河北省张家口市宣化区宣化第一中学2021届高三上学期9月月考数学试题 WORD版含解析.doc

1、河北省张家口市宣化区宣化第一中学 2021 届高三数学 9 月月考试题 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1.21ii（）A.3122 i B.1322 i C.32i D.112 i【答案】A【解析】分析】直接根据复数代数形式的除法法则计算可得；【详解】解：2(2)(1)3311(1)(1)222iiiiiiii 故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，属于基础题.2.已知集合2230,04Ax xxBxx，则 AB （）A.34xx B.14xx C.30 xx 或14x D.31xx 或14x【答案】B【解析】【分析】先求出集合 A，然后再求集合 A，B 的交集即可

2、【详解】解：集合22303Ax xxx x 或1x，04Bxx，14ABxx 故选：B【点睛】此题集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题 3.已知抛物线2:3C yx，则焦点到准线的距离是（）A.16 B.32 C.3 D.13【答案】A【解析】【分析】化简抛物线的方程213xy，求得16p，所以焦点到准线的距离，得到答案.【详解】由题意，抛物线23yx，即21=2py3xy，解得16p，所以焦点到准线的距离是16p，故选 A.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质的应用，其中熟记抛物线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.设24l

3、og 5,log 5ab，122c，则（）A bcaB.bacC.abcD.acb【答案】C【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断可得;详解】解：22log 54log2a，4441log 4log 5log 162，所以(1,2)b，102221c，abc 故选：C【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.5.某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动.现有来自高一年级的 4 名同学，其中男生 2 名、女生 2 名；高二年级的 5 名同学，其中男生 3 名、女

4、生 2名.现从这 9 名同学中随机选择 4 名打扫卫生，则选出的 4 名同学中恰有 2 名男生，且这 2 名男生来自同一个年级的概率是（）A.1126 B.521 C.635 D.421 【答案】D【解析】【分析】对这两名男生来自高一或高二两种情况讨论，当男生来自高一时，同时任选 2 名女生，有2224C C种方法，当男生来自高二时，有2234C C 种方法，并求概率.【详解】当两名男生来自高一年级，2224149121C CPC，当两名男生来自高二，223424917C CPC1211421721PPP,故选 D.【点睛】本题考查了古典概型的概率，难度不大，关键是能正确分类.6.函数|1()

5、e sin 28xf xx的部分图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】fxf x，函数是奇函数，排除 D，0,2x时，0f x，,2x 时，0f x，排除 B，当0,2x时，sin 20,1x，211 1,88 8xee0,10,2x 时，0,1f x，排除 A，C 符合条件，故选 C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.7.九章算术是我国最重要的数学典书，曾被列为对数学发展影响最大的七部世界名著之一.其中的“

6、竹九节“问题，题意是：有一根竹子，共九节，各节的容积依次成等差数列，已知较粗的下 3 节共容 4 升，较瘦的上 4 节共容 3 升.根据上述条件，请问各节容积的总和是（）A.20122B.21122C.60166D.61166【答案】A【解析】【分析】首先用1a 和 d 表示已知条件，建立方程，最后代入前n 项和计算方法.【详解】设首项1a，公差 d123678943aaaaaaa即113344263adad，19566a，766d ，919 87201926622Sa.【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，考查逻辑推理和计算能力，属于基础题型.8.已知（13ax）（1+x）6的展开式中各项

7、系数的和为 128，则该展开式中 x2的系数为（）A.15B.21C.30D.35【答案】B【解析】【分析】把所给的式子按照二项式定理展开，可得展开式中2x 的系数【详解】解：由题意得67121282a，1a ，6311axx0122666666311.CC xC xC xx，故展开式中2x 的系数为256615621CC，故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题 9.在以 BC 为斜边的直角ABC 中，2AB，2BEEC，则 AB AE（）A.3 B.73 C.83 D.2【答案】C【解析】【分析】根据向量加法和减法转化1233AEAC

8、AB，然后根据数量积的运算公式计算.【详解】23AB AEABACCEABACBC22122833333ABACACABABACABAB故选 C.【点睛】本题考查了向量加减法，以及数量积的运算，意在考查向量转化和计算的问题，属于基础题型.10.在长方体1111ABCDA B C D中，12,3ABADAA，点 E 为棱1BB 上的点，且12BEEB，则异面直线 DE 与11A B 所成角的正弦值为（）A.52B.63C.64D.73【答案】B【解析】【分析】在1AA 上取点 F，使得12AFFA，连接,EF FD，可得11/EFA B，得到异面直线 DE 与11A B 所成角就是相交直线 EF

9、 与 DE 所成的角，在 DEF中，利用余弦定理和三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】在长方体1111ABCDA B C D中，12,3ABADAA，点 E 为棱1BB 上的点，且12BEEB，如图所示，在1AA 上取点 F，使得12AFFA，连接,EF FD，可得11/EFA B，所以异面直线 DE 与11A B 所成角就是相交直线 EF 与 DE 所成的角，设DEF，又由在直角 ADF中，2,2ADAF，所以222 2DFADAF，在直角 BDE中，2 2,2BDBE，所以222 3DEBDBE，在 DEF中，2 2,2,2 3DFEFDE，由余弦定理可得22212483cos232

10、2 32DEEFDFDE EF,所以所以异面直线 DE 与11A B 所成角的正弦值sin63，故选 B.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了空间向量能力，以及推理与计算能力，属于基础题.11.将函数()cos2sin 2g xxx图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再把所得各点向右平移 6 个单位长度，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的 2 倍，就得到函数 f（x）的图象，则下列说法中正确的个数是（）函数 f（x）的最小正周期为 2；函数 f（x）的最大值为 2；函数 f（x）图象的

11、对称轴方程为5()12xkkZ；设 x1，x2为方程2f x（）的两个不相等的根，则12xx的最小值为 4.A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据函数的图象变换，得到函数 2 2 cos12f xx，然后根据函数性质依次判断，得到正确结论.【详解】cos2sin 22 cos 24g xxxx，图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2 倍后得到的函数是2 cos4yx，所得各点向右平移 6 个单位长度后得到的函数是2 cos2 cos6412yxx，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的 2 倍后得到的函数是2 2 cos12yx，函数的最小正周期是2，所以正确；函数的最大值是2 2，所

12、 以 不 正 确；令12xk,12xkkZ,所 以 不 正 确；2 2 cos212x，解 得2cos122x，解 得21 24xk，解 得2,124xkkZ，即26xk 或23xk ，kZ，则12xx的最小值是 632，所以不正确.故选 A.【点睛】本题考查函数的图象变换，以及sinyAx的性质，属于中档题型，sinyAx的横坐标伸长（或缩短）到原来的 1倍，得到函数的解析式是sinyAx，若sinyAx向右（或左）平移（0）个单位，得到函数的解析式是sinyAx 或sinyAx.12.已知 F1，F2分别为双曲线 C：22126xy 的左、右焦点，过 F2的直线与双曲线 C 的右支交于 A

13、，B 两点（其中点 A 在第一象限）设点 H，G 分别为AF1F2，BF1F2的内心，则|HG|的取值范围是（）A.2 2,4)B.4 62,3C.4 3,2 23D.4 62 2,3【答案】D【解析】【分析】利用平面几何和内心的性质，可知,H G 的横坐标都是a，得到 HGx轴，设直线 AB 的倾斜角为，2Rt HMF和2Rt GMF分别表示 HM 和GM，根据60,90，将 HG 表示为 的三角函数求最值.【详解】12AF F内切圆与各边相切于点,P Q M，有,H M 的横坐标相等，APAQ，11F PF M，22F QF M121222AFAFaMFMFa，M在双曲线上，即 M 是双曲

14、线的顶点，HG与双曲线相切于顶点（如图）,H G的横坐标都是a，设直线 AB 的倾斜角为 ，那么22OF G,222HF O 2HF G中，sincos22tantan222cossin22HGcaca 22sincos222sinsincos22caca 双曲线22:126xyC ，2,6,2 2abc，可得2 2sinHG，6090 3sin12，HG 的范围是4 62 2,3 故选 D.【点睛】本题考查了双曲线方程，几何性质，以及三角形内心的性质，并且考查了三角函数的化简和求最值，意在考查数形结合，转化与化归，和逻辑推理，计算能力，属于难题，本题的关键 1.根据几何性质确定,H G 的横

15、坐标都是a，2.设倾斜角为，将 HG 表示为 的三角函数.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13.曲线32()21f xxx 在点(1,(1)f处的切线方程为_.【答案】1yx 【解析】【分析】首先求 1f和 1f，代入 111yffx.【详解】234fxxx，11f ，12f21yx ，切线方程为1yx.故填：1yx 【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.14.在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标 XN（100，100），且110120X的产品数量为 5436 件，请估计该批次检测的产品数量是_件.参考数据，若2,XN ，则()0.6827PX，(22)0

16、.9545PX，(33)0.9973PX.【答案】40000【解析】【分析】首先根据条件判断100,10，可知 1101202PXPx，根据条件求得概率，最后再计算样本总量.【详解】100,100XN 可知100,10 1101202PXPx222PxPX 0.95450.68270.13592,又 5436400000.1359（件）.故填：40000.【点睛】本题考查了正态分布应用的实际问题，计算正态分布下的概率时，需充分应用曲线关于 x对称，对称轴两侧的概率均为0.5.15.已知等比数列an，an0，nN*，且 2a1+3a233，23269aa a，则 a2020_【答案】32020【

17、解析】【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【详解】解：由题意设数列 na公比为 0q q，由题意有11222234323339aa qaaa q，解得133aq，2019202020203 33a，故答案为：20203【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的基本量的计算，属于基础题 16.在四面体 ABCD 中，60ACB，90DCA，2DCCBCA，二面角 D-AC-B的大小为 120，则此四面体的外接球的表面积是_.【答案】(100 16 3)9【解析】【分析】取,AC AD 的中点,M N，和 ABC的中心 E，点 N 是 ACD外接圆的圆心，点 E 是 ABC外接圆的圆心，过点,E

18、N 分别作平面 ABC 和平面 ACD 的垂线，交于点O，在四边形OEMN 中找几何关系，构造方程求解外接圆的半径和表面积.【详解】由条件可知 ABC是等边三角形，取,AC AD 的中点,M N，和 ABC的中心 E，过点,E N 分别作平面 ABC 和平面 ACD 的垂线，交于点O，120EMN，60EON，如图：由条件可知，33EM，60EMG 30OEH 331322HNEG，316EHGNGMMN3312 3tan301636OHEH，323ONOHHN，22222232254 3239RODONND，2100 16 349SR【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以

19、及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为,a b c，那么外接球的直径2222Rabc，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立 R 的方程.（3）而本题类型，需要过两个平面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心.三、解答题（本大题共 7 小题，共 82 分）17.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知(1611)cos11 cosbcAaC.（1）求 cosA 的值；（2）若4bc，求 a 的最小值.【答案】(1)11cos16A；(2)102【解析】【分析】（1）首先根据

20、正弦定理边角互化公式，转化为(16sin11sin)cos11sincosBCAAC，再根据两角和的正弦公式化简，最后求cos A的值；（2）根据基本不等式求得4bc，再代入余弦定理并化简为227168abc，最后求得a 的最小值.【详解】（1）由已知(1611)cos11 cosbcAaC及正弦定理，得(16sin11sin)cos11sincosBCAAC，即16cossin11(sincoscossin)11sinABACACB，且sin0B，所以11cos16A.（2）由4bc，可得22216bcbc，则16 22bcbc，解得4bc，当且仅当2bc时，等号成立 由余弦定理可得2222

21、11272752()1616882abcbcbcbcbc，所以 a 的最小值为102.【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，意在考查三角函数恒等变形，以及正余弦定理的变形和应用，尤其记住公式2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC，代入后转化为三角函数的问题，和余弦定理中常用变形：2222bcbcbc.18.某市一所高中为备战即将举行的全市羽毛球比赛，学校决定组织甲、乙两队进行羽毛球对抗赛实战训练每队四名运动员，并统计了以往多次比赛成绩，按由高到低进行排序分别为第一名、第二名、第三名、第四名.比赛规则为甲、乙两队同名次的运动员进行对抗，每场对抗赛都互不影响，当甲、乙两队的四名队

22、员都进行一次对抗赛后称为一个轮次按以往多次比赛统计的结果，甲、乙两队同名次进行对抗时，甲队队员获胜的概率分别为 12，23，13，12.（1）进行一个轮次对抗赛后一共有多少种对抗结果？（2）计分规则为每次对抗赛获胜一方所在的队得 1 分，失败一方所在的队得 0 分，设进行一个轮次对抗赛后甲队所得分数为 X，求 X 的分布列及数学期望.【答案】（1）16 种；（2）见解析，()2E x 【解析】【分析】（1）每个同名次的对抗有 2 种结果，共有 4 个名次的对抗，所以有42 种结果；（2）由条件可知0,1,2,3,4X 共 5 种情况，分别计算概率得到分布列和数学期望.【详解】（1）由于甲、乙两

23、队的四名队员每进行一次对抗赛都会有 2 种情况产生，所以一共有4216（种）（2）X 的可能取值分别为 4，3，2，1，0，则 121121(4)23323618P X 12111111122121191(3)233223322332332364P X；1111112112211221121111(2)2332233223322332233223P X 11147323618；11211111111212191(1)233223322223332364P X；112121(0)23323618P X X 的分布列为 X 4 3 2 1 0 P 118 14 718 14 118 2914927

24、2()432102363636363636E x .【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，意在考查分析数据，解决问题的能力，本题的难点是求分布列中的概率时，需分类准确，不要漏掉某一类.19.如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，/ADCB，24ADCB，120ABC，E 为 AD 的中点.现分别沿 BE，EC 将ABE 和ECD 折起，使得平面 ABE平面 BCE，平面 ECD平面BCE，连接 AD，如图 2.（1）若在平面 BCE 内存在点 G，使得 GD平面 ABE，请问点 G 的轨迹是什么图形？并说明理由.（2）求平面 AED 与平面 BCE 所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)点 G

25、的轨迹是直线 MN，见解析；(2)55 【解析】【分析】（1）分别取 BC 和CE 的中点 N 和 M，连接 DM，MN，ND，根据线线平行可证明平面/NMD平面 BEA,则可判断点G 的轨迹；（2）以点 M 为坐标原点，MB 所在直线为 x 轴，MC 所在直线为 y 轴，MD 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量,m n，代入公式cos,m n 求解.【详解】（1）点 G 的轨迹是直线 MN.理由：如图，分别取 BC 和 CE 的中点 N 和 M，连接 DM，MN，ND，则 MN/BE.又 MN 平面 BEA，BE 平面 BEA，所以 MN/平面 BEA.依题意有A

26、BE，BCE，ECD 均为边长为 2 的正三角形，所以 MDCE.又平面 ECD平面 BCE，则 MD平面 BCE.又平面 ABE平面 BCE，所以 MD/平面 BEA.所以平面 NMD/平面 BEA，则点 G 的轨迹是直线 MN.（2）如图，以点 M 为坐标原点，MB 所在直线为 x 轴，MC 所在直线为 y 轴，MD 所在直线为 z轴，建立空间直角坐标系，则 E（0，-1，0），D（0，0，3)），A31,322，所以3 1,322EA，(0,1,3)ED.设平面 AED 的法向量为(,)nx y z，则303130.22n EDyzn EAxyz，取3z ，得(3,3,3)n.取平面 B

27、CE 的一个法向量为0 01m（，），则5cos,|5n mn mn m ，所以平面 AED 与平面 BCE 所成锐二面角的余弦值为55.【点睛】本题考查了面面平行的判断定理，以及二面角的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.20.已如椭圆 C：22221(0)xyabab的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为 4 的等腰直角三角形.（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设动直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点，直线 OP，OQ 的斜

28、率分别为 k，k.若22bkka ，求证OPQ 的面积为定值，并求此定值.【答案】（1）22184xy；（2）OPQ 的面积为定值，且此定值为2 2，见解析【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形可知，24,cbc，根据222abc求解椭圆方程；（2）当l 与 x轴垂直时，设 00,P t yQ ty，代入22bkka 和椭圆方程，得到面积，当l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 ymxn，联立方程，得到根与系数的关系，并表示面积，得到面积是定值.【详解】（1）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2.依题查，有1224F Fcbc，得2bc，则28a，所以椭圆 C 的标准方程为22

29、184xy.（2）证明：当直线 1 与 x 轴垂直时，设直线 l 的方程为(2 2,2 2)xt ，00,0P t yy，0,Q ty.由2262212ybkkta ，且22184ty，解得(2,2)P，(2,2)Q或(2,2)P，(2,2)Q ，所以12 2 22 22OPQS.当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 ymxn，11,P x y，22,Q xy.联立直线 l 和椭圆 C 的方程，得22184ymxnxy，整理得2221 24280mxmnxn.228 48mn，12241 2mnxxm ，2122281 2nx xm.由2212bkka ，则121212y yx

30、 x ，即 121212mxnmxnx x，所以 22121221220mn xxmx xn，即2222242821 2201 21 2mnnmnmnmm，整理得2242nm，则280n.又22222224 2841|14 21 21 2nmnmPQmmmn，点 O 到直线 PQ 的距离为2|1ndm，所以1|2 22OPQSPQ d.综上，OPQ 的面积为定值，且此定值为2 2.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积定值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21.已知函数2

31、1()12xf xexax（1）当1a 时，讨论函数()f x 的零点个数，（2）当0a 时，0,)x ，证明不等式2()2 1(1 sin)x f xx 恒成立【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数对函数求导，判断函数的单调性，求出函数的最值，进而求解；（2）证明不等式2()2 1(1 sin)x f xx恒成立可转化为证明2()2 1(1)x f xx恒成立，进而求解；【详解】解：（1）()xfxexa，令()()g xfx，则()1xg xe，所以函数()g x 在(,0)上单调递减，在0,上单调递增，所以()(0)1g xga，当1a 时，()0g

32、x，即函数()f x 在(,)上单调递增，且(0)0f，所以此时()f x 有且只有一个零点，（2）证明：设()sin,0,)h xxx x，则()1 cos0h xx，所以函数()h x 在0,)x 上单调递增，且(0)0h，所以()(0)0h xh，即sinxx，则11 sin0 xx，有22(1)(1 sin)xx 所以证明不等式2()2 1(1 sin)x f xx 恒成立可转化为证明 2()2 1(1)x f xx 恒成立，即证明21102xexx恒成立，0,)x，由（1）知，当1a 时，0,)，21102xexx恒成立，即不等式2()2 1(1 sin)x f xx 恒成立【点睛】

33、（1）考查函数的求导，一阶导，二阶导，判断函数的增减，进而判断零点；（2）考查恒成立问题的转化，将要证明的问题转化为新问题，进而求解；22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos,1 sinxy （为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0.（1）求曲线C 的极坐标方程，（2）设直线l 与曲线C 相交于不同的两点12,P P，求1211OPOP的取值范围.【答案】(1)22 3 cos2 sin30.(2)2 3 4,33【解析】【分析】（1）利用三角函数的基本关系式消去参数，即可求得曲线 C 的普通方程，代入极坐标与直角坐标

34、的互化公式，代入即可求解曲线 C 的极坐标方程.（2）将0代人曲线C 的极坐标方程，根据极径的几何意义，即可求解.【详解】（1）将曲线C 的参数方程3,1xcosysin 消去参数，得22311xy.将cosx及siny代入上式，得22 3 cos2 sin30.（2）依题意有00,3.将0代人曲线C 的极坐标方程，得2002 3 cos2 sin30.设110220,PP ，则1200122 3cos2sin,3.所以001201212122 3cos2sin11114 sin333OPOP.因为00,3，所以02,333，则042 3 4sin,3333，所以1211OPOP的取值范围为

35、2 3 4,33.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.函数 2132f xxx 的最小值为t.（1）求t 的值，（2）若0,0ab，且tabab，求22ab的最小值【答案】(1)73t.(2)7249【解析】【分析】（1）由题意，去掉绝对值，得到分段函数，即可求得函数的最小值，得到答案.（2）由（1）知，73abab，则 1173ab，利用基本不等式，即可求得22ab的最小值，得到答案.【详解】（1）由题意，函数 251,32121323,32151,2xxf xxxxxxx 当23x 时，函数的最小值为 73；当2132x时，函数的最小值 min73f x；当12x 时，函数的最小值为 72，所以函数的最小值为 73，即73t.（2）由（1）知，73abab，则 1173ab，则2222222229119224949babaababababab 2222972222 24949bab aaba b，当且仅当2222baab且 baab时，即67ab时取等号，所以22ab的最小值为 7249.【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理去掉绝对值得到分段函数，以及准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.