2023届新高考数学 热点专练07 数列与不等式（学生版）.docx

1、热点07 数列与不等式 从新高考的考查情况来看，数列与不等式主要命题方向：通项与前n项和的关系；通项与递推式的关系；数列的单调性、周期性等；.等差数列、等比数列的判断；等差（比）数列的基本运算；与不等式（最值、不等式的证明）的交汇问题；与函数、导数的交汇；一元二次不等及其解法；均值不等式与基本不等式的运用；不等式与平面解析几何的交汇等问题。1、解决等差（比）数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等差（比）数列中有五个量a1，n，d（q），an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和d（q，问题可迎刃而解(2)分类讨论的思想：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比的

2、取值情况进行分类讨论，此外等差（比）数列在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算2、证明等差（比）数列的用方法：证明一个数列为等差（比）数列常用定义法与等差（比）中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等差（比）数列，则只要证明存在连续三项不成等差（比）数列即可3、求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm4、常见数列求和的类型1）分组转化法求和的常见类型（1）

3、若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和（2）通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和2）错位相减法求和时两个注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解3）裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)常见的裂项技巧：（3）利用裂项相消法求和时，应

4、注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等5、条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解6、基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：（1）先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基

5、本不等式求解，这是难点（2）用基本不等式求最值，要有用基本不等式求最值的意识（3）检验检验等号是否成立，完成后续问题热点1. 等差数列与不等式的交汇问题等差数列与不等式的结合，一般涉及等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列的常用性质，如 (1)通项公式的推广： (2)若 为等差数列，且 ,则 ；(3)若是等差数列，公差为 ，则是公差 的等差数列；(4)数列也是等差数列.在解决等差数列的运算问题时，要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.热点2. 等比数列与不等式的交汇问题等比数列与不等式的结合，一般涉及等比数列的通项公式、求和公式以及等比数列的常用性质.其中与“错位相减法”、“放

6、缩法”相结合的情形较多.运算中要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.热点3. 数列与函数、导数交汇问题数列本身就是“特殊的函数”，因此，其更易于和函数相结合，一是数列的本身由函数呈现，二是在处理数列问题的过程中，可通过构造函数，利用函数的性质、导数等达到解题目的A卷（建议用时60分钟）一、单选题1（2021四川成都七中一模）记为等比数列的前项和.若，则（ ）ABCD2（2021吉林省实验模拟预测）相传国际象棋起源于古印度，国王要奖赏发明者，发明者说：“请在棋盘第1个格子里放上1颗麦粒，请在棋盘第2个格子里放上2颗麦粒，请在棋盘第3个格子里放上4颗麦粒以此类推，每个格子里放的麦粒数

7、都是前一个格子里放的麦粒数的2倍”已知棋盘共有64个格子，则最后一个格子的麦粒数是几位数？（例如：28是2位数，1234是4位数，已知）（ ）A17B18C19D203（2021吉林长春外国语学校高三期中）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）ABCD4（2021辽宁大连市第一中学高三期中）等比数列的前项和为，若，则（ ）A2B-2C1D-15（2021江苏镇江高三期中）已知等比数列的前项和为，且，则（ ）ABC27D406（2021陕西安康高三期中）已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）A数列是公差为的等差数列 B数列是公差为2的等差数列C数列是公比为的等比数列 D数列是公比为2的等比数列7（

8、2021福建省泉州第一中学高三期中）若单调递减的等差数列中的两项，是方程的两个根，设数列的前n项和为，则使得的最小的值为（ ）A10B18C19D208（2021山东聊城高三期中）设数列满足，则数列的前n项和为（ ）A B C D9（2021山东聊城高三期中）莱茵德纸草书（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（ ）个A12B24C36D4810（2021山东菏泽高三期中）已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为（ ）Aa

9、0Ba0Ca-1Da-211（2021山东枣庄市第三中学高三期中）若，且，则（ ）ABCD12（2021江苏如皋高三期中）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）AB1C2D8二、多选题13（2021河北衡水中学模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）ABC取得最小值时等于5D设，为的前项和，则14（2021福建模拟预测）已知下图的一个数阵，该阵第行所有数的和记作，数列的前项和记作，则下列说法正确的是（ ）A B C D15（2021山东临沂高三期中）在等比数列中，公比，是数列的前n项和，若，则下列结论正确的是（ ）A B C数列是等比数列 D数列是公差为2的等差数列16（20

10、21山东菏泽高三期中）下列函数中，最小值为4的是（ ）A B C D三、填空题17（2021河北保定高三期中）在中国现代绘画史上，徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.八骏图是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i（i=1，2，7）匹马的最长日行路程是第i+1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路程之和为_里.（取1.18=2.14）18（2021福建模拟预测）已知数列的前项和记作，则_19（2021辽宁丹东高三期中）数列中，若，则_.

11、20（2021重庆模拟预测）等比数列满足，则的最大值为_.21（2021湖南岳阳一模）已知点在线段上运动，则的最大值是_四、解答题22（2021河北衡水中学模拟预测）在数列中，.（1）设，求证数列是等差数列；（2）求数列的通项公式.23（2021四川南充一模）已知数列的前n项和为，且， 请在；，成等比数列；，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和，求证：注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分24（2021山东菏泽高三期中）解关于的不等式：.25（2021重庆市第七中学校高三期中）已知等差数列的前项和为，且，.（1）求；（2）若

12、+2 ，求.26（2021福建永安市第三中学高中校高三期中）已知数列是前项和为（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和27（2021江苏镇江高三期中）已知在各项均为正数的等差数列中，且，构成等比数列的前三项.（1）求数列，的通项公式；（2）设数列_，求数列的前项和.请在；这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.B卷（建议用时90分钟）一、单选题1（2021湖北汉阳一中模拟预测）已知正数，满足，则，的大小关系为（ ）ABCD以上均不对2（2021山东文登高三期中）关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（ ）ABCD3（2021福建省福州第一中学高三期中）已知数列满足：

13、.若，则（ ）A2021B2022C62D634（2021福建福州三中模拟预测）已知在等差数列中，数列的通项，是数列的前项和，若，则与的大小关系是（ ）ABCD5（2021山东文登高三期中）设正项数列的前n项和满足，记表示不超过x的最大整数，若数列的前n项和为，则使得成立的n的最小值为（ ）A1179B1180C2022D20236（2021浙江慈溪中学高三期中）已知数列满足，记数列前项和为，则（ ）ABCD7（2021黑龙江哈尔滨市高三期中）数列的前项和为，若，则（ ）A数列是公比为2的等比数列BC既无最大值也无最小值D8（2021福建泉州鲤城北大培文学校高三期中）设等差数列的前项和为，公差

14、为已知，则选项不正确的是（ ）A数列的最小项为第项 B C D时，的最大值为二、多选题9（2021山东菏泽高三期中）已知，则（ ）A的最大值为 B的最小值为 C D的最小值为10（2021辽宁模拟预测）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，记，则下列结论正确的是（ ）AB CD11（2021浙江台州一中高三期中）设数列满足，其中为实数，数列的前n项和是，下列说法不正确的是（ ）A当时，一定是递减数列 B当时，不存在使是周期数列C当时， D当时，12（2021江

15、苏南通高三期中）已知数列满足，则（ ）A是等比数列 B C是等比数列 D13（2021山东省实验中学高三期中）设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数.则下列说法正确的是（ ）A公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B已知，则是间隔递增数列C已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2D已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则14（2021广东揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）在归国包机上，孟晚舟写下月是故乡明，心安是归途，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在

16、何处”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途”下列数列中，其前项和可能为1028的数列是( )(参考公式：)A B C D三、填空题15（2021福建省大田县第一中学高三期中）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是_.16（2021江苏镇江高三期中）某校在研究民间剪纸艺术时，经常会沿着纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折一次可以得到和两种规格的图形，他们的周长之和为，对折二次可以得到，三种规格的图形，他们的周长之和为，以此类推，则折叠次后能得到的所有不同图形的周长和为_，如果对折次后，能得到的所

17、有图形的周长和记为，则_.17（2021福建泉州科技中学高三期中）学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢纶塞下曲：“月黑雁飞高，单于夜遁逃.欲将轻骑逐，大雪满弓刀.”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情.这首诗历代传诵，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：“北方大雪时，群雁早南归.月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出不是质数.现设记，则数列的前项

18、和_.18（2021山东菏泽二模）已知正项数列的前n项和为，且，则不超过的最大整数是_19（2021湖北华中师大一附中模拟预测）设，记最接近的整数为，则_；_(用表示)20（2021江苏邵伯高级中学高三阶段练习）已知函数（，）为奇函数，其定义域为A当时，恒成立，当且仅当时取等号，则_四、解答题21（2021上海长宁一模）随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元.（1）若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式；（2）若

19、购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）22（2021浙江台州一中高三期中）已知等差数列中，前项和为，数列为公比不等于1的等比数列，且满足：，.（1）求与；（2）记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.23（2021四川内江市教育科学研究所一模）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中问题：已知是等差数列，其前n项和为，_，是否存在正整数m，n，使得成立？若存在，求出正整数m，n满足的关系式；若不存在，请说明理由注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分24（2021广东执信中学高三期中）已知等差数列的前项和为，且.数列满足.（1）求的值；（2）求数列的前项和，并证明25（2021山东省济南市莱芜第一中学高三期中）已知等比数列是递增数列，其公比为q，前n项和为Sn，并且满足，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求使成立的正整数n的值.26（2021山东泰安一中模拟预测）已知数列的前项和为，且满足.（1）证明数列是等比数列，并求出的通项公式.（2）证明：.