2021版高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习练 考题预测·全过关 选修4-5-2　证明不等式的基本方法 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。练 考题预测全过关1.(2016全国卷)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)2的解集.(1)求M.(2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.【解题指南】(1)函数解析式含有绝对值,需要讨论去掉绝对值符号后,再解不等式.(2)可以用分析法分析,用综合法证明.【解析】(1)当x-时,f(x)=-x-x-=-2x2,解得-1x-;当-x时,f(x)=-x+x+=1时,f(x)=2x2,解得x1.综上可得,M=x|-1x0,即a2b2+1a2+b2,则a2b2+2ab+

2、1a2+2ab+b2,则(ab+1)2(a+b)2,即|a+b|4的解集.(1)求P.(2)证明:当m,nP时,|mn+4|2|m+n|.【解析】(1)f(x)=|x-1|+|x+1|=由f(x)的单调性及f(x)4得,或解得x2或x4的解集为P=x|x2或x2,|n|2,所以m24,n24,(mn+4)2-4(m+n)2=(m2-4)(n2-4)0,所以(mn+4)24(m+n)2,从而有|mn+4|2|m+n|.3.已知函数f(x)=|2x+1|-|x-2|,不等式f(x)2的解集为M.(1)求M.(2)记集合M的最大元素为m,若正数a,b,c满足abc=m,求证:+.【解析】(1)f(x

3、)=|2x+1|-|x-2|2化为或或-5x0,b0,c0.因为+2=2=2,+2=2=2,+2=2=2,三式相加得:2(+)2,所以+.4.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,求+的最小值.【解析】因为(a+b+c)=()2+()2+ ()2=18.所以+2.所以+的最小值为2,当且仅当a=b=c=时取到等号.5.设x,y,zR,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,求x+y+z.【解析】由柯西不等式可得(x2+y2+z2)(12+22+32)(x+2y+3z)2,即(x+2y+3z)214,因此x+2y+3z.因为x+2y+3z=,所以x=,解得x=,y=,z=,于是x+y+

4、z=.6.已知ABC的三边长分别为a,b,c.求证:+a+b+c.【证明】因为(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)(a+b+c)2,又a+b+c0,所以+a+b+c(当且仅当=时取等号).7.已知a,b,cR,且2a+2b+c=8,求(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2的最小值.【解析】由柯西不等式得(4+4+1)(a-1)2+(b+2)2+(c-3)22(a-1)+2(b+2)+c-32,所以9(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2(2a+2b+c-1)2.因为2a+2b+c=8,所以(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2,当且仅当=c-3时等号成立,所以(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2的最小值是.8.设a0,b0,且a+b=+.证明:(1)a+b2.(2)a2+a2与b2+b0,b0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2=2,即a+b2.(2)假设a2+a2与b2+b2同时成立,则由a2+a0得0a1;同理,0b1,从而ab1,这与ab=1矛盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.关闭Word文档返回原板块