山东省淄博市淄川一中、临淄中学、淄博五中联考2015-2016学年高二上学期期末数学试卷（理科） WORD版含解析.doc

1、2015-2016学年山东省淄博市淄川一中、临淄中学、淄博五中联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列双曲线中，渐近线方程为y=2x的是（）Ax2=1By2=1Cx2=1Dy2=12设a，bR，则“ab0”是“”的（）条件A充分而不必要B必要而不充分C充分必要D既不充分也不必要3在ABC中，如果，则该三角形是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰或直角三角形D以上答案均不正确4已知数列an的前n项和Sn=2n1，那么a4的值为（）A1B2C4D85在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是

2、（）A2B4C8D166若不等式2kx2+kx0的解集为空集，则实数k的取值范围是（）A（3，0）B（，3）C（3，0D（，3）（0，+）7下列命题中，说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”B“0x”是“x（12x）0”的必要不充分条件C命题“x0R，使得x02+x0+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”D命题“在ABC中，若AB，则sinAsinB”的逆否命题为真命题8等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，则（）ABCD9在ABC中，a=2，A=30，C=45，则SABC=（）ABCD10已知椭圆E： +=1（ab0）的右焦点为F，

3、短轴的一个端点为M，直线l：3x4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A（0，B（0，C，1）D，1）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸中横线上11已知等比数列an中，a3=2，那么a2a3a4的值为12如果a0，那么a+2的最小值是13若抛物线y2=2px（p0）的准线经过双曲线x2y2=1的一个焦点，则p=14设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a=，sinB=，C=，则b=15已知f（x）=m（x+m+5）（x+m+3），g（x）=2x2若xR，f（x）0或g（x）

4、0，则m的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16如图ABC中，已知点D在BC边上，且ADAC，sinBAC=，AB=3，BD=（）求AD的长；（）求cosC（注：）17已知命题p：方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：对任意实数x不等式x2+2mx+2m+30恒成立（）若“q”是真命题，求实数m的取值范围；（）若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围18已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于M，N两点（）当直线l的斜率为1，求线段MN的长；（）记t=，试求t的值19某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两

5、种奶制品生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时 假定每天至多可获取鲜牛奶15吨，问该厂每天生产A，B两种奶制品各多少吨时，该厂获利最大20数列an满足a1+2a2+nan=4，nN*（）求a3的值；（）求数列an前n项和Tn（）设bn=log2a1+log2a2+log2an，求数列cn的前n项和21如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的

6、线段长为2（）求椭圆E的方程；（）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2015-2016学年山东省淄博市淄川一中、临淄中学、淄博五中联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列双曲线中，渐近线方程为y=2x的是（）Ax2=1By2=1Cx2=1Dy2=1【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线方程=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，对选项一一判断即可得到答案【解答】解：

7、由双曲线方程=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，由A可得渐近线方程为y=2x，由B可得渐近线方程为y=x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题2设a，bR，则“ab0”是“”的（）条件A充分而不必要B必要而不充分C充分必要D既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可【解答】解：若ab0，则成立，即充分性成立，若a=1，b=1，满足，但ab0不成立，即必要性不成立，故

8、“ab0”是“”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键3在ABC中，如果，则该三角形是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰或直角三角形D以上答案均不正确【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由余弦定理化简已知等式，整理可得：（a2+b2）（a2b2）=c2（a2b2），从而解得a2b2=0，即a=b，三角形为等腰三角形，或a2+b2=c2，即三角形为直角三角形【解答】解：，即acosA=bcosB，由余弦定理可得：a=b，整理可得：（a2+b2）（a2b2）=c2（a2b2），a2b2=0，即a=b，三

9、角形为等腰三角形，或a2+b2=c2，即三角形为直角三角形综上该三角形一定是等腰或直角三角形故选：C【点评】本题主要考查了余弦定理、勾股定理的综合应用，属于基本知识的考查4已知数列an的前n项和Sn=2n1，那么a4的值为（）A1B2C4D8【考点】数列递推式【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】直接由数列的前n项和求得数列的项【解答】解：Sn=2n1，故选：D【点评】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的项，是基础题5在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A2B4C8D16【考点】简单线性规划【专题】数形结合；定义法；不等式【分析】先作出

10、不等式组对应的平面区域，然后根据区域确定面积即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，即A（2，2），则三角形的面积S=，故选：B【点评】本题主要考查不等式组表示的平面区域，利用二元一次不等式组表示平面区域，作出不等式组对应的区域是解决本题的关键，然后根据相应的面积公式进行求解6若不等式2kx2+kx0的解集为空集，则实数k的取值范围是（）A（3，0）B（，3）C（3，0D（，3）（0，+）【考点】二次函数的性质【专题】函数的性质及应用【分析】分k=0和k0两种情况讨论，综合得出k的范围即可【解答】解：k=0时，0解集为空，k0时，由题意得：，解得：3k0，综合得：3k0故选：C【

11、点评】本题考察了二次函数的性质，一元二次不等式和二次函数的关系，是一道基础题7下列命题中，说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”B“0x”是“x（12x）0”的必要不充分条件C命题“x0R，使得x02+x0+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”D命题“在ABC中，若AB，则sinAsinB”的逆否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用【专题】应用题；转化思想；分析法；简易逻辑【分析】根据否命题逆否命题判断A，D，根据充要条件判断B，根据命题的否定判断C【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x21，则x1，故A错误，对于B

12、，x（12x）0，解得0x，“0x”是“x（12x）0”的充要条件，故B错误，对于C，命题“x0R，使得x02+x0+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”，故C错误，对于D，命题“在ABC中，若AB，则sinAsinB”，为真命题，故其逆否命题为真命题，故D正确故选D【点评】本题主要考查了充分与必要条件的判断，命题的逆否命题的写法，命题的否定，属于基础试题8等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，则（）ABCD【考点】等差数列的性质【专题】计算题【分析】根据等差数列的性质知，求两个数列的第五项之比，可以先写出两个数列的前9项之和之比，代入数据做出比值【解答】解：等差数列an和

13、bn的前n项和分别为Sn和Tn，=故选D【点评】本题考查等差数列的性质，是一个基础题，题目只要看出数列的基本量的运算，这种题目一般是一个送分题目9在ABC中，a=2，A=30，C=45，则SABC=（）ABCD【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由正弦定理可得求出c值，利用两角和正弦公式求出sinB的值，由SABC =acsinB 运算结果【解答】解：B=1803045=105，由正弦定理可得：，c=2sinB=sin（60+45）=+=，则ABC的面积SABC =acsinB=22=+1，故选：C【点评】本题考查两角和正弦公式，正弦定理的应用，求出sinB的值，

14、是解题的关键10已知椭圆E： +=1（ab0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A（0，B（0，C，1）D，1）【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】如图所示，设F为椭圆的左焦点，连接AF，BF，则四边形AFBF是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF|+|BF|=2a取M（0，b），由点M到直线l的距离不小于，可得，解得b1再利用离心率计算公式e=即可得出【解答】解：如图所示，设F为椭圆的左焦点，连接AF，BF，则四边形

15、AFBF是平行四边形，4=|AF|+|BF|=|AF|+|AF|=2a，a=2取M（0，b），点M到直线l的距离不小于，解得b1e=椭圆E的离心率的取值范围是故选：A【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸中横线上11已知等比数列an中，a3=2，那么a2a3a4的值为8【考点】等比数列的通项公式【专题】对应思想；定义法；等差数列与等比数列【分析】根据等比数列an的项的公式ankan+k=，利用a3=2求出a2a3a4的值【解答】解：等比数列an中，

16、a3=2，a2a3a4=8故答案为：8【点评】本题考查了等比数列的通项公式与应用问题，是基础题目，解题时应灵活运用等比数列的性质12如果a0，那么a+2的最小值是4【考点】基本不等式【专题】转化思想；综合法；不等式【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：a0，a+22+2=4，当且仅当a=1时取等号a+2的最小值是4故答案为：4【点评】考查了基本不等式的性质，属于基础题13若抛物线y2=2px（p0）的准线经过双曲线x2y2=1的一个焦点，则p=2【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出x2y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的

17、意义求出它的值【解答】解：双曲线x2y2=1的左焦点为（，0），故抛物线y2=2px的准线为x=，=，p=2，故答案为：2【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程 y2=2px中p的意义14设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a=，sinB=，C=，则b=1【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数【专题】计算题；解三角形【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b【解答】解：sinB=，B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得， 则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为矛盾故答案为：1【点评】本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟

18、练掌握定理是解本题的关键15已知f（x）=m（x+m+5）（x+m+3），g（x）=2x2若xR，f（x）0或g（x）0，则m的取值范围是（4，0）【考点】函数恒成立问题；全称命题【专题】函数思想；转化法；简易逻辑【分析】先求出g（x）0得解，然后满足：xR，f（x）0恒成立即可，结合一元二次函数的性质进行求解即可【解答】解：由g（x）0得2x20，得2x2，得x1，即当x1时，g（x）0，又xR，f（x）0或g（x）0，f（x）=m（x+m+5）（x+m+3）0，在x1时恒成立，则二次函数f（x）=m（x+m+5）（x+m+3）的图象开口只能向下，且与x轴交点都在（1，0）的左侧，即，解得4

19、m0，所以实数m的取值范围是：（4，0）故答案为：（4，0）【点评】本题主要考查函数恒成立问题，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16如图ABC中，已知点D在BC边上，且ADAC，sinBAC=，AB=3，BD=（）求AD的长；（）求cosC（注：）【考点】余弦定理；正弦定理的应用【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（I）通过垂直关系，求出cosBAD的值，在ABD中，由余弦定理求AD的长；（）在ABD中，由正弦定理，求出sinADB，通过三角形是直角三角形，即可求cosC【解答】解：（）由AD

20、AC知，（2分）在ABD中，由余弦定理知BD2=AD2+AB22ABADcosBAD即AD28AD+15=0，（4分）解得AD=3或AD=5显然ABAD，故AD=3（6分）（）由得（8分）在ABD中，由正弦定理知，故（10分）（12分）【点评】本题考查解三角形，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题17已知命题p：方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：对任意实数x不等式x2+2mx+2m+30恒成立（）若“q”是真命题，求实数m的取值范围；（）若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】分类讨论；函数思想；简易逻辑【分析】（）先求出命题

21、q的等价条件，根据“q”是真命题，即可求实数m的取值范围；（）若“pq”为假命题，“pq”为真命题，则p，q只有一个为真命题，即可求实数m的取值范围【解答】解：（）因为对任意实数x不等式x2+2mx+2m+30恒成立，所以=4m24（2m+3）0，解得1m3，（2分）又“qq”是真命题等价于“q”是假命题，（3分）所以所求实数m的取值范围是（，13，+）（4分）（）方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，0m2，（6分）“pq”为假命题，“pq”为真命题，p，q为一个是真命题，一个是假命题，（7分），无解（9分），（11分）综上所述，实数m的取值范围是（1，02，3）（12分）【点评】本题主要考查复合

22、命题的真假应用，求出命题的等价条件结合复合命题真假之间的关系是解决本题的关键18已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于M，N两点（）当直线l的斜率为1，求线段MN的长；（）记t=，试求t的值【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）当直线l的斜率为1，解方程组，消去y得x26x+1=0，由韦达定理得x1+x2=6，即可求线段MN的长；（）记t=，分类讨论，利用韦达定理求t的值【解答】解：（）由题意知，抛物线的焦点F（1，0），准线方程为：x=1（1分）设M（x1，y1），N（x2，y2），由抛物线的定义知|MF|=x1+1

23、，|NF|=x2+1，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2（3分）由F（1，0），所以直线l的方程为y=x1，解方程组，消去y得x26x+1=0（4分）由韦达定理得x1+x2=6，于是|MN|=x1+x2+2=8所以，线段MN的长是8（6分）（）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线l的斜率不存在时，M（1，2），N（1，2），；（7分）当直线l的斜率不存在时，设直线l方程为y=k（x1）联立消去x得k2x2（2k2+4）x+k2=0，=16k2+160，x1x2=1（9分）=（11分）所以，所求t的值为1 （12分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用

24、，考查分类讨论的数学思想，属于中档题19某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时 假定每天至多可获取鲜牛奶15吨，问该厂每天生产A，B两种奶制品各多少吨时，该厂获利最大【考点】简单线性规划【专题】数形结合；数学模型法；不等式【分析】设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，建立约束条件和目标函数，作出不等式组对应的平面区域利用线性回归的知识进行求解即可【解答

25、】解：设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有（4分）目标函数为z=1000x+1200y （5分）述不等式组表示的平面区域如图，阴影部分（含边界）即为可行域（7分）作直线l：1000x+1200y=0，即直线x+1.2y=0把直线l向右上方平移到l1的位置，直线l1经过可行域上的点B，此时z=1000x+1200y取得最大值（8分）由 解得点M的坐标为（3，6）（10分）当x=3，y=6时，zmax=31000+61200=10200（元）答：该厂每天生产A奶制品3吨，B奶制品6吨，可获利最大为10200元（12分）【点评】本题主要考查线性规划的应用问题，设出变量建立

26、约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键20数列an满足a1+2a2+nan=4，nN*（）求a3的值；（）求数列an前n项和Tn（）设bn=log2a1+log2a2+log2an，求数列cn的前n项和【考点】数列的求和；数列递推式【专题】方程思想；分析法；等差数列与等比数列【分析】（）可令n=1，2，3，计算即可得到所求值；（）当n2时，将n换为n1，相减，即可得到所求通项公式；（）运用对数的运算性质，以及等差数列的求和公式，化简可得bn=，故cn=2（），再由裂项相消求和即可得到所求和【解答】解：（）令n=1，得a1=1，令n=2，有a1+2a2=2，得，令n=3，有，得（）当n

27、2时，得，所以，又当n=1时，a1=1也适合，所以，（nN*）（）bn=log2a1+log2a2+log2an=12（n1）=，故，则，所以数列的前n项和为【点评】本题考查数列的通项和求和的求法，注意运用相减法，以及裂项相消求和法，考查化简整理的运算能力，属于中档题21如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2（）求椭圆E的方程；（）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】创新题型；

28、圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）通过直线l平行于x轴时被椭圆E截得的线段长为2及离心率是，计算即得结论；（）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有即可【解答】解：（）直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2，点（，1）在椭圆E上，又离心率是，解得a=2，b=，椭圆E的方程为： +=1；（）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立理由如下：当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有=

29、1，即|QC|=|QD|Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，则M、N的坐标分别为（0，）、（0，），又=，=，解得y0=1或y0=2若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）下面证明：对任意直线l，均有当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx2=0，=（4k）2+8（1+2k2）0，x1+x2=，x1x2=，+=2k，已知点B关于y轴对称的点B的坐标为（x2，y2），又kAQ=k，kQB=k+=k，kAQ=kQB，即Q、A、B三点共线，=故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题