山东省聊城市2021届高三数学上学期期末考试试题（扫描版）.doc

1、山东省聊城市2021届高三数学上学期期末考试试题（扫描版）2021年1月高三模拟考试数学评分细则三、填空题13； 144； 15； 16（本小题第一空2分，第二空3分） 注：15题也可用集合表示： ;不写成集合或区间形式的不给分.16题第二空也可写12.5或.17（10分）在平面四边形中，求的面积17【解析】【解法一】在中，由余弦定理可得：，所以 ；3分在中，由正弦定理可得：，即 ，所以 ，所以 ；因为 ，所以 ；6分所以 ，8分所以 10分注：6分点处，“ ”和“ ”两式只要有一个出现即得分.【解法二】在中，由余弦定理可得：，所以 ；3分由已知所以在中，由正弦定理可得所以因为 ，所以 ；6分

2、所以 ，8分所以 10分【解法三】在中，由余弦定理可得：，所以 ；3分在中，由正弦定理可得：，即 ，所以 ，所以 ；6分又即 所以或（舍）（不满足）8分所以 10分注：6分点处，“ ”和“ ”两式只要有一个出现即得分； 8分点处，若未舍掉“” ，的面积算出两个值，则得8分；若只写出“”，不扣分.18（12分）已知数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题若，求数列的前项和18【解析】（1）因为 ，所以 ，1分所以 ，3分当时，适合上式，4分所以 5分说明：1.没有写出，直接得到正确结果的不扣分；2.最后结果写成，不扣分；（2）若选：因为

3、 6分，8分所以 10分12分说明：最后结果写成都可以；若选：方法一：因为 ，6分所以 ， 则 ，8分两式相减可得：10分，所以 12分说明：1.无错位相减过程，直接用公式得出结果的本问得3分；（其中 1分，最后结果占2分）2. 最后结果写成也可以；3. 考生若是错位相减时采用“”式减去“”按照上述各点对应得分即可.方法二：因为 ，6分，8分10分，12分说明：最后结果写成也可以；若选：，6分当为偶数时，；8分当为奇数时， 10分综上：12分说明：1.最后结果写成也可以；2. 10分点处，写作也可以.19（12分）如图，在三棱柱中，为的中点，平面平面，设直线为平面与平面的交线（1）证明：平面；

4、（2）已知四边形为边长为的菱形，且，求二面角的余弦值19【解析】（1）【解法一】证明：因为 是的中点， 所以 ，1分 又因为 平面平面，且平面平面，平面， 故 平面，2分 而 平面，且平面， 平面平面， 所以，4分 所以 平面；5分注：1、2分处，条件不全不扣分2、4分处，条件不全不扣分【解法二】证明：因为 是的中点， 所以 ，1分 又因为 平面平面，且平面平面，平面， 故 平面，2分 又平面平面， 所以平面平面，4分 而平面平面， 故平面.5分注：解法二应用 如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于这个平面.（2）【解法一】因为 四边形为菱形，且，连接，则，又因为 平面平面，平面

5、平面，故 平面. 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.6分 则 . 所以 ，设平面的法向量，则，即， 令，则，所以 ；8分设平面的法向量，则，即， 令，则，所以 ；10分 所以 ，11分由图可知 所求二面角为锐角， 所以 二面角的余弦值为.12分 注：8分和10分处，分别给的两个法向量的分，点坐标不给分.（2）【解法二】因为 四边形为菱形，且，连接，则，又因为 平面平面，平面平面，故 平面. 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.6分 则 . 所以 ，设平面的法向量，则，即， 令，则，所以 ；8分设平面的法向量，则，即， 令，则，所以 ；10分 所以 ，11分由图可知

6、 所求二面角为锐角， 所以 二面角的余弦值为.12分（2）【解法三】因为 平面，平面， 所以 平面平面，在平面内，过作于点，则 平面.6分过作于点，则为线段的中点；连接，则 即为二面角的平面角.8分在直角中，；在中，.9分在中，；.10分在直角中，所以 ， .11分所以 二面角的余弦值为.12分注：其它建系办法参考解法一给分，建系1分，两个法向量各2分，余弦值1分，结论1分.20（12分）习近平同志在十九大报告中指出，要坚决打赢脱贫攻坚战确保到2020年在我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困县全部摘帽某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依

7、据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品等级四级品三级品二级品一级品红枣纵径/mm经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C类；其它情况均定为B类已知每箱红枣重量为10千克，A类、B类、C类的红枣价格分别为每千克20元、16元、1

8、2元现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元以频率代替概率解决下面的问题（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由20【解析】（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是，记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为A类”为事件，则2分3分说明：若结果正确，但无计算式，不扣分.（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为B类”为事件，“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为C类”为事件，则，5分，7分所以 如果该农户采

9、用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；9分由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，则一箱红枣被定为A类的概率为，被定为C类的概率也为，所以 如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；11分因为所以 该农户采用方案二装箱更合适12分说明：1.只写结论“方案二装箱更合适”得1分；2.无计算式只有结果的，不扣分；3.两个方案的数学期望，无计算式只有结果的，不扣分.21（12分）已知椭圆的离心率为，过椭圆焦点的最短弦长为（1）求椭圆的标准方程；（2）若折线与相交于两点(点在直线的右侧)，设直线的斜率分别为，且，求的值21【解析】（1）由题可知，1分，2分 又因为， 所以，所以椭圆的标

10、准方程为；4分注：1分点处，写作亦可；2分点处，学生直接用通径长公式不扣分；4分点处，标准方程正确即得分，否则不得分.（2）（解法一）由题意，设点关于轴的对称点为则直线与椭圆相交于两点设，则， 由得，6分 所以，所以， ，9分即，整理得，11分解得或12分注： 9分点处，只要出现即得分； 11分点处，若最后值解得的结果正确，则该点未出现亦不扣分； 12分点处，解出的两个值都正确才得分，否则不得分.（解法二）由题意， 设， 且易知， 由得，6分所以，所以，9分即，整理得，11分解得或12分注：9分点处，只要出现即得分； 11分点处，若最后值解得的结果正确，则该点未出现亦不扣分； 12分点处，解出

11、的两个值都正确才得分，否则不得分22（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围【解析】（1），其中， -1分（求出导数1分，两种形式都可以，定义域不占分）若，此时在上单调递减； -2分若，由，此时在上单调递减，在上单调递增；-4分（写对一个给1分）综上所述，在上单调递减；，在上单调递减，在上单调递增.（没综上不扣分）（2）【解法一】由题意在恒成立，-5分记，其中；则， -5分（构造转化1分） - 其中； ，记，因为 ，所以 在上单调递增，所以 ，所以 ，所以 在上单调递增；-6分（导数的单调性1分）若，因为 在上单调递增，所以 ，所以 在上单调递增，所以 ，

12、符合题意； -8分若，所以 在上单调递减，所以，不合题意； -9分（或者找特殊点如：，不合题意；） 若， 因为，所以 ，又因为，在上单调递增，所以 当时，所以 在上单调递减，所以 当时，不合题意； -11分综上 实数的取值范围是 -12分（结论1分）【解法二】记，所以 在上单调递增，所以 ，即 -6分所以 恒成立； -7分若，记， 记， ，所以 在上单调递增，所以 ，所以 ，符合题意； -9分若，不合题意； -10分若，由（1）知，在上单调递减，所以 ，不合题意； -11分综上 实数的取值范围是 -12分【解法三】由题意在恒成立，记，其中； -5分因为，且，所以，得 -8分下证充分性：若，则，-9分 记，则 ，所以 在上单调递增，所以 ，所以 ， -11分所以 实数的取值范围是 -12分【解法四】由题意在恒成立，记，其中； -5分因为，且，所以，得 -8分下证充分性：【格式一】当时，设，所以在上单调递增，上单调递减-9分易证得， -10分所以 ， 又时，所以 ，所以 ， 即，即 ， -11分所以 实数的取值范围是 -12分【格式二】当时，设，因为 ，所以在单调递增，-9分易证得， -10分所以 ， 则，所以，所以 ，-11分所以 实数的取值范围是 -12分