛物线经过及原点（1）求抛物线的解析式（由一般式得抛物线的解析式为）（2）过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直

3、线于点，直线与直线及两坐标轴围成矩形是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（3）如果符合（2）中的点在轴的上方，连结，矩形内的四个三角形之间存在怎样的关系？为什么？练习2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠，且。（1）判断与是否相似？请说明理由；（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。Oxy练习

4、2图CBED练习3、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为）（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围练习4 (2008广东湛江市) 如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C（1）求A、B、C三点的坐标（2）过点A作APC

5、B交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，点的坐标分别为，ACOBxy（1）求过点的直线的函数表达式；点，（2）在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标；（3）在（2）的条件下，如分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由参考答案例题、解:由题意可设抛物线的解析式为抛物线过原点，.图1抛物线的解析式为,即 如图1,当OB为边即四

6、边形OCDB是平行四边形时,CDOB,由得,B(4,0),OB4.D点的横坐标为6 将x6代入,得y3,D(6,3); 图2根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(2,3), 当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)如图2，由抛物线的对称性可知:AOAB,AOBABO.若BOP与AOB相似,必须有POBBOABPO 设OP交抛物线的对称轴于A点,显然A(2,1)直线OP的解析式为 由,得.P(6,3)过P作PEx轴,在RtBEP中,BE2,PE3,PB4.PBOB,BOPBPO,PB

7、O与BAO不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得BOP与AOB相似. 练习1、解：（1）由已知可得： 解之得，因而得，抛物线的解析式为：（2）存在设点的坐标为，则，要使，则有，即解之得，当时，即为点，所以得要使，则有，即Oxy图1CBED312A解之得，当时，即为点，当时，所以得故存在两个点使得与相似点的坐标为（3）在中，因为所以当点的坐标为时，所以因此，都是直角三角形又在中，因为所以即有所以，又因为，所以练习2解：（1）与相似。理由如下：由折叠知，又，。（2），设AE=3t，则AD=4t。由勾股定理得DE=5t。由（1），得，。在中

8、，解得t=1。OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），点E的坐标为（10，3），设直线CE的解析式为y=kx+b，解得，则点P的坐标为（16，0）。（3）满足条件的直线l有2条：y=2x+12，y=2x12。如图2：准确画出两条直线。练习3解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，由解得此二次函数的表达式为（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似yxBEAOCD在中，令，则由，解得令，得设过点的直线交于点，过点作轴于点点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为要使或，已有，则只需，或成立若是，则有而在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）点的坐标为将点的坐标代入

9、中，求得满足条件的直线的函数表达式为或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为此时易知，再求出直线的函数表达式为联立求得点的坐标为若是，则有而在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）点的坐标为将点的坐标代入中，求得满足条件的直线的函数表达式为存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点将点的坐标代入中，求得此直线的函数表达式为设点的坐标为，并代入，得解得（不合题意，舍去）点的坐标为此时，锐角又二次函数的对称轴为，点关于对称轴对称的点的坐标为当时，锐角；当时，锐角；当时，锐角练习四解：（1）令，得 解得

10、令，得 A B C （2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB=过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=，则PE= P点P在抛物线上 解得，（不合题意，舍去）PE=四边形ACBP的面积=ABOC+ABPE=(3) 假设存在PAB=BAC = PAACGM图2CByPAMG轴于点G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=在RtPAE中，AE=PE= AP= 设M点的横坐标为，则M 点M在轴左侧时，则() 当AMG PCA时，有=GM图3CByPAAG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）() 当MAG PCA时有=即 解得：（舍去） M 点M

11、在轴右侧时，则 () 当AMG PCA时有=AG=，MG= 解得（舍去） M () 当MAGPCA时有= 即 解得：（舍去） M存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为，练习5、解：（1）点，点坐标为设过点的直线的函数表达式为，图1由 得，直线的函数表达式为（2）如图1，过点作，交轴于点，在和中， ，点为所求又，（3）这样的存在图2在中，由勾股定理得如图1，当时，则，解得如图2，当时，则，解得例1(2008福建福州)如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2c

12、m/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t2时，判断BPQ的形状，并说明理由；（2）设BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR/BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，APRPRQ？分析:由t2求出BP与BQ的长度,从而可得BPQ的形状;作QEBP于点E,将PB,QE用t表示,由=BPQE可得S与t的函数关系式;先证得四边形EPRQ为平行四边形,得PR=QE,再由APRPRQ,对应边成比例列方程,从而t值可求.解:(1)BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=21=2,BQ=22=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,即

13、BQ=BP.又因为B=600,所以BPQ是等边三角形.(2)过Q作QEAB,垂足为E,由QB=2t,得QE=2tsin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以=BPQE=(6-t)t=t2+3t；(3)因为QRBA,所以QRC=A=600，RQC=B=600，又因为C=600,所以QRC是等边三角形,这时BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQcos600=2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP=QR,又EPQR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=t,由APRPRQ,得到,即,解得t=,所以当t=时, APRPRQ.点

14、评: 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.例2(2008浙江温州)如图，在中，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动设，（1）求点到的距离的长；（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由 分析:由BHDBAC,可得DH;由RQCABC,可得关于的函数关系式;由腰相等列方程可得的值;注意需分类讨论.解：（1），点为中点，（2），即关于的函数关系式为：（3）存在.按腰相等分三种情况：ABCDERPHQM21当时，过点作于，则，ABCDERPHQ，当时，当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，综上所述，当为或6或时，为等腰三角形点评:建立函数关系式,实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示;要求使为等腰三角形的的值,可假设为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设中没有指明等腰三角形的腰,故还须分类讨论.