河南省洛阳市2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）.doc

1、河南省洛阳市2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）第I卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2.考试结束，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，那么下列不等式中不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题中条件，结合不等式的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为，所以，则，即，故A正确；由，即，故B正确；由，即，故C错误；由，所以，故D正确.故选：C【点睛】本题主要考查由题中条件判断所给的不等式，熟记不等式的性质

2、即可，属于常考题型.2.在中，内角的对边分别为，若，则一定是（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】先由正弦定理得到，推出，即可得出结果.【详解】因为，由正弦定理得：，所以，故，所以一定是等腰三角形.故选：B【点睛】本题主要考查三角形形状的判断，熟记正弦定理即可，属于常考题型.3.若数列的通项公式，则此数列是（ ）A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 以上都不【答案】A【解析】【分析】由，计算，得出，即可判断出结果.【详解】因为，所以，因此数列是递增数列.故选：A【点睛】本题主要考查递增数列的判断，根据作差法比较大小即可，属

3、于常考题型.4.下列函数中，的最小值为的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于A选项，当时，当且仅当，即时，等号成立；当时，当且仅当，即时，等号成立；故A错误；对于B选项，当且仅当，即时，取等号，而显然不成立；函数取不到最小值，故B错误；对于C选项，当且仅当，即时，等号成立；故C正确；对于D选项，因为，所以，又，当且仅当，即时，等号成立，但，故D错误；故选：C【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式，并注意取等号的条件即可，属于常考题型.5.已知等比数列满足：，且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A

4、【解析】【分析】根据等比数列的性质得到，根据题意解得，且，根据等比数列的通项公式，即可求出结果.【详解】因为等比数列满足：，所以，解得或，又，所以，且，因此，则，故.故选：A【点睛】本题主要考查等比数列基本量的运算，熟记等比数列的通项公式与性质即可，属于常考题型.6.已知锐角三角形的三边分别为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由题意知三角形三个内角都是锐角，分别根据边长为所对的角为锐角，边长为所对的角为锐角两种情况，结合余弦定理，即可求出结果.【详解】因为锐角三角形的三边分别为，则三角形的三个内角都是锐角，设边长为所对的锐角为，由余弦定理可得：，则；设边

5、长为所对的锐角为，由余弦定理可得：，则；综上，的取值范围是.故选：D【点睛】本题主要考查由三角形的形状求参数的问题，熟记余弦定理即可，属于常考题型.7.若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数运算，得到，推出，再由基本不等式得到，求解，即可得出结果.【详解】因为，所以，且，即，所以，即，解得或（舍），所以，当且仅当时，取等号.故选：A【点睛】本题主要考查对数的运用，以及由基本不等式求积的最小值，熟记对数运算法则，以及基本不等式即可，属于常考题型.8.已知数列的前项积为，且满足，若，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出

6、前项，确定数列是以为周期的数列，求出前项的乘积，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以数列以为周期，又，所以.故选：B【点睛】本题主要考查周期数列的应用，会根据递推公式推出数列的周期即可，属于常考题型.9.如图，在中，是边上一点，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由余弦定理求出，得出，再由正弦定理得到，即可求出结果.【详解】因为，所以，因此，所以，又，由正弦定理可得：，所以.故选：D【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.10.实数满足条件.当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）A. B. C.

7、D. 【答案】D【解析】【分析】先将目标函数化为，由题中约束条件作出可行域，结合图像，由题意得到，再由，结合基本不等式，即可求出结果.【详解】由得，因为，所以直线的斜率为，作出不等式对应的平面区域如下：由图像可得：当直线经过点时，直线在轴截距最小，此时最小。由解得，即，此时目标函数的最小值为，即，所以.当且仅当，即时，等号成立.故选：D【点睛】本题主要考查简单线性规划与基本不等式综合，熟记基本不等式，会求解简单的线性规划问题即可，属于常考题型.11.设等差数列的前项和分别为，若，则使的的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由题意，根据等差数列前项和的性质，得到，再由

8、，得到，从而即可求出结果.【详解】因为等差数列的前项和分别为，所以，又，所以，为使，只需，又，所以可能取的值为：，因此可能取的值为：.故选：C【点睛】本题主要考查等差数列前项和的应用，熟记等差数列前项和的公式与性质即可，属于常考题型.12.在中，角的对边分别为，已知，点是的中点，若，则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由题意得到，结合余弦定理得到，且，再由余弦定理，得到，求出，根据三角形面积公式，得到，即可求出结果.【详解】因为点是的中点，所以，即，即，所以，整理得：，因此，即，当且仅当时，等号成立；且；又，所以，因此面积为，当且仅当时，取得最大值.故选：

9、A【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理，结合基本不等式，以及二次函数性质即可求解，属于常考题型.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设，则四个数，中最小的是_【答案】【解析】【分析】根据基本不等式，先得到，再由作商法，比较与，即可得出结果.【详解】因为，所以，又，所以，综上，最小.故答案为：【点睛】本题主要考查由不等式性质比较大小，熟记不等式的性质，以及基本不等式即可，属于常考题型.14.若实数满足，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，化目标函数为，令，则表示平面区域内的点与定点连线的斜率，结合图像求出的范围，进而可求出

10、结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：因为，令，则表示平面区域内的点与定点连线的斜率，由图像可得：；由直线，易得，因此，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，根据约束条件作出可行域，会分析目标函数的几何意义即可，属于常考题型.15.已知数列的前项和，若此数列为等比数列，则_【答案】【解析】【分析】先由，求出，；再由数列是等比数列，得到也满足，列出等式，即可求出结果.【详解】因为数列的前项和，所以， ；又，因为数列为等比数列，则也满足，即，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查由等比数列的前项和求参数，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.16.在锐角中，内

11、角的对边分别为，若，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先由题意，结合正弦定理与两角和的正弦公式，得到，再由，根据三角形形状判断，令，将所求式子化为，根据基本不等式，即可求出结果.【详解】因为，所以，即，即，所以，又，因为为锐角三角形，所以，因此；所以，令，则，当且仅当，即时，取等号；【点睛】本题主要考查解三角形的应用，熟记正弦定理，两角和的正弦、正切公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设为等差数列的前项和.已知.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) (2) 【解析】【分析

12、】（1）先设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求出首项与公差，即可求出通项公式；（2）由（1）的结果，得到，进而可求出前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得，所以的通项公式为；由得，从而【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型。18.在中，角“的对边分别为.已知（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】(1) (2)3或1【解析】【分析】（1）根据正弦定理，由，得到，即可求出结果；（2）先由，求出，由余弦定理，求出或，再由三角形面积公式，即可求出结果【详解】在中，因为，所以由正弦定理得 ；（

13、2）因为，所以.由余弦定理得，整理得，解得或.所以的面积或1.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.19.为促进全民健身运动，公司为员工购买某健身俱乐部的健身卡，每张元，使用规定：不记名，每卡每次仅限人，每天仅限次.公司共名员工，公司领导打算组织员工分批去健身，除需购买若干张健身卡外，每次去俱乐部还要包租一辆汽车，费用是每次元，如果要使每位员工健身次，那么公司购买多少张健身卡最合算，共需花费多少元钱？【答案】公司购买张健身卡最合算，共需花费元.【解析】【分析】设购买张健身卡，这项健身活动的总支出为，根据题意得到，由基本不等式，即可求出结果.【详解】设购买张健身

14、卡，这项健身活动的总支出为,则,即当且仅当即时取等号.所以公司购买张健身卡最合算，共需花费元.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.20.（1）设不等式对于满足的实数x都成立，求正实数的取值范围；（2）设不等式对于满足的实数都成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）先由得，令，由，结合二次函数的性质，只需，求解，即可得出结果；（2）先将原不等式化为，令，原问题可转化为关于的函数在上的函数值恒小于，只需，求解，即可得出结果.【详解】（1）由得令，因为只需解得，即正实数的取值范围是（2）原不等式可化为令，其中，则不等式对于满足的实数都

15、成立等价于关于的函数在上的函数值恒小于，只需，即，解得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立求参数的问题，熟记三个二次之间关系，熟记二次函数的性质，以及转化与化归的思想即可，属于常考题型.21.在中，分别为角的对边，且.（1）求角；（2）若的内切圆面积为，求面积的最小值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理得到，化简整理求出，即可得出结果；（2）根据题意，得到内切圆的半径为，作出图形，记内切圆的圆心为，为切点，得到，由余弦定理得到，根据基本不等式，推出，再由三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为所以即，所以，即，；（2）由题意知内

16、切圆的半径为，如图，内切圆的圆心为，为切点，则，从而，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），从而，即面积的最小值为.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，灵活运用基本不等式即可，属于常考题型.22.设为正项数列的前项和，且.数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）设，问是否存在整数，使数列为递增数列？若存在求的值，若不存在说明理由.【答案】(1) ；. (2) (3)存在，【解析】【分析】（1）先由题意求出，再由时，推出数列是以为公差的等差数列，求出的通项；根据，得到，推出数列是以为公比的等比数列，进而可求出数列的通项公式；（2）先由（1）得到，根据错位相减法，即可求出结果；（3）先由（1）得，假设存在，满足为递增数列，得到对任意恒成立，列出不等式，分别讨论为奇数，为偶数两种情况，即可求出结果.【详解】（1）当时，解得，当时，由，及，相减得，即，解得或（舍）；即数列是以为公差的等差数列，故；由得，所以数列是以为公比的等比数列，又，故，所以.（2）由（1）得.所以，相减得从而；（3）由（1）得，若存在，满足为递增数列，即对任意恒成立，由得当为奇数时，由得，当为偶数时，由得，故.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式，等比数列的求和公式，错位相减法求数列的和，以及数列的增减性即可，属于常考题型.