上海市崇明区2021-2022学年高考数学二模试题（Word版附解析）.docx

1、2021学年第二学期高中教学资源高 三 数 学考生注意：1本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟2本试卷分设试卷和答题纸试卷包括试题与答题要求作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中16题每题4分，712题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果】1. 已知集合，则=_.【答案】【解析】【分析】先求出集合A,然后根据交集的定义求得答案.【详解】由题意，所以.故答案为：.2. 已知一组数据的平均数为4，则的值是_

2、.【答案】2【解析】【分析】根据平均数的公式进行求解即可【详解】数据的平均数为4，即.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础3. 已知角的终边经过点，则_.【答案】【解析】【分析】根据终边上的点，结合即可求函数值.【详解】由题意知：角在第一象限，且终边过，.故答案为：.4. 若复数（为虚数单位），则_【答案】#0.5【解析】【分析】由复数的除法运算可得，再根据共轭复数的概念可得，代入运算求解【详解】，则故答案为：5. 在的二项展开式中，项的系数是_（用数值表示）【答案】240【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式，直接求得答案.【详解】由题意可得的通项公式为：，故的系

3、数为 ，故答案为：2406. 已知变量满足约束条件，则的最大值为_【答案】1【解析】【详解】画出平面区域及目标函数线如图所示：平移目标函数线使之经过可行域，当目标函数线经过点时，取得最大值为.考点：线性规划.7. 已知圆锥的母线长等于2，侧面积等于，则该圆锥的体积等于_【答案】#【解析】【分析】根据圆锥的侧面积公式，代入可得，根据图形结合勾股定理可得，再代入锥体体积公式【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为根据题意可得：，则则该圆锥的体积故答案为：8. 已知直线参数方程为(为参数），则点到直线的距离是_【答案】【解析】【分析】将参数方程化为普通方程，再用点到直线的距离公式即可解得.【详解】

4、由题意：，点到直线 的距离.故答案为：.9. 设是定义在R上且周期为2的函数，当时，其中若，则_【答案】#0.2【解析】【分析】根据函数周期性结合解析式可得，结合题意解得，代入求解【详解】是周期为2的函数，又，即，则故答案为：10. 已知平面直角坐标系中的点、，记为外接圆的面积，则_【答案】【解析】【分析】由过三点的外接圆来确定圆的半径，从而得到，再求极限即可.【详解】设过、这三点的外接圆方程为，则有，又外接圆的半径为,所以.所以.故答案为：11. 某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加学校规定：（1）每位学生每天最多选择1项；（2）每位学生每项一周最多选择1次学校提供的安排表如下：时间

5、周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有_种（用数值表示）【答案】14【解析】【分析】利用分类和分步计数原理求解即可.【详解】由题知：周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四，编程在周一、二、四.若周一选编程，则体育在周三或周四，故为种，阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案.若周二选编程，则体育在周一，周三或周四，故为种，阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案.若周四选编程，则体育在周一或周三，故为种，阅读在剩下的两天中选为种，

6、共有种方案.综上，共有种方案.故答案为：12. 已知实数x、y满足，则的取值范围是_【答案】.【解析】【分析】讨论得到其图象是椭圆，双曲线的一部分组成图形，根据图象可得的取值范围，进而可得的取值范围.【详解】因为实数满足，当时，方程为的图象为双曲线在第一象限的部分；当时，方程为的图象为椭圆在第四象限的部分；当时，方程为的图象不存在；当时，方程为的图象为双曲线在第三象限的部分；在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，表示点到直线的距离的倍根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为，令，即，与双曲线渐近线平行，观察图象可得，当过点且斜率为的直线与椭圆相切时，点到直线的距离最大，即当直线与椭圆相切时

7、，最大，联立方程组，得，解得，又因为椭圆的图象只有第四象限的部分，所以，又直线与距离为，故曲线上的点到直线的距离大于1，所以综上所述，所以，即，故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分】13. 如果，那么下列不等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对A,B,C，举反例判定即可，对D，根据判定即可【详解】对A，若，则，不成立，故AB错误；对C，若，则不成立，故C错误；对D，因为，故D正确；故选：D14. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B.

8、必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充要关系定义进行判断选择.【详解】若，则，所以充分性成立；若，则不一定成立，例如互为相反向量时就不成立，所以必要性不成立；故选：A【点睛】本题考查充要关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.15. 已知无穷等比数列中，它的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）A. 数列是递增数列B. 数列是递减数列C. 数列存在最小项D. 数列存在最大项【答案】C【解析】【分析】对AB，举公比为负数反例判断即可对CD，设等比数列公比为，分和两种情况讨论，再得出结论即可【详解】对AB，当公比为时，此时，此时既不是递增也不是递减数

9、列；对CD，设等比数列公比为，当时，因为，故，故，此时，易得随的增大而增大，故存在最小项，不存在最大项；当时，因为，故，故，因为，故当为偶数时，随着的增大而增大，此时无最大值，当时有最小值；当为奇数时，随着的增大而减小，故无最小值，有最大值.综上，当时，因为，故当时有最小值，当时有最大值综上所述，数列存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误故选：C16. 设集合，其中，给出下列两个命题：命题：对任意的，是的子集；命题：对任意的，不是的子集下列说法正确的是（ ）A. 命题是真命题，命题是假命题B. 命题是假命题，命题是真命题C. 命题、都真命题D. 命题、都是假命题【答案】A【解析】【分析】

10、根据不等式的特征，可判断命题，利用判别式，可得集合、的关系，从而判断命题.【详解】由于，即时，一定成立，故是的子集，因此命题是真命题.令，；令，.从而可知，当时，此时，是的子集，故命题是假命题.故选：A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】17. 如图，正方体的棱长等于4，点是棱的中点（1）求直线与直线所成的角；（2）若底面上的点满足平面，求线段的长度【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案;（2）假设在底面上存在点，使得平面，设，求出向量的坐标，根据线面垂直

11、可得，即可求得a,b的值，求得答案.【小问1详解】如图以D为坐标原点，以为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设直线与直线所成的角为，则,所以，即直线与直线所成的角的大小等于.【小问2详解】假设在底面上存在点，使得平面，设，因为，所以，由得，即 ，解得，即，所以，故线段的长度为.18. 已知（1）求函数的单调递增区间；（2）设的内角A满足，且，求BC边长的最小值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由三角函数的二倍角公式将化为，根据正弦函数的单调性即可求得答案;（2）由求得A,根据求得，利用余弦定理结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】,由，得：，所以函数的单调递增区间是.【

12、小问2详解】由，得，即因为，则，,所以,由，得，得.由余弦定理，得，当且仅当时等号成立,所以边长的最小值是.19. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示：v0104060M0132544007200为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：；（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；（2）现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200k

13、m，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？【答案】（1）符合， （2）当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh【解析】【分析】（1）根据函数的单调性排除，根据定义域排除即可；（2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的，可得国道上的耗电量，根据二次函数的最值分析最小值即可【小问1详解】因为函数是定义域上的减函数，又无意义，所以函数与不可能是符合表格中所列数据的函数模型，故是可能符合表格中所列数据

14、的函数模型.由，得：，所以【小问2详解】由题意，高速路上的耗电量任取，当时，所以函数在区间上是增函数，所以Wh 国道上的耗电量所以Wh 所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh20. 已知双曲线，双曲线的右焦点为F，圆C的圆心在y轴正半轴上，且经过坐标原点O，圆C与双曲线的右支交于A、B两点（1）当OFA是以F为直角顶点的直角三角形，求OFA的面积；（2）若点A的坐标是，求直线AB的方程；（3）求证：直线AB与圆x2+y22相切【答案】（1） （2） （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意求得，由三角形面积公式即可求得答案；（2）设圆

15、C的方程为，由点A的坐标求得m，联立求得B点坐标，可得答案；（3）设直线AB的方程为，联立，可得根与系数的关系式，再联立可得，结合根与系数的关系式化简，可得的圆心到直线AB的距离等于半径，可证明结论【小问1详解】（1）由题意OFA是以F为直角顶点的直角三角形，所以点A在直线处，设A，代入，解得，取则，所以OFA的面积；【小问2详解】设圆C圆心坐标，因其过原点，则.故圆C方程为：.代入点A，得，解得.将圆C方程与联立得,消去得：解得.又B点在双曲线右支，故B.则AB方程为：.化简为即.【小问3详解】证明：由题直线AB斜率必存在，故设直线AB的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），圆C的方程

16、为，由，消去y得:由题意，得：，且，由，消去x化简得：，所以.所以，即得原点O到直线AB的距离，所以直线AB与圆相切【点睛】关键点点睛：本题为直线，圆，双曲线综合题.（1），（2）为基础题，难点在于（3）.关键在于做第二问时，能够发现对于任意A，B两点，均有，从而在（3）中建立起与关系，得到.21. 已知集合 （Z是整数集，是大于3的正整数）若含有项的数列满足：任意的，都有，且当时有，当时有或，则称该数列为数列（1）写出所有满足且的数列；（2）若数列为数列，证明：不可能是等差数列；（3）已知含有100项的数列满足是公差为等差数列，求所有可能的值【答案】（1）1，3，5，2，4；1，4，2，5，

17、3 （2）证明见解析 （3）5【解析】【分析】（1）根据数列的定义，可直接写出答案；（2）假设是等差数列，公差为，分和两种情况，可得到与题意不符的结论，从而证明结论成立；（3）由题意，分类讨论，说明当时，不符题意，同理可说明 和时，推导出与题意不符的结论，继而说明，符合题意，从而求得答案.【小问1详解】由题意可得满足且的数列为：1，3，5，2，4；1，4，2，5，3.【小问2详解】假设是等差数列，公差为，当时，由题意，或，此时，所以不是等差数列中的项，与题意不符，所以不可能是等差数列当时，由题意，或，此时所以不是等差数列中的项，与题意不符，所以不可能是等差数列综上所述，不可能是等差数列【小问3详解】由题意，当时，因为，所以，与题意不符；当时，记，当时，所以，所以中的最小项，所以，与题意不符，当时，又由题意，（*），其中，且，所以，所以 ，所以，与不符；当时，取 ，此时的数列满足题意，综上所述，.