河北中考数学复习 第7讲　一元二次方程.doc

1、第7讲一元二次方程1. (2019，河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式时，对于b24ac0的情况，她是这样做的：由于a0，方程ax2bxc0变形为：x2x，第一步x2x，第二步 ，第三步x(b24ac0)，第四步x.第五步(1)嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当b24ac0时，方程ax2bxc0(a0)的求根公式是（ x ）；(2)用配方法解方程：x22x240.【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程的步骤：(1)形如x2pxq0型第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右两边加上一次项系数一半的平方；

2、第三步，左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可(2)形如ax2bxc0型方程两边同时除以二次项系数，即化成x2pxq0型，然后配方解：(1)四x(2)移项，得x22x24.配方，得x22x1241，即(x1)225.开方，得x15.x16，x24.2. (2019，河北)若关于x的方程x22xa0不存在实数根，则a的取值范围是(B)A. a1 B. a1C. a1 D. a1【解析】 关于x的方程x22xa0不存在实数根，b24ac2241a0.解得a1.3. (2019，河北)a，b，c为常数，且(ac)2a2c2，则关于x的方程ax2bxc0根的情况是(B)A. 有两个相等的实数根B.

3、有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 有一根为0【解析】 由(ac)2a2c2得出2ac0，b24ac0.方程有两个不相等的实数根一元二次方程的概念及解法例1 解下列方程：(1)x22x10；(2)x212(x1)；(3)x23x.【思路分析】 根据所给方程的形式，选择合适的方法解方程解：(1)a1，b2，c1.b24ac4480.方程有两个不相等的实数根x1，即x11，x21.(2)移项，得x212(x1)0，(x1)(x1)2(x1)0，因式分解，得(x1)(x12)0，于是，得x10或x30.x11，x23.(3)配方，得x23x，2.由此可得x.x1，x2.针对训练1(2019，邯郸

4、一模) 用配方法解一元二次方程2x24x21的过程中，变形正确的是(C)A. 2(x1)21 B. 2(x2)25 C. (x1)2 D. (x2)2【解析】 2x24x21，2x24x3，x22x，x22x11，(x1)2.也可以把各选项中的方程展开化为一般形式，和题干中的方程做对比.一元二次方程根的判别式例2 (2019，扬州)如果关于x的方程mx22x30有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（ m且m0 ）.【解析】 方程有两个不相等的实数根，412m0.解得m0，所以方程有两个不相等的实数根.针对训练3 (2019，张家口桥东区模拟)若关于x的一元二次方程x2xtan 0有两个相等

5、的实数根，则锐角等于(D)A. 15 B. 30 C. 45 D. 60【解析】 方程有两个相等的实数根，()24tan 0.解得tan .60.一元二次方程的实际应用例3 (2019，宜昌，导学号5892921)某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12.经过三年治理，境内长江水质明显改善

6、(1)求n的值；(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加一个相同的数值a.在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年用甲方案治理降低的Q值相等第三年，用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值【思路分析】 (1)平均数数量总数(2)按相同增长率，第一年40家，第二年40(1m)家，第三年40(1m)2家，三年总和等于190家列方程求解即可(3)先求

7、出第二年用甲方案治理降低的Q值，再根据第三年用甲方案使Q值降低了39.5，列方程组求解即可解：(1)40n12，n0.3.(2)根据题意，得4040(1m)40(1m)2190.解得m1，m2(舍去)m50%.第二年用乙方案新治理的工厂数量为40(1m)40(150%)60(家)(3)设第一年用甲方案治理降低的Q值为x.第二年Q值用乙方案治理降低了100n1000.330.根据题意，得解得针对训练4(2019，白银)如图，某小区计划在一块长为32 m、宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是(A

8、)训练4题图A. (322x)(20x)570 B. 32x220x3220570C. (32x)(20x)3220570 D. 32x220x2x2570【解析】 设道路的宽为x m根据题意，得(322x)(20x)570.针对训练5 (2019，眉山)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品生产76件，每件利润10元调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元(1)若生产的某批次蛋糕产品每件利润为14元，此批次蛋糕产品属第几档次产品？(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙

9、店生产的是第几档次的产品？【思路分析】 (1)利润增加的量除以2即为档次提高的量(2)设生产的是第x档次产品，则相应的产量是764(x1)，每件利润是102(x1)；等量关系是：每件利润产量总利润解：(1)(1410)213(档次)答：此批次蛋糕产品属第三档次产品(2)设该烘焙店生产的是第x档次的产品根据题意，得764(x1)102(x1)1 080.整理，得x216x550.解得x15，x211(不合题意，舍去)答：该烘焙店生产的是第五档次的产品一、 选择题1. 已知关于x的方程x2mx30的一个解为x1，则m的值为(A)A. 4 B. 4 C. 2 D. 2【解析】 把x1代入原方程，得m

10、4.2. (2019，石家庄28中质检)若x24x40，则3(x2)26(x1)(x1)的值为(B)A. 6 B. 6 C. 18 D. 30【解析】 已知条件转化为x24x4，原式3x212x183(x24x)186.3. (2019，石家庄40中二模)用配方法解方程x2x10，配方后所得方程是(C)A. B. C. D. 【解析】 配方过程x2x1，x2x212，2.4. (2019，唐山路南区一模)已知关于x的方程x2mx10的根的判别式的值为5，则m的值为(D)A. 3 B. 3 C. 1 D. 1【解析】 根据题意，得m245.解得m1.5. (2019，唐山丰南区一模)现定义运算“

11、”，对于任意实数a，b，都有aba2abb.如：3532355.若x210，则实数x的值为(C)A. 4或1 B. 4或1 C. 4或2 D. 4或2【解析】 根据题意，得x2x22x2.x22x210.解得x14，x22.6. (2019，唐山路南区二模)下列方程中，没有实数根的是(D)A. x22x0 B. x22x10C. x22x10 D. x22x20【解析】 选项A，40；选项B，80；选项C，0；选项D，40，方程有两个不相等的实数根8. (2019，定西)关于x的一元二次方程x24xk0有两个实数根，则k的取值范围是(C)A. k4 B. k4 C. k4 D. k4【解析】

12、因为方程有实数根，所以164k0.解得k4.9. (2019，桂林)已知关于x的一元二次方程2x2kx30有两个相等的实数根，则k的值为(A)A. 2 B. C. 2或3 D. 或【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以k2240.解得k2.10. (2019，秦皇岛海港区模拟)某城市2019年底已有绿化面积300 hm2，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2019年底已达到363 hm2.设绿化面积的年平均增长率为x.根据题意，所列方程正确的是(B)A. 300(1x)363 B. 300(1x)2363C. 300(12x)363 D. 363(1x)2300【解析】 2019年底的绿化

13、面积是300(1x) hm2，2019年底的绿化面积是300(1x)2 hm2，可得方程11. (2019，绵阳)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯若一共碰杯55次，则参加酒会的有(C)A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人【解析】 设参加酒会的有x人，则每人碰杯(x1)次因为每两人都只碰一次杯，所以共碰杯次，得方程55，取正根x11.二、 填空题12. (2019，淮安)一元二次方程x2x0的根是 x10，x21 .【解析】 x(x1)0，得x10，x21.13. (2019，秦皇岛海港区模拟)已知x1是一元二次方程x2mxn0的一个根，则m22mnn2的值为 1 .【解析】 把

14、x1代入方程，得mn1，则m22mnn2(mn)21.14. (2019，南充)若2n(n0)是关于x的方程x22mx2n0的根，则mn的值为（ ）.【解析】 把x2n代入方程，得(2n)22m2n2n0, 变形为2n(2n2m1)0，2n0，2n2m10.mn.15. (2019，邵阳)已知关于x的方程x2 3xm0的一个解为x3，则它的另一个解是 x0 .【解析】 把x3代入方程解得m0，则原方程为x2 3x0，可求出另一个解是x0.16. (2019，唐山丰南区一模)若关于x的方程x26xc0有两个相等的实数根，则c的值为 9 .【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以364c0.解得

15、c9.17. (2019，威海)关于x的一元二次方程(m5)x22x20有实数根，则m的最大整数值是 4 .【解析】 因为方程有实数根， 所以48(m5)0.解得 m.又因为m5，所以m的最大整数值是4.三、 解答题18. 解下列方程：(1)x23x10；(2)x22x63x；(3)(2x3)28.【思路分析】 针对各个方程的特点，选择适当的解法(1)用公式法(2)用因式分解法(3)用直接开平方法解：(1)这里a1，b3，c1.b24ac(3)241150，x，即x1，x2.(2)原方程可化为x(x2)3(x2)移项，因式分解，得(x2)(x3)0.于是，得x20或x30.x12，x23.(3

16、)2x32，2x23，x1，x2.19. (2019，北京)关于x的一元二次方程ax2bx10.(1)当ba2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根【思路分析】 (1)把ba2代入根的判别式，判断出正负即可(2)由0得出a，b之间的关系，任取一组符合条件的值，再解方程解：(1)b24a(a2)24aa240，所以方程有两个不相等的实数根(2)方程有两个相等的实数根，b24a0.令b2，a1，此时方程为x22x10，x1x21.20. 【发现思考】已知等腰三角形ABC的两边长分别是方程x27x100的两个根，求等腰三角形

17、ABC三条边的长各是多少？如图所示的是涵涵的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因【探究应用】请解答以下问题：已知等腰三角形ABC的两边长是关于x的方程x2mx0的两个实数根要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。(1)当m2时，求等腰三角形ABC的周长；(2)当ABC为等边三角形时，求m的值涵涵的作业解：x27x100.a1

18、，b7，c10.b24ac90，x.x15，x22.当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边长分别为5，5，2.当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2，2，5.第20题图【思路分析】 一要检查解方程的过程和结果，二要考虑方程的解是三角形的边，需满足任意两边之和大于第三边解：【发现思考】错误之处：当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2，2，5.错误原因：此时不能构成三角形(或不符合三角形的三边关系)【探究应用】(1)当m2时，方程为x22x0.解得x1，x2.当为腰时，因为，所以不能构成三角形当为腰时，等腰三角形的三边长分别为，.此时周长为.(2)若ABC为等边三角形，则方程有

19、两个相等的实数根m24m22m10.m1m21，即m的值为1.21. (2019，盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件赢利40元为了扩大销售、增加赢利，该店采取了降价措施，在每件赢利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件(1)若降价3元，则平均每天可售出 26 件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1 200元？【思路分析】 (1)203226.(2)设降价x元，则销量为(202x)件，每件赢利(40x)元等量关系是每件赢利销量总赢利最后要选择符合条件的解解：(1)26(2)设每件商品降价x元时，该商店每天的销售利

20、润为1 200元，则平均每天售出(202x)件，每件赢利(40x)元，且40x25，即x15.根据题意，得(40x)(202x)1 200.整理，得x230x2000.解得x110，x220(舍去)答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1 200元22. (2019，德州)为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备的成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系(1)求年销售量y与销售单价x之

21、间的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元如果该公司想获得10 000万元的年利润，那么该设备的销售单价应定为多少万元？【思路分析】 (1)用待定系数法求一次函数关系式(2)等量关系是：每台利润销量总利润根据条件决定方程的根的取舍解：(1)设年销售量y与销售单价x之间的函数关系式为ykxb(k0)将(40，600)，(45，550)代入ykxb，得解得年销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y10x1 000.(2)设该设备的销售单价应定为x万元，则每台设备的利润为(x30)万元，销售量为(10x1 000)台根据题意，得(x30)(10x1 000)10 000.整

22、理，得x2130x4 0000.解得x150，x280.此设备的销售单价不得高于70万元，x50.答：该设备的销售单价应定为50万元1. (2019，福建A，导学号5892921)已知一元二次方程(a1)x22bx(a1)0有两个相等的实数根，则下列判断正确的是(D) A. 1一定不是关于x的方程x2bxa0的根B. 0一定不是关于x的方程x2bxa0的根C. 1和1都是关于x的方程x2bxa0的根D. 1和1不都是关于x的方程x2bxa0的根【解析】 方程(a1)x22bx(a1)0有两个相等的实数根，则有(2b)24(a1)20，且a10.解得ba1或b(a1)，且a10.若ba1，则1是

23、方程x2bxa0的根；若b(a1)，则1是方程x2bxa0的根a10，a1(a1)故1和1不会同时是方程x2bxa0的根2. (2019，舟山)欧几里得的原本记载，形如x2axb2的方程的图解法是：画RtABC，使ACB90，BC，ACb，再在斜边AB上截取BD.则该方程的一个正根是(B)第2题图A. AC的长 B. AD的长 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力

24、和语言表达能力的提高。C. BC的长 D. CD的长家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。【解析】 用配方法解方程x2axb2，易得正根x.据勾股定理知AB.ADABBD，AD的长是方程的正根要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运

25、用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。3. (2019，河北，导学号5892921)对于实数p，q，我们用符号minp，q表示p，q两数中较小的数，如min1，21.因此，min， ；若min(x1)2，x21，则x 2或1 .【解析】 min，.min(x1)2，x21，当(x1)2x2时，(x1)21.解得x12，x20(不合题意，舍去)当(x1)2x2时，x21.解得x11(不合题意，舍去)，x21.4. (2019，内江B，导学号5892921)已知关于x的方程ax2bx10的两根为x11，x22，则方程a(x1)2b(x1)10的两根之和为 1 .【解析】 把(x1)看作一个整体，据已知条件可得x11或x12，所以x10，x21.所以和为1.