河北春晖中学2013-2014学年高中数学人教B版必修5学案 第一章 解三角形章末整合.doc

1、第一章 解三角形 章末整合知识概览对点讲练知识点一正、余弦定理解三角形的基本问题例1在ABC中，(1)已知a，b，B45，求A、C、c；(2)已知sin Asin Bsin C(1)(1)，求最大角回顾归纳已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍变式训练1(1)ABC中，AB1，AC，C30，求ABC的面积；(2)已知a、b、c是ABC中A、B、C的对边，S是ABC的面积若a4，b5，S5，求c的长度知识点二正、余弦定理在三角形中的应用例2在ABC中，a、b、c分别是A、B、C

2、的对边长已知b2ac且a2c2acbc.(1)求A的大小；(2)求的值回顾归纳(1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系(2)要注意利用ABC中ABC，以及由此推得的一些基本关系式：sin(BC)sin A，cos(BC)cos A，tan(BC)tan A，sincos 等，进行三角变换的运算变式训练2在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2cos 2A.(1)求角A的度数；(2)若a，bc3，求b、c的值知识点三正、余弦定理在实际问题中的应用例3A、B、C是一条直路上的三点，

3、ABBC1 km，从这三点分别遥望一座电视发射塔P，A见塔在东北方向，B见塔在正东方向，C见塔在南偏东60方向求塔到直路的距离回顾归纳(1)解斜三角形应用题的程序是：准确地理解题意；正确地作出图形(或准确地理解图形)；把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；根据实际意义和精确度的要求给出答案(2)利用解斜三角形解决有关测量的问题时，其关键在于透彻理解题目中的有关测量术语变式训练3如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，设乙船按方位

4、角为的方向沿直线前往B处救援，求sin 的值1正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系，因此，可解决两类问题：(1)已知两角和其中任一边，求其他两边和一角，此时有一组解(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他解，其解不确定2余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两个问题：(1)已知三边，求其他三角，其解是唯一的(2)已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有一解3正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生了联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆)提供了理论基础，也是判断三角形形状、证

5、明三角形中有关等式的重要依据. 课时作业一、选择题1在ABC中，A60，a4，b4，则B等于()A45或135 B135C45 D以上答案都不对2在ABC中，已知cos Acos Bsin Asin B，则ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形3在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为()A. B.C.或 D.或4在ABC中，A60，AC16，面积为220，那么BC的长度为()A25 B51 C49 D495ABC中，下列结论：a2b2c2，则ABC为钝角三角形；a2b2c2bc，则A为60；a2b2c2，则ABC

6、为锐角三角形；若ABC123，则abc123.其中正确的个数为()A1 B2 C3 D4二、填空题6三角形两条边长分别为3 cm,5 cm，其夹角的余弦是方程5x27x60的根，则此三角形的面积是_7在ABC中，A60，b1，SABC，则_.8一艘船以20 km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1 h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于_三、解答题9已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2，cos B.(1)若b4，求sin A的值；(2)若ABC的面积SABC4，求b，c的值10在ABC中，已知AB，cos B，AC

7、上的中线BD，求sin A的值章末整合对点讲练例1解(1)由正弦定理及已知条件有，得sin A，ab，AB45，A60或120.当A60时，C180456075，c，当A120时，C1804512015，c.(2)根据正弦定理可知abcsin Asin Bsin C(1)(1)，边c最大，即角C最大设a(1)k，b(1)k，ck，则cos C.C(0，)，C.变式训练1解(1)，sin B，B60或120，当B60时，A90，BC2，此时，SABC.当B120时，A30，SABC1sin 30.综上，ABC的面积为或.(2)Sabsin C5，sin C，于是C60或C120.当C60时，c2

8、a2b22abcos Ca2b2ab21，c；当C120时，c2a2b22abcos Ca2b2ab61，c.c的长度为或.例2解(1)b2ac且a2c2acbc，a2c2b2bc，b2c2a2bc，cos A，A60.(2)方法一在ABC中，由正弦定理得：sin B，b2ac，.sin B，sin Asin 60.方法二在ABC中，由面积公式得：bcsin Aacsin Bb2ac，bcsin Ab2sin B，sin Asin 60.变式训练2解(1)BC180A，90.由4sin2cos 2A，得4cos2cos 2A，即2(1cos A)(2cos2 A1).整理得4cos2A4cos

9、 A10.cos A，又0A1，不合题意设夹角为，则cos 得sin ，S356 (cm2)7.解析由Sbcsin A1c，c4.a.820 km解析如图所示，BCsin 4520 (km)9解(1)cos B0，且0B，sin B.由正弦定理得，sin A.(2)SABCacsin B4，2c4，c5.由余弦定理得b2a2c22accos B225222517，b.10解设E为BC的中点连接DE，则DEAB，且DEAB，设BEx.在BDE中利用余弦定理可得：BD2BE2ED22BEEDcosBED，5x22x，解得x1，x(舍去)故BC2，从而AC2AB2BC22ABBCcos B，即AC.又sin B，故，sin A.