专题15：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之等腰旋转- 中考数学解题方法系统训练（全国通用）.doc

1、专题15：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之等腰旋转一、单选题1如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OEOF，则四边形AFOE的面积是（）A4B2C1D二、填空题2已知：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，对角线AC、BD相交于点O过点O作一直角MON，直角边OM、ON分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转MON，旋转角为（090），OM、ON分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是_(填序号)；S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：2；OGBD=AE2+CF2；在旋转过程中，当BEF与CO

2、F的面积之和最大时，3已知直角三角形ABC，ABC=90，AB=3，BC=5，以AC为边向外作正方形ACEF，则这个正方形的中心O到点B的距离为_4如图，折线中，将折线绕点按逆时针方向旋转，得到折线，点的对应点落在线段上的点处，点的对应点落在点处，连接，若，则_三、解答题5如图，已知等腰直角三角形ABC中，ABAC，BAC90，BF平分ABC，CDBD交BF的延长线于点D，试说明：BF2CD6如图（a），（b），（c）所示，点E、D分别是正、正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且，DB交AE于点P（1）在图（a）中，求的度数（2）在图（b）中，的度数为_，图（c

3、）中，的度数为_（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由7（1）操作发现：将等腰与等腰按如图1方式叠放，其中，点，分别在，边上，为的中点，连结，小明发现，你认为正确吗？请说明理由（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：探究一：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图2），其他条件不变，发现结论依然成立请你给出证明探究二：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图3），其他条件不变，则结论还成立吗？请说明理由 8已知在中，点D是BC上的任意一点，探究与的关系，并证明你的结

4、论.9如图所示，等腰直角中，点在上，且，将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形，并求的长10如图，在四边形ABCD中，C=60，A=30，CD=BC（1）求B+D的度数（2）连接AC，探究AD，AB，AC三者之间的数量关系，并说明理由（3）若BC=2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足DE2=CE2+BE2，求点E运动路径的长度11问题背景如图（1），在四边形ABCD中，B+D180，ABAD，BAD，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且EAF，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当BADBD90时”如图（2），小

5、明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为_（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由（3）解决问题如图（3），在ABC中，BAC90，ABAC4，点D，E均在边BC上，且DAE45，若BD，请直接写出DE的长12如图，在线段AB上任取一点M（）、把线段MB绕M点逆时针旋转90至MC连接AC，作AC的垂直平分线交AM于N点，此时AN、MN、BM为边的三角形是一个直角三角形，我们称点M，N是线段AB的勾股分割点.如下右图，已知：点M，N是线段AB的勾股分割点，ABC、MND分别是

6、以AB、MN为斜边的等腰直角三角形，且点C与点D在AB的同侧，若MN=3，连接CD，则CD=_.13如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，EBF的周长等于BC的长（1）若AB=12，BE=3，求EF的长；（2）求EOF的度数；（3）若OE=OF，求的值参考答案1C【解析】【分析】根据正方形的性质可得OAOB，OAEOBF45，ACBD，再利用ASA证明AOEBOF，从而可得AOE的面积BOF的面积，进而可得四边形AFOE的面积正方形ABCD的面积，问题即得解决【详解】解：四边形ABCD是正方形，OAOB，OAEOBF45，ACBD，AOB90，OEOF，EO

7、F90，AOEBOF，AOEBOF（ASA），AOE的面积BOF的面积，四边形AFOE的面积正方形ABCD的面积221；故选C【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键2【解析】【分析】证明BOECOF，结合正方形的性质可判断；证明，结合BOECOF的性质即可证得；作OHBC，表示出SBEF+SCOF，即可判断【详解】四边形ABCD是正方形，OB=OC，OBE=OCF=45，BOC=90，BOF+COF=90，EOF=90，BOF+COE=90，BOE=COF，在BOE和COF中，BOECOF（ASA），OE=OF，BE=

8、CF，EF=OE；故正确；S四边形OEBF=SBOE+SBOE=SBOE+SCOF=SBOC=S正方形ABCD，S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故错误；BE+BF=BF+CF=BC=OA；故正确；在中，故正确；过点O作OHBC，BC=1，OH=BC=，设AE=，则BE=CF=1-，BF=，SBEF+SCOF=BEBF+CFOH=（1-）+（1-）=-（-）2+，0，当=时，SBEF+SCOF最大；即在旋转过程中，当BEF与COF的面积之和最大时，AE=；故错误；故答案为【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知以上知识点是解题的关键3 【解析】如图，延长BA到D，

9、使AD=BC，连接OD，OA，OC，四边形ACEF是正方形，AOC=90，CO=AO，ABC=90，ABC+AOC=180，BCO+BAO=180，BCO=DAO，在BCO与DAO中，BCODAO（SAS），OB=OD，BOC=DOA，BOD=COA=90，BOD是等腰直角三角形，BD=，BD=AB+AD=AB+BC=8，OB=.故答案为.4【解析】【分析】连接AC 、AE ，过点A作AFBC于F ,作AHEC于H再证明四边形AFCH是矩形,可得AF=CH ,由旋转的性质可得AD=AB=3、BC=DE=5，ABC=ADE，则ABCADE，即AC=AE ；再由等腰三角形的性质和勾股定理可得BF、

10、AF、EC、CD的长，最后根据正切定义解答即可【详解】解：如图：连接AC 、AE ，过点A作AFBC于F ,作AHEC于HCEBC，AFBC，AHEC四边形AFCH是矩形，AF=CH，将折线AB-BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD-DEAD=AB=3、BC=DE=5，ABC=ADEABCADEAC=AE，AC=AE，AB=AD，AFBC，AHEC，BF=DF，CH=EHBF=，AF=故答案为：2【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，根据题意求得EC、CD的长是解答本题的关键5见解析【解析】【分析】作BF的中点E，连接AE、A

11、D，根据直角三角形得到性质就可以得出AEBEEF，由BD平分ABC就可以得出ABEDBC22.5，从而可以得出BAEBAEACD22.5，AEF45，由BAC90，BDC90就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出ADDC，证ADCAEB推出BECD，从而得到结论【详解】解：取BF的中点E，连接AE，AD，BAC90，AEBEEF，ABDBAE，CDBD，A，B，C，D四点共圆，DACDBC，BF平分ABC，ABDDBC，DACBAE，EAD90，ABAC，ABC45，ABDDBC22.5，AED45，AEAD，在ABE与ADC中，ABEADC，BECD，BF2CD【点睛】本题考查了全等三角形的

12、判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键6（1）证明见解析；（2），；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据SAS证明，得出，再根据计算得出的度数；（2）方法与（1）相同；（3）由（1）、（2）可得出规律：等于这个正n边形的一个内角的度数【详解】（1）ABC是正三角形，ABBC，ABE=C=，在和中 ，（2）如图（b）:ABCM是正四边形，ABBC，ABE=C=，在和中 ，如图（c）:ABCMN是正五边形，ABBC，ABE=C=，在和中 ，（3）问题：如图（d）所示，点E，D分别是正n边形中以C点为顶点的相邻两边上的点，且，DB

13、交AE于P点则等于这个正n边形的一个内角的度数，即【点睛】考查了全等三角形的判定、性质和三角形外角的性质，解题关键是利用SAS方法求证三角形全等和三角形外角的性质7（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）连接DM并延长，作BNAB，与DM的延长线交于N，连接CN，先证明EMDBMN，得到BN=DE=DA，再证明CADCNB，得到CD=CN，证明DCM是等腰直角三角形即可；（2）探究一：延长DM交BC于N，根据平行线的性质和判定推出DEM=MBC，根据ASA推出EMDBMN，证出BN=AD，证明CMD为等腰直角三角形即可；探究二：作BNDE交DM的延

14、长线于N，连接CN，根据平行线的性质求出E=NBM，根据ASA证DCANCB，推出DCN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出CMD为等腰直角三角形【详解】解：（1）如图一，连接DM并延长，作BNAB，与DM的延长线交于N，连接CN，EDA=ABN=90，DEBN，DEM=MBN， 在EMD和BMN中， ，EMDBMN（ASA），BN=DE=DA，MN=MD，在CAD和CNB中， ，CADCNB，CD=CN，DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，CMDN，DCM是等腰直角三角形，DM=CM；（2）探究一，理由：如图二，连接DM并延长DM交BC于N，EDA=ACB=90，DEB

15、C，DEM=MBC，在EMD和BMN中，EMDBMN（ASA），BN=DE=DA，MN=MDAC=BC，CD=CN，DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，CMDM，DCM=DCN=45=BCM，CMD为等腰直角三角形 DM=CM；探究二，理由：如图三，连接DM，过点B作BNDE交DM的延长线于N，连接CN，E=MBN=45点M是BE的中点，EM=BM在EMD和BMN中， EMDBMN（ASA），BN=DE=DA，MN=MD，DAE=BAC=ABC=45，DAC=NBC=90在DCA和NCB中 ，DCANCB（SAS），DCA=NCB，DC=CN，DCN=ACB=90，DCN是等腰直角三角

16、形，且CM是底边的中线，CMDM，DCM=DCN=45=CDM，CMD为等腰直角三角形DM=CM【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用，题型较好，难度较大8【解析】【分析】作AEBC于E，可得BE=CE=BC，然后再使用勾股定理即可完成解答.【详解】. 证明如下：如图：作AEBC于E， 由题意得：ED=BE-BD=CD-CE，在ABC中，BAC=90，AB=AC，BE=CE=BC，由勾股定理可得： 即.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的知

17、识，解题的关键是做辅助线构造直角三角形.9【解析】【分析】将CEB绕点C逆时针旋转90，得到ACE，连结DE，根据旋转的性质可得CEC E，AEBE，再求出ADE是直角三角形，然后勾股定理得出，再根据ACEBCE，CAEB45，然后求出DCE45，从而得到DCEDCE，再利用“边角边”证明ECDDCE，根据全等三角形对应边相等可得DE= DE=，【详解】解：如图，由旋转性质知，即，在中，ECB=ECA，ECB+DCA=ECA+ DCA=ECD=45=DCE，又EC=CE，CD=CDECDDCE，DE= DE=.【点睛】本题考查了作图旋转变换，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的

18、性质，勾股定理，难度适中准确作出旋转后的图形是解题的关键10（1）D+B=270；（2）AD2+AB2=AC2；理由见解析；（3）点E运动路径的长度是【解析】【分析】（1）利用四边形内角和定理计算即可； （2）如图，将ABC绕点C顺时针旋转60，得到QDC，连接AQ，证明QDA=90，根据勾股定理可得结论； （3）如图中，将BCE绕C点顺时针旋转60，得到CDF，连接EF，想办法证明BEC=150即可解决问题.【详解】（1）在四边形ABCD中，C=60，A=30，D+B=360-A-C=360-60-30=270（2）如图，将ABC绕点C顺时针旋转60，得到QDC，连接AQ，ACQ=60，AC

19、=CQ，AB=QD，ACQ是等边三角形，AC=CQ=AQ，由（1）知：ADC+B=270，ADC+CDQ=270，可得QDA=90，AD2+DQ2=AQ2，AD2+AB2=AC2；（3）将BCE绕C点顺时针旋转60，得到CDF，连接EF，CE=CF，ECF=60，CEF是等边三角形，EF=CE，CFE=60，DE2=CE2+BE2，DE2=EF2+DF2，DFE=90，CFD=CFE+DFE=60+90=150，CEB=150，则动点E在四边形ABCD内部运动，满足CEB=150，以BC为边向外作等边OBC，则点E是以O为圆心，OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为，OB=BC=2，则=点E运动路

20、径的长度是【点睛】本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题11（1）BE+DFEF；（2）成立；（3）DE【解析】【分析】（1）将ABE绕点A逆时针旋转90，得到ADG，由旋转的性质可得AEAG，BEDG，BAEDAG，根据EAF=BAD可得BAE+DAF45，即可得出EAFFAG，利用SAS可证明AFEAFG，可得EF=FG，进而可得EF=BE+FD；（2）将ABE绕点A逆时针旋转得到ADH，由旋转的性质可得ABEADH，BAEDAH，AEAH，BEDH，根据BAD，EAF可得BAE+FAD，进而

21、可证明FAHEAF，利用SAS可证明AEFAHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）将AEC绕点A顺时针旋转90，得到AEB，连接DE，由旋转的性质可得BEEC，AEAE，CABE，EACEAB，根据等腰直角三角形的性质可得ABCACB45，BC4，即可求出EBD90，利用SAS可证明AEFAHF，可得DEDE，利用勾股定理求出DE的长即可的答案.【详解】（1）BE+DFEF，如图1，将ABE绕点A逆时针旋转90，得到ADG，ADCBADG90，FDG180，即点F，D，G共线由旋转可得AEAG，BEDG，BAEDAGBAE+DAFBADEAF90BAD=90-4545，DAG+DAF45，即

22、FAG=45，EAFFAG，AFEAFG（SAS），EFFG又FGDG+DFBE+DF，BE+DFEF，故答案为BE+DFEF（2）成立如图2，将ABE绕点A逆时针旋转得到ADH，可得ABEADH，BAEDAH，AEAH，BEDHB+ADC180，ADH+ADC180，点C，D，H在同一直线上BAD，EAF，BAE+FAD，DAH+FAD，FAHEAF，又AFAF，AEFAHF（SAS），EFFHDF+DHDF+BE；（3）DE，如图3，将AEC绕点A顺时针旋转90，得到AEB，连接DE可得BEEC，AEAE，CABE，EACEAB，在RtABC中，ABAC4，BAC=90，ABCACB45，

23、BC4，CD=BC=BD=3，ABC+ABE90，即EBD90，EB2+BD2ED2易证AEDAED，DEDE，DE2BD2+EC2，即DE2，解得【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，旋转后不改变图形的大小和形状，并且对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题关键.12【解析】【分析】如图中，连接CM、CN，将ACM绕点C逆时针旋转90得CBF，将CDM绕点C逆时针旋转90得CFE只要证明四边形EFDN是平行四边形以及MN=NF就可以了【详解】如图，连接CM、CN，将ACM绕点C逆时针旋转90得C

24、BF，将CDM绕点C逆时针旋转90得CFEABC，DMN都是等腰直角三角形，DMN=A=45，CBA=DNM=45DMAC，DNBC，1=2=3=4，EFBC，EFBCND，DM=DN=EF，四边形EFND是平行四边形，ED=NF，由NBF=FBC+CBA=90则=+， 点M，N是线段AB的勾股分割点，（）则=+，又AM=BF，可知MN=NF，MN=ED，在RTCDE中，CD=CE，DCE=90，DE=CD，MN=CD，MN=3，则CD=.【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，利用旋转法添加辅助线是解决问题的关键13（1）EF =5；（2）EOF=45；（3）【解析】

25、【分析】（1）设BF=x，则FC=12-x，根据EBF的周长等于BC的长得出EF=9-x，RtBEF中利用勾股定理求出x的值即可得；（2）在FC上截取FM=FE，连接OM首先证明EOM=90，再证明OFEOFM（SSS）即可解决问题；（3）证明FOC=AEO，结合EAO=OCF=45可证AOECFO得 ，推出AE=OC，AO=CF，由AO=CO，可得AE=CF=CF，进而求解【详解】（1）设BF=x，则FC=BCBF=12x，BE=3，且BE+BF+EF=BC，EF=9x，在RtBEF中，由BE2+BF2=EF2可得32+x2=（9x）2， 解得：x=4，则EF=9x=5；（2）如图，在FC上

26、截取FM=FE，连接OM，CEBF的周长=BE+EF+BF=BC，则BE+EF+BF=BF+FM+MC，BE=MC，O为正方形中心，OB=OC，OBE=OCM=45，在OBE和OCM中，OBEOCM，EOB=MOC，OE=OM，EOB+BOM=MOC+BOM，即EOM=BOC=90，在OFE与OFM中，OFEOFM（SSS），EOF=MOF=EOM=45（3）证明：由（2）可知：EOF=45，AOE+FOC=135，EAO=45，AOE+AEO=135，FOC=AEO，EAO=OCF=45，AOECFO，AE=OC，AO=CF，AO=CO，AE=CF=CF，=【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题