2021年高考数学三轮冲刺训练 计数原理及二项式定理（含解析）.doc

1、计数原理及二项式定理1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题2、二项展开式定理的问题是高考命题热点之一.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用.一、 排列、组合1. 分类加法计数原理完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_m1m2mn_种不同的方法2. 分步乘法计数原理完成一件

2、事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_m1m2mn_种不同的方法3. 排列与排列数(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的_一个排列_(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的_排列数_，用符号_A_表示(3)排列数公式：An(n1)(n2)(nm1)(n，mN*，并且mn)An(n1)(n2)321n！，规定0！14. 组合与组合数(1)组合：一般地，从n个不同

3、元素中取出m(mn)个元素合并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的_一个组合_(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的_组合数_，用符号_C_表示(3)组合数公式：C(n，mN*，并且mn)(4)组合数的性质：性质1：CC性质2：CCC性质3：mCnC二、 二项式定理1 二项式定理的展开式公式：(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)这个公式表示的定理叫做二项式定理在上式中右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数C(k0，1，n)叫做二项式系数，式中的Cankbk叫做二项展开式的通项，用Tk1

4、表示，即Tk1Cankbk2. 二项展开式形式上的特点(1)项数为n1(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂_排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式系数从C，C，一直到C，C一、杨辉三角”与二项式系数的性质(1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和(2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CC(3)增减性与最大值：二项式系数C，当k时，二项式系数逐渐增大；当k时，二项式系数逐渐减小当n是偶数时，中间一项的二

5、项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大(4)各二项式系数的和：(ab)n的展开式的各项二项式系数之和为2n，即CCC2n.(5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即CCCC2n1二、排列、组合的方法技巧1、特殊位置、特殊元素优先安排2、插空法3、捆绑法1 的展开式中x3y3的系数为A5B10C15D20【答案】C【解析】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C.2 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名

6、，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A120种B90种C60种D30种【答案】C【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C3在的展开式中，的系数为AB5CD10【答案】C【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.4（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为A12B16C20 D24【答案】A【解析】由题意得x3的系数为，故选A【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数5 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小

7、区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_种【答案】【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，先取2名同学看作一组，选法有：.现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种，故答案为：.6 的展开式中常数项是_（用数字作答）【答案】【解析】其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数项是：.故答案为：.7在的展开式中，的系数是_【答案】10【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得所以的系数为故答案为：【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题8二项展开式，则_，_【答案】80；1

8、22【解析】的通项为，令，则，故；.故答案为：80；122.【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.9在二项式的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的个数是_【答案】 【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项故答案为：，10从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种（用数字填写答案）【答案】16【解析】根据题意，没有女生入选有种选法，从6名学生中任意选3人有种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有种，故答案为：1611从1，3，5，7，9中任取2个数

9、字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答)【答案】1260【解析】若不取0，则排列数为；若取0，则排列数为，因此一共可以组成个没有重复数字的四位数故答案为：126012二项式的展开式的常数项是_【答案】7【解析】二项式的展开式的通项公式为，令得，故所求的常数项为故答案为：713在的展开式中，的系数为_【答案】【解析】二项式的展开式的通项公式为，令可得：，则的系数为：故答案为：14设已知（1）求n的值；（2）设，其中，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，因为，所以，解得（2）由（1）知，解法一：因为，所以，从而解法二：因为，所以因此一

10、、 单选题1、2月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑雪世界锦标赛，现组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为A12 B24 C36 D48【答案】C【解析】若小张、小赵中有一人入选，则有选法 C21C21A3324 种；若小张、小赵都入选，则有选法 A22A3212 种，所以共有选法 12+24=36 种，故选 C.2、 展开式中的系数为（ ）A-112B28C56D112【答案】D【解析】由取，得展开式中的系数为故选：D.3、

11、的展开式的中间项为（ ）A-40BC40D【答案】B【解析】的展开式的通项为则中间项为.故选：B.4、若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）A60B120C160D240【答案】D【解析】二项式的展开式中二项式系数之和为则，所以二项式的展开式的通项公式为 要使展开式中含，则，所以系数为：故选：D5、的展开式中的系数为（ ）.A16B18C20D24【答案】C【解析】的展开式的通项为，所以的展开式中含的项为，所以的展开式中的系数为，故选：C.二、 多选题6、为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每

12、周一门，连续开设六周.则（ ）A某学生从中选3门，共有30种选法B课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法【答案】CD【解析】6门中选3门共有种，故A错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故B错误；课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确故选：CD7、若，则（ ）ABCD【答案】ABD【解析】令，则，A对，令，则，令，则，B对，C错，令，则，又，则，D对，故选：ABD

13、.8、若，且，则下列结论正确的是（ ）AB展开式中二项式系数和为C展开式中所有项系数和为D【答案】ACD【解析】对于A，令，可得，即，即，令，得，即，由于的展开式中，所以，所以-得：，而，所以，解得：，故A正确；对于B，由于，则，所以展开式中二项式系数和为，故B错误；对于C，由于，则的所有项系数为，故C正确；对于D，由于，则，等式两边求导得：，令，则，故D正确.故选：ACD.9、在的展开式中，下列说法正确的有( )A所有项的二项式系数和为128 B所有项的系数和为0C系数最大的项为第4项和第5项 D存在常数项【答案】AB【解析】：的展开式的各个二项式系数的和等于，即，27=128，所以A对；求

14、二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，令x=1，系数和为0.所以B对；求展开式系数最大项：如求 ()的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用从而解出k来，即得，由于中不含每一项系数，为1和-1，则系数最大值与有关，4项和第5项一负一正，所以C是错的；二次项次数是奇次，所以不可能出现常数项，D是错的。三、 填空题10、若的展开式中第5项为常数项，则该常数项为_（用数字表示）【答案】35【解析】解：的展开式的通项公式为，展开式中第5项为常数项，故当时，该展开式的常数项为，故答案为：3511、在的展开式中，常数项等于_【答案】160【解析】的展开项的形式是若为常数项，可得故常数项为12、的展开式中有理项的个数为 【答案】34【解析】，所以r0，3，6，99时为有理想，共34个13、已知.若，则_；_.【答案】 0 【解析】因为其中展开式的通项为，令，则，令，则，所以展开式中项为，故，令则，令则，所以0，故答案为：；.14、的展开式中，常数项为_；系数最大的项是_.【答案】 【解析】的展开式的通项为，令，得，所以，展开式中的常数项为；令，令，即，解得，因此，展开式中系数最大的项为.故答案为：；.