2022年新教材高考数学一轮复习 规范答题增分专项5 高考中的解析几何（含解析）新人教版.docx

1、规范答题增分专项五高考中的解析几何1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOMkON=54,求证:点(m,k)在定圆上.(1)解:设焦距为2c,e=ca=32,2b=2,a2=b2+c2,b=1,a=2,椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)证明:设点M(x1,y1),N(x2,y2),由y=kx+m,x24+y2=1,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,依题意,=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)0,化简得m24k2+1,x1+x2=-

2、8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.若kOMkON=54,则y1y2x1x2=54,即4y1y2=5x1x2,则4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=5x1x2,所以(4k2-5)4(m2-1)4k2+1+4km-8km4k2+1+4m2=0,即(4k2-5)(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0,化简得m2+k2=54.由得0m265,1200)的焦点F为椭圆x24+y23=1的一个焦点.(1)求抛物线C的方程;(2)设P,M,N为抛物线C上不同的三点,点P(1,2),且PMPN.

3、求证:直线MN过定点.(1)解:依题意,椭圆x24+y23=1的一个焦点为(1,0),由抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F为椭圆x24+y23=1的一个焦点,可得p2=1,所以p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明:设点M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=my+n,由x=my+n,y2=4x,得y2-4my-4n=0,则=16m2+16m0,y1y2=-4n,y1+y2=4m.所以x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2=n2,x1+x2=m(y1+y2)+2n=4m2+2n.由PMPN,得PMPN=0,即(x1-1,y

4、1-2)(x2-1,y2-2)=0.化简得n2-6n-4m2-8m+5=0,解得n=2m+5或n=-2m+1(舍).所以直线MN:x=my+2m+5过定点(5,-2).3.(2021,全国理20)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交抛物线C于P,Q两点,且OPOQ.已知点M(2,0),且M与直线l相切.(1)求抛物线C,M的方程;(2)设A1,A2,A3是抛物线C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与M相切.判断直线A2A3与M的位置关系,并说明理由.解:(1)由题意设抛物线的标准方程为y2=2px,p0,当x=1时,y2=2p,y=2p.因为OPOQ,所以2p=1,即2

5、p=1,故抛物线的标准方程为y2=x.M的方程为(x-2)2+y2=1.(2)由题意可知直线A1A2,A1A3,A2A3均不平行于x轴.设点A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3),直线A1A2的方程为x-x1=m1(y-y1),直线A1A3的方程为x-x1=m2(y-y1),m1m2.因为点A1在抛物线C上,所以x1=y12,所以直线A1A2的方程可化为x-m1y+m1y1-y12=0,直线A1A3的方程可化为x-m2y+m2y1-y12=0.因为直线A1A2,A1A3与M相切,M的圆心坐标为(2,0),半径r=1,所以|2+m1y1-y12|1+m12=1,|2+m2y1

6、-y12|1+m22=1,所以m1,m2为方程|2+my1-y12|1+m2=1的根,即m1,m2为方程m2(y12-1)+m(4y1-2y13)+y14-4y12+3=0的根.又m1m2,所以y12-10,所以m1+m2=2y13-4y1y12-1,m1m2=y14-4y12+3y12-1.由x-m1y+m1y1-y12=0,y2=x,消去x,得y2-m1y+m1y1-y12=0,所以y1+y2=m1,即y2=m1-y1.同理,y3=m2-y1.设直线A2A3的方程为x=ky+b,由x=ky+b,y2=x,得y2-ky-b=0,所以y2+y3=k,y2y3=-b,所以k=y2+y3=m1+m

7、2-2y1=-2y1y12-1,-b=y2y3=(m1-y1)(m2-y1)=m1m2-y1(m1+m2)+y12=3-y12y12-1.所以M的圆心到直线A2A3的距离d=|2-b|1+k2=2+3-y12y12-11+-2y1y12-12=y12+1|y12-1|y12+1|y12-1|=1=r,故直线A2A3与M相切.4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点为F1,F2,点P(2,1)在椭圆C上,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P关于x轴的对称点为Q,M为椭圆C上一点,直线MP和MQ与x轴分别相交于点E,F,O为原点.证明:|OE|OF|为

8、定值.(1)解:由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a=4,即a=2.将点P(2,1)的坐标代入x24+y2b2=1,得24+1b2=1,解得b=2.故椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)证明:由题意可知点Q(2,-1).设点M(x0,y0),则有x02+2y02=4,x02,y01.直线MP的方程为y-1=y0-1x0-2(x-2),令y=0,得x=2y0-x0y0-1,所以|OE|=2y0-x0y0-1.直线MQ的方程为y+1=y0+1x0-2(x-2),令y=0,得x=2y0+x0y0+1,所以|OF|=2y0+x0y0+1.所以|OE|OF|=2y0-x0y0-12y0+x0

9、y0+1=2y02-x02y02-1=2y02-(4-2y02)y02-1=4.故|OE|OF|为定值4.5.(2021浙江,21)如图,已知F是抛物线y2=2px(p0)的焦点,M是抛物线的准线与x轴的交点,且|MF|=2.(1)求抛物线的方程;(2)设过点F的直线交抛物线于A,B两点,若斜率为2的直线l与直线MA,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N,且满足|RN|2=|PN|QN|,求直线l在x轴上截距的取值范围.解:(1)由题意知p=2,所以抛物线的方程是y2=4x.(2)由题意可设直线AB的方程为x=ty+1t12,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程代入y2=4

10、x,得y2-4ty-4=0,所以y1+y2=4t,y1y2=-4.直线MA的方程为y=y1x1+1(x+1),设直线l的方程为x=12y+s.记P(xP,yP),Q(xQ,yQ),由y=y1x1+1(x+1),x=12y+s,得yP=2(s+1)y1(2t-1)y1+4.同理得yQ=2(s+1)y2(2t-1)y2+4.记R(xR,yR),由x=ty+1,x=12y+s,得yR=2(s-1)2t-1.由题意知|yR|2=|yP|yQ|,化简得(s-1)2(2t-1)2=(s+1)24t2+3.易知s1,所以(s+1)2(s-1)2=4t2+3(2t-1)2.因为4t2+3(2t-1)2=22t

11、-1+122+3434(当t=-32时等号成立),所以(s+1)2(s-1)234.得s-7-43或s-7+43且s1.因此直线l在x轴上截距的取值范围是(-,-7-43-7+43,1)(1,+).6.已知点A(-2,0),B(2,0),直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,且k1k2=-34.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)设点F1(-1,0),F2(1,0),连接PF1并延长,与轨迹C交于另一点Q,R为PF2的中点,O为坐标原点,记QF1O与PF1R的面积之和为S,求S的最大值.解:(1)设点P(x,y),因为点A(-2,0),B(2,0),所以k1=yx+2,k2=yx-2.又k

12、1k2=-34,所以y2x2-4=-34,所以x24+y23=1(x2).故轨迹C的方程为x24+y23=1(x2).(2)因为O,R分别为F1F2,PF2的中点,所以ORPF1,所以PF1R与PF1O同底等高,所以SPF1R=SPF1O,所以S=SQF1O+SPF1R=SPQO.当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时SPQO=12132-32=32.当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k0.由y=k(x+1),x24+y23=1,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,又=144(k2+1)

13、0,得x1+x2=-8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,故|PQ|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=12(1+k2)3+4k2.点O到直线PQ的距离d=|k|1+k2,则S=12|PQ|d=6k2(k2+1)(3+4k2)2.令u=3+4k2(3,+),则S=6u-34u+14u2=32-3u2-2u+10,32.故S的最大值为32.7.已知动点P到定点F(1,0)和直线l:x=2的距离之比为22,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n与曲线E交于C,D两点,与线段AB相交于一点(与A,B不重

14、合).(1)求曲线E的方程.(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的面积是否有最大值?若有,求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.解:(1)设点P(x,y),由题意可得(x-1)2+y2|x-2|=22,整理可得x22+y2=1.所以曲线E的方程为x22+y2=1.(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得|AB|=2.当m=0时,不符合题意.当m0时,由直线l与圆x2+y2=1相切,可得|n|m2+1=1,即m2+1=n2,由y=mx+n,x22+y2=1,消去y,得m2+12x2+2mnx+n2-1=0.则=4m2n2-4m2+12(n2-1)

15、=2m20,x1+x2=-4mn2m2+1,x1x2=2n2-22m2+1,所以S四边形ACBD=12|AB|x2-x1|=2|m|2m2+1=22|m|+1|m|22.当且仅当2|m|=1|m|,即m=22时,等号成立,此时n=62.经检验可知,直线y=22x-62和直线y=-22x+62符合题意.故四边形ACBD的面积有最大值,最大值为22,此时直线l的方程为y=22x-62或y=-22x+62.8.已知抛物线E:y2=2px(p0)的顶点在坐标原点O,过抛物线E的焦点F的直线l与该抛物线交于M,N两点,MON面积的最小值为2.(1)求抛物线E的标准方程.(2)试问是否存在定点D,过点D的

16、直线n与抛物线E交于B,C两点,当A,B,C三点不共线时,使得以BC为直径的圆必过点Ap2,-p?若存在,求出所有符合条件的定点D;若不存在,请说明理由.解:(1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=p2,代入抛物线E的方程,得y=p,所以|MN|=2p,所以SMON=12p22p=p22.若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x-p2)(k0),由y=kx-p2,y2=2px,得k2x2-(pk2+2p)x+k2p24=0,则|MN|=pk2+2pk2+p=2p+2pk2.又点O到直线MN的距离d=kp2k2+1=kp2k2+1,所以SMON=122p+2pk2kp2k2+1=

17、p221+1k2p22.所以MON面积的最小值为p22=2,又p0,故p=2.故抛物线E的标准方程为y2=4x.(2)假设符合题意的定点D存在.因为直线n与抛物线E交于B,C两点,所以设直线n的方程为x=ay+b,点B(x1,y1),C(x2,y2).由x=ay+b,y2=4x,得y2-4ay-4b=0.又=16a2+16b0,所以y1+y2=4a,y1y2=-4b,所以x1+x2=a(y1+y2)+2b=4a2+2b,x1x2=a2y1y2+ab(y1+y2)+b2=b2.因为以BC为直径的圆过点A(1,-2),所以ABAC=0,即(x1-1)(x2-1)+(y1+2)(y2+2)=b2-6b-4a2-8a+5=0,所以b=2a+1或b=-2a+5.当b=2a+1时,x=ay+2a+1=a(y+2)+1,此时直线n过定点A,不符合题意,舍去.当b=-2a+5时,x=ay-2a+5=a(y-2)+5,此时直线n过定点(5,2),符合题意.故存在唯一的定点D(5,2)符合题意.