上海市南洋模范中学2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）.docx

1、上海市南洋模范中学2021-2022学年高二下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 抛物线的焦点坐标是_.【答案】【解析】【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，所以焦点坐标，故答案为：.2. 直线的倾斜角的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据直线斜率，可知，结合可求得结果.【详解】由知：直线斜率，设直线倾斜角为，则，又，.故答案为：.3. 圆的过点的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】因为点在圆上，所以过点的切线和(圆心) 垂直，求出斜率，用点斜式求出方程.【详解

2、】根据题意，圆的圆心为，半径，点在圆上,则,则切线的斜率,则切线的方程为,变形可得;故答案为:4. 若双曲线(，)的渐近线方程为，则双曲线的离心率_【答案】【解析】【分析】由题知，再根据离心率公式求解即可.【详解】解：双曲线(，)的渐近线方程为，所以，双曲线的焦点在轴上，且所以，双曲线的离心率故答案为：5. 已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是_【答案】【解析】【分析】设出点M关于直线的对称点的坐标，根据对称的几何性质列出方程组，即可求得答案.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得，故点M关于直线的对称点的坐标是，故答案为：6. 已知直线，若它们不能围成三角形，则的取值所构成的集合为

3、_【答案】【解析】【详解】通过三条直线两两平行或重合，以及三条线经过同一点计算的取值即可.【点睛】当与平行或重合时，当与平行或重合时，得，当与平行或重合时，此时无解；当三条线经过同一点时，联立得，将代入得，解得故的取值所构成的集合为故答案为：7. 方程表示的曲线可能为_（填序号）两条直线；圆；椭圆；双曲线【答案】【解析】【分析】根据，讨论取不同范围内的值时，方程表示的曲线类型，即可得答案.【详解】因为，所以，当时，即，方程表示椭圆；当时，即，方程表示双曲线；当时，方程表示两条直线，由于，故不可能表示圆，故答案为：8. 已知是椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，且，则的面积是_.【答案】【解析】【

4、分析】利用椭圆的定义、余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】在椭圆中，由椭圆的定义可得，在中，由余弦定理可得，解得，因此，.故答案为：.【点睛】结论点睛：已知、是短轴长为的椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则的面积为.9. 带有编号1、2、3、4、5的五个球，放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则共有_种不同放法【答案】【解析】【分析】先选出2个球，分成4组，再放进4个盒子即可.【详解】五个不同的球，放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种不同的放法故答案为：240.10. 若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为_.【答

5、案】【解析】【分析】设出点A，B的坐标，再求出弦AB的垂直平分线的方程，将代入计算作答.【详解】设点、的坐标分别是、，则，两式相减得，因，即有，设直线的斜率是，弦的中点是，则，从而的垂直平分线的方程为，又点在直线上，所以，而，解得，弦中点的横坐标为2.故答案为：211. 3个男生和3个女生排成一排，要求男生互不相邻，女生不全相邻，则不同的排列方法有_种.【答案】144【解析】【分析】考虑三男三女均不相邻，与3男不相邻且3女中有2女相邻两种情况，进而根据排列组合方法求得答案.【详解】若3男3女均不相邻，则先排男生，出现4个空位，进而将女生排入前3个或后3个空位，有种情况；若3男不相邻，3女中有2

6、女相邻，出现4个空位，进而将女生排入中间2个空位，有种情况.所以，一共有144种情况.故答案为：144.12. 若实数，满足，且的最大值为，则实数的值是_.【答案】【解析】【分析】根据象限取绝对值符号，根据的几何意义，然后数形结合可得.【详解】当时，曲线为椭圆在第一象限的图象，当时，曲线为双曲线在第四象限的图象，当时，曲线为双曲线在第二象限的图象，当时，原方程无实数解.因为直线是双曲线和的渐近线，令，则表示曲线上的点到直线的距离，因为的最大值为，所以的最大值为由图知，曲线上到直线距离最大的点在椭圆上，设椭圆上动点坐标为，由点到直线的距离公式得因为，所以要想有最大值，直线需向上平移，使得平移后的

7、直线与直线的距离为，即直线与直线的距离为，所以，解得，故答案为：二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13. 圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为（ ）A. 10B. 15C. 30D. 60【答案】A【解析】【分析】利用组合知识进行计算即可.【详解】圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，属于组合问题，故一共可以画的三角形个数为.故选：A14. 命题p：直角坐标系中动点到定点的距离比到y轴的距离大1；命题q：动点的坐标满足方程，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【

8、分析】求出平面内到定点的距离比到y轴的距离大1的动点P的轨迹方程，结合充分、必要条件的定义判定得答案【详解】解：p：动点到定点的距离比到y轴的距离大1.当命题成立时，,当时，,两边平方并整理得当时，,两边平方并整理得则动点P的轨迹为或；q：动点满足方程，可知p不能推出q，q能够推出p，则p是q的必要不充分条件故选：B15. 已知，设直线，其中，给出下列结论：直线的方向向量与向量共线；若，则直线与直线的夹角为；直线与直线一定平行；上述结论是真命题的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】对，写出方向向量，由向量共线与坐标的关系即可判断；对，由斜率及倾斜角的关

9、系求得两直线倾斜角，即可求得夹角；对，两直线平行需进一步判断是否存在重合.【详解】对于，直线的方向向量是，它与向量共线，是真命题；对于，当时，直线的斜率是，倾斜角是，直线的斜率是1，倾斜角是，两直线的夹角为，是真命题；对于，直线的斜率是，在轴上的截距是，直线的斜率是，且在轴上的截距是，当时，两直线重合，不平行，是假命题.综上，真命题的序号是.故选：B16. 一个平面斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆.若圆柱底面圆半径为，平面与圆柱底面所成的锐二面角大小为，则下列对椭圆的描述中，错误的是（ ）A. 短轴为，且与大小无关B. 离心率为，且与大小无关C. 焦距为D. 面积为【答案】B【

10、解析】【分析】根据椭圆的性质，结合题中的数据对，对每个选项逐一分析即可.【详解】由题意得椭圆短轴长，而长轴长随变大为变长且，所以，故，焦距为，由椭圆在底面投影即为底面圆，则等于圆的面积与椭圆面积的比值，所以椭圆面积为，综上，ACD正确，B错误，故选:B三、解答题（本大题共5题，满分76分）17. 已知直线和的交点为，求：（1）以点为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的方程；（2）直线过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，求直线的方程【答案】（1） （2）或【解析】【分析】(1)求出两直线交点P的坐标，根据弦长求出所求圆的半径，即可得答案；（2）设出所求直线的方程，求出与坐标轴的交点

11、坐标，根据三角形面积列出方程，解方程，即可求得答案.小问1详解】直线和的交点为，由，得，即，点到直线的距离，设所求圆半径为，由垂径定理得弦长，解得，所以所求圆的方程为；【小问2详解】设过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为的直线的斜率为，则，所以的方程为，即，它与两个坐标轴的交点分别为，则，解得或，当时，直线的方程为，当时，直线方程为，综上，直线的方程为或18. 我们称（）元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为.（1）求和的值；（2）当为正偶数时，求的通项公式【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）由定义用列举法

12、求、即可；（2）按照含0个数为1，3，进行讨论，可得，结合、的展开式，即可得的通项公式.【小问1详解】范数为奇数的二元有序实数对有，它们的范数依次为1，1，1，1， 所以，.【小问2详解】当为偶数时，在向量的个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为1，3，进行讨论：的个坐标中含1个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；的个坐标中含3个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；的个坐标中含个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为1；所以， 因为，-得，.19. 如图，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路上一游客休息区，已知

13、，（百米），Q到直线，的距离分别为3（百米），（百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路于点B，并在B处修建一游客休息区.（1）求有轨观光直路的长；（2）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，（百米）（，）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道以（百米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.【答案】（1）；（2）喷泉的水流不会洒到观光车上，理由见解析【解析】【分析】（1）建立如图平面直角坐标系，易得，直线

14、的方程为，由点到直线距离，求出，从而直线的方程为，联产方程组求出的坐标，由此能求出轨道的长；（2）将喷泉记为圆，由题意得，生成分钟时，观光车在线段AB上的点C处，则，从而，若喷泉不会洒到观光车上，则对恒成立，由此能求出喷泉的水流不会洒到观光车上.【详解】（1）以点O为坐标原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.则由题设得：，直线的方程为，（）.由，解得，所以.故直线的方程为，由得即，故，答：水上旅游线的长为.（2）将喷泉记为圆P，由题意可得，生成t分钟时，观光车在线段上的点C处，则，所以.若喷泉不会洒到观光车上，则对恒成立，即，当时，上式成立，当时，当且仅当时取等号，因为，所以恒成立，

15、即喷泉的水流不会洒到观光车上.答：喷泉的水流不会洒到观光车上.【点睛】本题考查轨道长的求法，考查喷泉的水流能否洒到观光车上的判断，考查函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，属于中档题.20. 已知，点满足，记点的轨迹为.斜率为的直线过点，且与轨迹相交于两点.（1）求轨迹的方程；（2）求斜率的取值范围；（3）在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义即可求得方程；（2）联立直线与双曲线方程，转化成方程有解问题；（3）假设存在点，联立直线

16、和双曲线整理成二次方程，根据结合韦达定理求解.【详解】（1）因为，点满足，所以点的轨迹为以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，设其方程，则，所以轨迹的方程：；（2）斜率为的直线过点，直线方程为，代入，即有两个不等正根，由得，当时，且即不等式组的解：所以；（3）假设存在，设点，使，由（2）：斜率为的直线过点，直线方程为，代入，即有两个不等正根，所以，对恒成立，所以，解得，即，当直线斜率不存在时，直线方程，此时，仍然满足，所以这样的点存在，.【点睛】此题考查求双曲线方程，注意考虑图象限制范围，通过直线与双曲线位置关系求参数范围，结合韦达定理解决相关定点问题.21. 曲线与曲线在第一象限的交点为.曲线

17、是()和()组成的封闭图形.曲线与轴的左交点为右交点为.（1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程；（2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由.（3）设过原点的直线与以为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为.直线与曲线在第一象限的两个交点为.当对任意直线恒成立，求的值.【答案】（1）或；（2）一共2个，理由见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）先求曲线的焦点，再求点的坐标，分焦点为左焦点或右焦点，求线段的方程；（2）分点在双曲线或是椭圆的曲线上，结合条件，说明点的个数；（3）首先设出直线和圆的方程，利用直线与圆相切，以及直线与曲线相交，分别表示，并计算得

18、到的值.【详解】（1）两个曲线相同的焦点，解得：，即双曲线方程是，椭圆方程是，焦点坐标是,联立两个曲线，得，即，当焦点是右焦点时， 线段的方程当焦点时左焦点时， ，线段的方程（2），假设点在曲线上单调递增所以点不可能在曲线上所以点只可能在曲线上，根据得可以得到当左焦点，同样这样的使得不存在所以这样的点一共2个（3）设直线方程，圆方程为直线与圆相切，所以，根据得到补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数的影响，蕴含着如下关系，当，存在，否则不存在这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线有两个交点的大前提，当共焦点时存在不存在.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆和双曲线相交的综合应用，本题的关键是曲线由椭圆和双曲线构成，所以研究曲线上的点时，需分两种情况研究问题.