2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十一利用空间向量求二面角与空间距离理北师大版.doc

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资源描述：: 1、核心素养测评五十一利用空间向量求二面角与空间距离1.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1平面BDA1.(1)求证:CD=C1D.(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值.(3)求点C到平面B1DP的距离.【解析】(1)连接AB1,交BA1于点O,连接OD.因为B1P平面BDA1,B1P平面AB1P,平面AB1P平面BA1D=OD,所以B1POD.又因为O为B1A的中点,所以D为AP的中点.因为C1DAA1,所以C1为A1P的中点.所以DC1=AA1=CC1,所以C1D=C
2、D.(2)建立如图所示的空间直角坐标系A1-xyz,则B1(1,0,0),B(1,0,1),D0,1,所以=(1,0,0),=(1,0,1),=0,1,.设平面BA1D的一个法向量为n=(x1,y1,z1).由得令z1=2,则x1=-2,y1=-1,所以n=(-2,-1,2).又=(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量,所以cos=-.由图形可知二面角A-A1D-B为锐角,所以二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为.(3)因为C(0,1,1),D0,1,B1(1,0,0),P(0,2,0),所以=0,0,-,=1,-1,-,=0,1,-.设平面B1DP的一个法向量为m=(x2,y2,z2).
3、由得令z2=2,则x2=2,y2=1,所以m=(2,1,2).所以点C到平面B1DP的距离d=.2.(2020咸阳模拟)如图,在多面体ABCDE中,已知四边形BCDE为平行四边形,平面ABC平面ACD,M为AD的中点,ACBM,AC=BC=1,AD=4,CM=.(1)求证:BC平面ACD.(2)求二面角D-BM-E的余弦值.【解析】 (1)在MAC中,因为AC=1,CM=,AM=2,所以AC2+CM2=AM,所以由勾股定理的逆定理,得MCAC,又ACBM,BMCM=M,所以AC平面BCM,因为BC平面BCM,所以BCAC,因为平面ABC平面ACD,且平面ABC平面ACD=AC,BC平面ABC,所以BC平面ACD.(2)因为BC平面ACD,所以BCCM.又BCAC,MCAC,故以点C为坐标原点,CA,CB,CM所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,所以A,B,M,D,E,所以=,=,=.设平面DBM的法向量为m=.由得取z1=1,所以m=.设平面EBM的法向量为n=.由得取z2=1,所以n=,所以cos=.因为二面角D-BM-E为锐二面角,故其余弦值为.

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