2021高三数学人教B版一轮学案：第二章 第三节　函数的奇偶性与周期性 WORD版含解析.doc

1、第三节函数的奇偶性与周期性最新考纲考情分析1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.1.函数的奇偶性与周期性是高考重要考点，常与函数的单调性、零点等性质交汇命题2题型多以客观题为主，一般为容易题，但有时难度也会很大.知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称口诀记忆奇偶性有特征，定义

2、域要对称；奇函数，有中心，偶函数，有对称.奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(x)f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数知识点二函数的周期性1周期函数对于函数f(

3、x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1.周期性的四个常用结论设函数yf(x)，xR，a0.(1)若f(xa)f(xa)，则函数的周期为2a；(2)若f(xa)f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(xa)，则函数的周期为2a；(4)若f(xa)，则函数的周期为2a.2对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称；(2

4、)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称；(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(4)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()解析：(1)奇函数只有在原点有定义时才过原点，且f(0)0，而偶函数不管在原点有无定义，都不一定

5、过原点(2)因为yf(xa)为偶函数，则f(xa)f(xa)f(ax)，可知xa为对称轴(3)因为函数具有奇偶性，所以定义域一定关于原点对称，而定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性(4)由周期函数的定义可知正确2.小题热身(1)下列函数中为偶函数的是(B)Ayx2sinxByx2cosxCy|lnx|Dy2x解析：根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)等于(A)A2B0 C1 D2解

6、析：f(1)f(1)(11)2.(3)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)，当x(0,2时，f(x)2xlog2x，则f(2 015)(D)A5 B. C2D2解析：由f(x)f(x2)，得f(x4)f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 015)f(50343)f(3)f(12)f(1)(20)2，故选D.(4)已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是.解析：f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.(5)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x)则f1.解

7、析：f(x)是定义在R上的周期为2的函数，fff422121.考点一函数的奇偶性命题方向1函数奇偶性的判断【例1】(1)下列函数为偶函数的是()AysinxByln(x)CyexDyln(2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ayxsin2xByx2cosxCy2xDyx2sinx【解析】(1)由函数奇偶性的定义知D中的函数为偶函数(2)对于A，f(x)xsin2(x)(xsin2x)f(x)，为奇函数；对于B，f(x)(x)2cos(x)x2cosxf(x)，为偶函数；对于C，f(x)2x2xf(x)，为偶函数；对于D，yx2sinx既不是偶函数也不是奇函数【答案】(1)D(2)

8、D命题方向2利用奇偶性求函数值或解析式【例2】(2019全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0时，x0时，f(x)f(x)eax，所以f(ln2)ealn2()a8，所以a3.【答案】3命题方向3利用奇偶性求参数【例3】(2020广州调研)已知函数f(x)a为奇函数，则实数a_.【解析】易知f(x)的定义域为(，0)(0，)，因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，即aa，所以2a1，所以a.【答案】方法技巧与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利

9、用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式.(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数f(x)f(x)，f(x)为偶函数f(x)f(x)，列式求解，也可利用特殊值求解.对于在x0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)0求解.1(方向1)下列函数为偶函数的是(B)AytanByx2e|x|Cyx|x|Dyln|x|sinx解析：对于A，显然是非奇非偶函数；对于B，f(x)(x)2e|x|f(x)为偶函数；对于C，f(x)x|x|f(x)为奇函数；对于D为非奇非偶函数2(方向2)已知奇函数f(x)则f(2)的值等于8.解析：因为函数f(

10、x)为奇函数，所以f(0)0，则30a0，a1.当x0时，f(x)3x1，则f(2)3218，因此f(2)f(2)8.3(方向3)(2020山东省名校联盟)若函数f(x)x3为偶函数，则a的值为.解析：解法1：因为函数f(x)x3(a)为偶函数，所以f(x)f(x)，即(x)3(a)x3(a)，所以2a()，所以2a1，解得a.解法2：因为函数f(x)x3(a)为偶函数，所以f(1)f(1)，所以(1)3(a)13(a)，解得a，经检验，当a时，函数f(x)为偶函数考点二函数的周期性【例4】(1)已知函数f(x)如果对任意的nN*，定义fn(x)，那么f2 019(2)的值为()A0B1C2D

11、3(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)f(2)f(2 019)_.【解析】(1)f1(2)f(2)1，f2(2)f(1)0，f3(2)f(0)2，fn(2)的值具有周期性，且周期为3，f2 019(2)f3673(2)f3(2)2，故选C.(2)f(x2)f(x)，函数f(x)的周期T2.当x0,2)时，f(x)2xx2，f(0)0，f(1)1，f(0)f(2)f(4)f(2 018)0，f(1)f(3)f(5)f(2 019)1.故f(0)f(1)f(2)f(2 019)1 010.【答案】(1)C(2)1 010方法

12、技巧函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性1已知函数f(x)的定义域为R，当x时，ff，则f(6)等于(D)A2B1C0D2解析：当x时，ff，即周期为1，则f(6)f(1)f(1)(1)312.2已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为(B)A6B7C8D9解析：当0x2时，令f(x)x3

13、xx(x21)0，所以yf(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x10，x21.当2x4时，0x22，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x2)f(x)，所以f(x)(x2)(x1)(x3)，所以当2x4时，yf(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x32，x43.同理可得，当4xbcBcabCbcaDacb【解析】偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，函数的周期为2.af(2.8)f(0.8)，bf(1.6)f(0.4)f(0.4)，cf(0.5)f(0.5)0.80.5cb，故选D.【答案】D方法技巧(1)函数单调性与奇偶性的综合，常利用奇、偶函数的图象的对称性，以及奇、偶函数在关于原点对称的

14、区间上的单调性的关系求解(2)函数周期性与奇偶性的综合，此类问题多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的函数的定义域内求解(3)函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，在解题时，往往需要先借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题1(方向1)函数f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是(D)A2,2B1,1C0,4D1,3解析：由已知，得f(1)1，使1f(x)1成立的x满足1x1，所以由1x21得1x3，即使1

15、f(x2)1成立的x满足1x3.2(方向2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则(D)Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析：因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2

16、,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)合理推证善于转化【典例】已知函数f(x)ex1(x0)与g(x)ln(xa)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A(1,1) B.C(，1)D(，)【答案】C【素养解读】(1)有关点的对称问题，往往要抓住图象进行必要的转化，或者转化为方程有解，通过计算解决，比如法1；或者通过画图进行观察，比如解法2.两类方法需要掌握转化思想，提高计算能力，熟练图象变换的技巧(2)函数yf(x)的图象与yg(x)的图象上存在点关于y轴对称，作出函数yf(x)关于y轴的对称图象，此图象必然与yg(x)图象相交将图形由远及近

17、，体现了化归与转化思想(3)解题时要弄清是一个函数图象的自身对称，还是两个函数图象间的相互对称(4)平时所说的轴对称、中心对称，是指两个图形经过旋转或折叠后重合，而本例两个图形经过旋转或折叠后至少有一个点重合已知函数g(x)ax2 ( xe，其中e为自然对数的底数)与h(x)2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是1，e22解析：解法1：依题意，若存在x0e，使得g(x0)h(x0)成立，则ax2lnx0，所以ax2lnx0，构造函数f(x)x22lnx，则f(x)2x，在内f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)1，e22，故a1，e22解法2：若存在x0e，使得g(x0)h(x0)，则ax2lnx0，只需函数yx2a与y2lnx在上有公共点即可，借助函数的凹凸性可得a1，e22