2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：8-2 空间几何体的表面积和体积 WORD版含解析.docx

1、第二节空间几何体的表面积和体积【知识重温】一、必记4个知识点1柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧_V_圆锥S侧_V_r2圆台S侧_V(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧_V_正棱锥S侧_V_正棱台S侧_V(S上S下)h球S球面_V_2.长方体的外接球(1)球心：体对角线的交点(2)半径：r(a，b，c为长方体的长、宽、高)3正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球(1)外接球：球心是正方体中心；半径ra(a为正方体的棱长)(2)内切球：球心是正方体中心；半径r(a为正方体的棱长)(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径ra(a为正方体的棱长)4正四面体的外接球与内切球(

2、正四面体可以看作是正方体的一部分)(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径ra(a为正四面体的棱长)(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径ra(a为正四面体的棱长)二、必明3个易误点1求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错2由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误3易混侧面积与表面积的概念【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()(2)锥体的体积等于底面面积与高之积()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差(

3、)(4)球的体积之比等于半径之比的平方()二、教材改编2如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积为()A225 cm2B1 000 cm2C1 800 cm2 D9002 000 cm23如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为_三、易错易混4圆柱的侧面展开图是边长为6和4的矩形，则圆柱的表面积为()A6(43)B8(31)C6(43)或8(31) D6(41)或8(32)5九章算术商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2 000斛(1丈10尺，1尺10寸，斛

4、为容积单位，1斛1.62立方尺，3)，则圆柱底面圆周长约为()A1丈3尺 B5丈4尺C9丈2尺 D48丈6尺四、走进高考62020全国卷埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.B.C.D.空间几何体的侧面积和表面积自主练透型12020全国卷如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A64 B44C62 D422某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A6 B62C12 D12232021南昌市NCS模拟考试一个正三棱

5、柱的正(主)视图如图，则该正三棱柱的侧面积是()A16 B12C8 D6悟技法几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理(4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解.考点二空间几何体的体积自主练透型42020浙江卷某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A. B

6、. C3 D652020江苏卷如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_ cm3.62021惠州市高三调研考试试题某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的，俯视图由圆与内接三角形构成，则该几何体的体积为()A. B.C. D.悟技法空间几何体体积的求法(1)求简单几何体的体积若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解(2)求组合体的体积若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解(3)求以三视图为背景

7、的几何体的体积应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.考点三空间几何体的外接球与内切球互动讲练型例(1)2020全国卷已知A，B，C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆若O1的面积为4，ABBCACOO1，则球O的表面积为()A64 B48C36 D32(2)2020全国卷已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_悟技法空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截图，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线

8、段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解.变式练(着眼于举一反三)12021深圳市普通高中高三年级统一考试如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球的表面积为()A. B32C36 D4822021唐山市高三年级摸底考试在三棱锥PABC中，BACPBAPCA90，PBPC，点P到底面ABC的距离为1，则三棱锥PABC的外接球的表面积为()A3 B.C4 D.第二节空间几何体的表面积和体积【知识重温】2rhShr2hrlShr2h(r1r2)lChShChSh(CC)h

9、4R2【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：每个三角形面积为S3015225，则表面积为S82251 800(cm2)，故选C.答案：C3解析：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，V球R3，V圆柱R22R2R3，V球V圆柱2R3.答案：4解析：设圆柱的底面半径为r，分两种情况若62r，r3，圆柱的表面积为：462r2242186(43)若42r，r2，圆柱的表面积为：462r224288(31)，故选C.答案：C5解析：设圆柱底面半径为r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积为Vr2h2 0001.623r213.33，所以r281，即r9，所以圆柱底面圆周长为2r54,54

10、尺5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B.答案：B6解析：如图，设正四棱锥的底面边长BCa，侧面等腰三角形底边上的高PMh，则正四棱锥的高PO，以|PO|为边长的正方形面积为h2，一个侧面三角形面积为ah，h2ah，4h22aha20，两边同除以a2可得42210，解得，又0，.故选C.答案：C课堂考点突破考点一1解析：在正方体中还原几何体如图几何体为正方体的一部分：三棱锥PABC，S表面积SPACSPABSPBCSBAC2222222226.故选C.答案：C2解析：由题图知，该三棱柱为正三棱柱，且底面是边长为2的正三角形，高为2，其表面积为222322122.故选D.答案：D3解析：

11、由正(主)视图可知，该正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且该正三棱柱的高为2，所以该正三棱柱的侧面积为32212.故选B.答案：B考点二4解析：由三视图可知，该几何体是三棱柱和三棱锥的组合体，结合图中数据可得该几何体的体积V212211(cm3)，故选A.答案：A5解析：正六棱柱的体积为622212(cm3)，圆柱的体积为0.522(cm3)，则该六角螺帽毛坯的体积为 cm3.答案：126解析：由三视图可知该几何体是一个半球上面有一个三棱锥，其体积V1113，故选C.答案：C考点三例解析：(1)如图，由题意知ABC为等边三角形，圆O1的半径r2，即O1B2，BC2OO1，在RtOO1B中，O

12、B2OOO1B216，球O的半径ROB4，则S球O4R264.故选A.(2)如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图其中球心为O，设其半径为r，AC3，O1C1，AO12.OO1OMr，AOAO1OO12r，又AMOAO1C，即，故3r2r，r.该圆锥内半径最大的球的体积V3.答案：(1)A(2)变式练1解析：由三视图可知该四面体为PBCD，如图，将它补形成棱长为4的正方体，则正方体的体对角线PC就是该四面体的外接球的直径，所以外接球的直径2R，所以R2，则该四面体的外接球的表面积为4R24(2)248，故选D.答案：D2解析：通解如图，令O为PA的中点，连接OB，OC，因为PBAPCA90，所以O

13、AOBOPOC，即O为三棱锥PABC的外接球的球心，又BAC90，所以点O在底面ABC上的射影为BC的中点D，连接AD，OD，因为点P到平面ABC的距离为1，所以OD.因为PBPC，PBAPCA90，PAPA，所以PABPAC，所以ABAC.令ABACa，则PA，BCa，所以OA，ADa，又OD2AD2OA2，所以a2，所以a1，所以三棱锥PABC的外接球的半径ROA，所以三棱锥PABC的外接球的表面积S4R23.故选A.优解把三棱锥PABC放在正方体中，如图所示，因为点P到平面ABC的距离为1，所以正方体的棱长为1.三棱锥PABC的外接球即此正方体的外接球，所以三棱锥PABC的外接球的半径RAP，所以三棱锥PABC的外接球的表面积S4R23.故选A.答案：A